三角形中常用的辅助线

三角形问题的常用辅助线作法

一、由角平分线想到的辅助线 （一）、截取构全等

（二）、过角分线上的点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

（四）、过角平分线上一点作角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

图4-2

图4-1

A

B

C B

I

G

二、由中点想到的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 （一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）、由中线应想到延长中线（倍长中线）

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（三）、由中点应想到利用三角形的中位线

（四）、直角三角形斜边上的中线性质

三、全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

（一）、截长补短：

具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

（二）、借助角平分线造全等：

可自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（三）、倍长中线（线段）造全等：

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（四）、平移变换：

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

（五）、旋转

（六）、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

（七）、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）

三角形问题的常用辅助线作法

一、由角平分线想到的辅助线 （一）截取构全等

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

例2． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD

（二）、过角分线上的点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。求证：∠ADC+∠B=180

例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。求证：BC=AB+AD

图1-4

B

C

图2-1

B

图

2-2

C

图1-2

D

B

C

例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=2

1（AB-AC ）

例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠ABC 的平分线，CE

⊥BE.求证：BD=2CE 。

例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE

于M 。

求证：AM=ME 。

图2-3

A

B

C

B

图3-2

C

E

例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。

求证：AM=2

1

（AB+AC ）

（四）、过角平分线上一点作角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

图4-2

图4-1

A

B

C B

I

G

例1 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。

例2 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。

B

D

C

A

E

C

D

二、由中点想到的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

如图1，AD 是ΔABC 的中线，则ABC ACD ABD S S S ???==2

1

（因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC 中，AD 是中线，延长AD 到E ，使DE=AD ，DF 是ΔDCE 的中线。已知ΔABC 的面积为2，求：ΔCDF 的面积。

（二）、由中线应想到延长中线（倍长中线）

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例1．如图5，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上

的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。

练习：

1 如图，AB=CD ，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE 。

2 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM ⊥DC 。

3，已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD 。

4．已知：如图AD 为△ABC 的中线，AE=EF ，求证：BF=AC

A

B D B

E

C

D

A

B

C D

E F

2

5 图 A B

D C

E

F

例2．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

（三）、由中点应想到利用三角形的中位线

例1．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

（四）、直角三角形斜边上的中线性质

例1．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。

C

B

A

三、全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：

（一）、截长补短：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． （二）、借助角平分线造全等：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． （三）、倍长中线（线段）造全等：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． （四）、平移变换：过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” （五）、旋转 （六）、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． （七）、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）

（一）、截长补短

1：如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，0

40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ

分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

2：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0

180=∠+∠C A

D

C

B

A

E

F

A

C

B

（二）、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD

2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 说明BE=CF 的理由

3、已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC

（三）、倍长中线（线段）造全等

1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

E

D

G

F

C

B

A

B

C

A

F

E

D C

B

A

3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.

E D C

B A

（四）、平移变换 （五）、旋转

1：正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.

2：D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。 （1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 （2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

3.如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，BDC ?是等腰三角形，且0

120BDC ∠=，以D 为顶点做一个0

60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ?的周长为 ；

相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新

相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C

等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

等腰三角形常用辅助线专题练习 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC, AD二AE,求证：BD=CEo 证明：作AF_LBC,垂足为F,则AF±DEo VAB=AC, AD=AE 又VAF±BC , AF±DE, ABF=CF, DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。..?BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB二AC,AF平行BC于F, D是AC边上任意一点，延RBA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由 解：AF1DE.理由：延长ED 交BC 于G, VAB=AC, AE=AD /. ZB=ZC, ZE=ZADE A ZB+ZE=ZC+ZADE V ZADE=ZCDG A ZB+ZE=ZC+Z CDG VZB+ZE=ZDGC, ZC+ZCDG=ZBGE, ZBGE+ZCGD=180° AZ BGE=ZCGD=90° AEG±BC. VAF/7BC AAF±DE.

E 解法2： 过A 点作AABC 底边上的高， BC 证明 AF±DE 3. 如图, A ABC 中，BA=BC,点D 是A B 延长线上一点，DF±A C 交BC 于 E,求证： A DBE 是等腰三角形。 证明：在AABC 中， VBA=BC, A ZA=ZC, VDF1AC, A ZC+Z FEC=90° , ZA+ZD=90° , :. ZFEC^ZD V ZFEC^ZBED, ZBED=

4.如图，AABC中，AB二AC, E在AC ±,且AD=AE, DE的延长线与BC相交于F。求证：DF_LBC. 证明：VAB=AC, AZB=ZC, 又VAD=AE, A ZD=ZAED, 若把“AD=AE”与结论“DF_LBC”互换，结论也成立。 若把条件"AB=AC”与结论“DF_LBC”互换，结论依然成立。 证明：连接AC, AD

三角形中的常用辅助线方法总结(1)

典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)汇总

等腰三角形常用辅助线专题练习 （含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABCの边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上の高与底边上の中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DEの位置关系，并说明理由 解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．

解法2： 过A点作△ABC底边上の高， 再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。 证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=

∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE の延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)

三角形常见的辅助线

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2. 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常 是角平分线的性质定理或逆定理. 4. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5. 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线（线段）造全等 应用：1、（09崇文二模）以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt^ABD 和等腰Rt^ACE , ? BAD = ? CAE = 90 （1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 线段AM 与DE 的数量关系是 （2）将图①中的等腰Rt'ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 二（0＜二＜90）后，如图②所示，（1 ）问中得到的两个结论是否发生改 变？并说明理由. 连接DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点?探究: AM 与DE 的位置关系及数量关系. 例1、已知, 例2、如图, 例3、如图,

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB

有等腰三角形时常用的辅助线

【MeiWei_81重点借鉴文档】 有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC, BDLAC于D, 求证：/ BAC = 2/DBC 证明：（方法一）作Z BAC的平分线AE,交BC于E,则Z 1 = Z 2 = 又v AB = AC 1 -Z BAC 2 ??? AEL BC ???/ 2+Z ACB = 90° ??? BD L AC ???/ DBCM ACB = 90° ???/ 2 = / DBC ???/ BAC = 2 / DBC （方法二）过A作AEL BC于E （过程略） （方法三）取BC中点E,连结AE （过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC，D 为BC 中点，DEL AB 于E，DFL AC于F, 求证：DE = DF 证明：连结AD. v D为BC中点， ??? BD = CD 又v AB =AC ??? AD平分/ BAC v DEL AB, DFL AC ??? DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF, 求证：EFL BC 证明：延长BE至U N,使AN = AB,连结CNJ则AB = AN = AC ???/ B = / ACB, / ACN = / ANC vZ B+Z ACB^Z ACNbZ ANC = 180° ??? 2Z BC外2Z ACN = 180° ???Z BCAbZ ACN = 90° 即Z BCN = 90° ?NCL BC v AE = AF ?Z AEF = Z AFE 又vZ BAC = Z AEF + Z AFE Z BAC = Z ACN + Z ANC ?Z BAC =2Z AEF = 2 Z ANC ?Z AEF = Z ANC ?EF// NC ?EFL BC

(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5=

例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB

等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)

等腰三角形常用辅助线 专题练习 （含答案） AB=AC,AF 平行BC 于F , D 是AC 边上任意一点，延 长 BA AF 与DE 的位置关系，并说 明理由 ?/ AB=AC , AE=AD B= / C , / E= / ADE ???/ B+ / E= / C+ / CDG ?// B+ / E= / DGC , ???/ BGE= / CGD=90 ?? EG 丄 BC . ?/ AF // BC 解法2： 过A 点作△ ABC 底边上的高， 再用/ BAC= / D+AED= / 2/ ADE,即/ CAG= / AED,证明 AG // DE 利用 AF // BC 证明 AF 丄 DE 3.如图，△ ABC 中，BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点， DF 丄AC 交BC 于E,求证：△ DBE 是等腰三角形。 证明：在 △ ABC 中，?/ BA=BC , ???/A= / C , ?/ DF 丄 AC , / A+ / D=90 , ???/ FEC= / D v/ FEC= / BED , BED= / D , 是等腰三角形. 4.如图，△ ABC 中，AB=AC,E 在AC 上，且 AD=AE,DE 的延长线与 DF 丄 BC. 证明：v AB=AC , ???/ B= / C , 又 v AD=AE , ??/ D= / AED , ???/ B+ / D= / C+ / AED , ???/ B+ / D= / C+/ CEF , ???/ EFC= / BFE=180 X 1/2 = 90 , ? DF 丄 BC; 若把“AD =Ae 与结论“DFL BC ”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC 与结论“ DFL BC ”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, / B= / E,AM 丄 CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ?/ AB=AE, / B= / E,BC=ED ??△ ABC ◎△ AED(SAS) 1.如图：已知，点 D 、E 在三角形 ABC 的边BC 上, 证 明：作AF 丄BC ,垂足为 又??? AF 丄 BC , AF 丄 DE , 互相重合）。 ??? BD=CE. AB=AC , AD=AE ，求证: F ,贝U AF 丄 DE 。 ?/ AB=AC , AD=AE ??? BF=CF , DF=EF (等腰三角形底边上的高与 BD=CE 。 底边上的中线 2.如图，在三角形 ABC 中， 到E ,使AE=AD ， 连接DE ，试判断直线 解：AF 丄DE .理由：延长ED 交BC 于G , ???/ B+ / E= / C+/ ADE ?// ADE= / CDG / C+ / CDG= / BGE , / BGE+ / CGD=18° ??? AF 丄 DE . ???/ C+ / FEC=90 , BC 相交于F 。求证:

相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长. 变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解） 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结： （1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

等腰三角形中的常见辅助线

等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题. 方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线 1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF 方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高 2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.

方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线 3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B 不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. （1）试说明：PD=QD （2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线 4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD， DG⊥BE于G，求证：BG=EG.

方法5补形法构造等腰三角形 5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD. 方法6 倍长中线法构造等腰三角形 6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF

三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出

C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

三角形常见的辅助线Word版

D C B A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. A

应用：1、（09崇文二模）以 ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图①当 ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC，AD平分BAC ∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC C D B A

等腰三角形辅助线的做法

等腰三角形辅助线的做法 Prepared on 22 November 2020

专题：等腰三角形辅助线的作法 类型一：利用三线合一作辅助线 （1）等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线 1、如图ΔABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的 点且AE= AF，求证：DE=DF 2、如图，在ΔABC中，D是BC的中点，过A作EF‖BC且AE= AF，求 证：DE=DF （2）没有底边中点时作底边上的高 3、如图，在ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC=2∠DBC 类型二：做平行线构造等腰三角形 （1）作腰的平行线构造等腰三角形 4、如图，ΔABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF （2）作底边的平行线构造等腰三角形 5、如图，AB=AC，点D是BA的延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC （3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形 6、如图，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点， 且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦ‖ＢＣ交BD于F，求证：AB=EF 类型三:用“截长补短法”构造等腰三角形 7、如图，ΔABC中，∠BAC=120，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C 的度数。 8、如图，ΔABC中，∠BAC=108，AB=AC，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，求证：BC=CD+AB 类型四：运用角平分线作垂线

9、如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180，CD⊥OA于D。（1）求证：OC平分∠AOB； （2）若OD=3DA =6,求OB的长。 10、如图，已知等腰RTΔABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D为ΔABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45，ＣＤ交ＡＢ于Ｅ， （1）求证：ＡＤ＝ＣＤ （２）求ＡＥ的长。

三角形中做辅助线的技巧及典型例题

三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ， 则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造 了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分 ∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠C AD ，D A=DB ，求证DC ⊥AC 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 图1-2 D B C

人教版八年级数学上解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法.docx

初中数学试卷 桑水出品 解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E， 且BE＝1 2 BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝ __________. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E， F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)？ 3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC交BC 于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC 的平分线BP于P，则△PBC的面积为 ( ) A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2 5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE. ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等 6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC ＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF. ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 7．如图，已知AB＝AC，∠A ＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD. 8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长．

三角形常见辅助线练习题

三角形常见辅助线作法练习题 1如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 2如图：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。 3如图：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 4如图：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD A B C D E A B C D E F G A C D E F 123 4 A B C D

5已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形， 求证EF ＝2AD 。 6如图：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。求证：AB －AC ＞PB －PC 。 7如图：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 8已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 9已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F A B C D P 1 2D A E 1 2 A D B C

B A C D F 2 1 E 10已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 12已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF C D B A

常见三角形辅助线口诀

初二几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等

如图， AB//CD, BE平分/ ABC CE平分/ BCD点E在AD上，求证：BC=AB+C。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于点来证明。自已试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等 如图，已知AB>AD, / BAC K FAC,CD=B C求证：/ ADC# B=180 分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与Z B之和为平角 三、三线合一构造等腰三角形 如图，AB=AC Z BAC=90, AD为Z ABC的平分线，CEL BE.求证：BD=2CE 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 女口图，AB>AC, Z 1 = Z2,求证：AB-AC>BD-CD c

等腰三角形时常用的辅助线作法

有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC = 2∠DBC ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F， 求证：DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取 一点E、F，使AE = AF， 求证：EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF，连结DE 求证：EF⊥BC ⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o,P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数. 有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 1 2 ∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） 2 1 E D C B A

三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型(绝对经典)

D C B A E D F C B A 三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对 经典） 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. E D C B A 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC C D B A

C C B A 2、如图，AD ∥BC,EB,EA 分别平分∠CBA,∠DAB ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 注意：三角形中位线与梯形中位线 3、如图，已知在ABC V 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0 180=∠+∠C A

P 21 C B A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.

常见三角形辅助线口诀

初二几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。

由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。 由线段和差想到的辅助线 五、截长补短法 AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。 由中点想到的辅助线 一、中线把三角形面积等分 如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。 分析：利用中线分等底和同高得面积关系。 二、中点联中点得中位线 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。 三、倍长中线 如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。