2016年北京市中考数学试卷
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绝密★启用前
北京市2016年高级中等学校招生考试
数 学
本试卷满分120分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.如图,用量角器度量AOB ∠,可以读出AOB ∠的度数为
( )
A .45°
B .55°
C .125°
D .135°
2.“神舟十号”飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约28 000千米.将28 000用科学记数法表示应为
( )
A .32.810?
B .32810?
C .42.810?
D .50.2810?
3.实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是
( )
A .2a -＞
B .3a -＜
C .a b -＞
D .a b -＜ 4.内角和为540°的多边形是
( )
A
B
C D
5.如图是某个几何体的三视图,该几何体是
( )
A .圆锥
B .三菱锥
C .圆柱
D .三棱柱
6.如果2a b +=,那么代数式2(
)b a
a a a b
--的值是 ( )
A.2 B .2- C .1
2 D .12
-
7.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式.下列甲骨文中,不是轴对称的是
( )
A
B
C
D
8.在1—7月份,某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润最大的月份是
( )
A .3月份
B .4月份
C .5月份
D .6月份
9.如图,直线m n ⊥.在某平面直角坐标系中,x 轴m ∥,y 轴n ∥,点A 的坐标为()4,2-,
点B 的坐标为(2,)4-,则坐标原点为
( )
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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A .1O
B .2O
C .3O
D .4O
10.为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增.计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：
3m ),绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断：
①年用水量不超过3180m 的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过3240m 的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150～180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180； 其中合理的是
( )
A .①③
B .①④
C .②③
D .②④
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)
11.如果分式
2
1
x 有意义,那么,x 的取值范围是 . 12.如图的四边形均为矩形.根据图形,写出一个正确的等式： .
13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 .
14.如图,小军、小珠之间的距离为2.7m ,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m 、
1.5m .已知小军、小珠的身高分别为1.8m ,1.5m ,则路灯的高为 m .
15.百子回归图是由1,2,3,
,100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门
简史,如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积,……,同时它也是十阶幻方,其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等,则这个和为 .
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数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）
16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程.
请回答：该作图的依据是 .三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分5分)
计算：0(3π)4sin 458|13|-+-+-.
18.(本小题满分5分)
解不等式组：253(1),7
4.2x x x x +-??
?+??＞＞
19.(本小题满分5分)
如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE 平分∠BAD ,交DC 的延长线于点E . 求证：DA DE =.
20.(本小题满分5分)
关于x 的一元二次方程22(21)10+++-=x m x m 有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m 的值,并求此时方程的根. 21.(本小题满分5分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,过点(6,0)-A 的直线
1l 与直线2l ：2y x =相交于点(,4)B m .
(1)求直线1l 的表达式；
(2)过动点(,0)P n 且垂直于x 轴的直线与1l ,2l 的交点分别为C ,D ,当点C 位于点D 上方时,写出n 的取值范围.
22.(本小题满分5分)
调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况.
小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有300户家庭,每户家庭人数在2～5之间,这300户家庭的平均人数均为3.4.
小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
3m )
家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 m ) 家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4
已知：直线l 和l 外一点P .
求作：直线的垂线,使它经过点P . 作法：如图,
(1)在直线l 上任取两点A ,B ；
(2)分别以点A ,B 为圆心,AP ,BP 长为半径作 弧,两弧相交于点Q ； (3)作直线PQ .
所以直线PQ 就是所求作的垂线.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
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用气量
10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22
m )
家庭人数 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.
23.(本小题满分5分)
如图,在四边形ABCD 中,90ABC ∠=,AC AD =,M ,N 分别为AC ,CD 的中点,连接BM ,MN ,BN . (1)求证：BM MN =；
(2)若60BAD ∠=,AC 平分BAD ∠,2AC =,求BN 的长.
24.(本小题满分5分) 阅读下列材料：
北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位,深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支柱产业.
2011年,北京市文化创意产业实现增加值 1 938.6亿元,占地区生产总值的12.1%.2012年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值2 189.2亿元,占地区生产总值的12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业.2013年,北京市文化创意产业实现增加值2 406.7亿元,比上年增长9.1%.文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014年,北京市文化创意产业实现增加值2 794.3亿元,占地区生产总值的13.1%,创历史新高.2015年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加值3 072.3亿元,占地区生产总值的13.5%.
(以上数据来源于北京市统计局)
根据以上材料解答下列问题：
(1)用折线图将2011—2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中标明相应数据；
(2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估2016年北京市文化创意产业实现增加值 约 亿元,你的预估理由是 .
25.(本小题满分5分)
如图,AB 为O 的直径,F 为弦AC 的中点,连接OF 并延
长交AC 于点D ,过点D 作O 的切线,交BA 的延长线于
点E .
(1)求证：AC DE ∥；
(2)连接CD ,若OA AE a ==,写出求四边形ACDE 面积的
思路.
26.(本小题满分5分)
已知y 是x 的函数,自变量x 的取值范围是0x ＞,下表是y 与x 的几组对应值.
x 1 2 3 5 7 9 y 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88
的y 与x 之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整：
(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象；
(2)根据画出的函数图象,写出：
①4x =对应的函数值y 约为 ； ②该函数的一条性
质： .
27.(本小题满分7分)
在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y mx mx =-+1(0)m m -＞与x 轴的交点为A ,B . (1)求抛物线的顶点坐标；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点. ①当1m =时,求线段AB 上整点的个数；
②若抛物线在点A ,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m 的取值范围.
28.(本小题满分7分) 在等边ABC △中,
(1)如图1,P ,Q 是BC 边上两点,AP AQ =,20BAP ∠=,求∠AQB 的度数；
(2)点P ,Q 是BC 边上的两个动点(不与点B ,C 重合),点P 在点Q 的左侧,且=AP AQ ,点Q 关于直线AC 的对称点为
M ,连接AM ,PM .
①依题意将图2补全； ②小茹通过观察、实验,提出猜想：在点P ,Q 运动的过程中,始
终有PA PM =.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证=PA PM ,只需证APM △是等边三角形. 想法2：在BA 上取一点N ,使得=BN BP ,要证=PA PM ,只需证ANP PCM ?△△.
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想法3：将线段BP 绕点B 顺时针旋转60,得到线段BK ,要证=PA PM ,只需证=PA CK ,=PM CK . ……
请你参考上面的想法,帮助小茹证明=PA PM .(一种方法即可)
29.(本小题满分8分)
在平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标为11(,)x y ,点
Q 的坐标为22(,)x y ,且12≠x x ,12≠y y ,若P ,Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P ,Q 的“相关矩形”.下图为点P ,Q 的“相关矩形”的示意图. (1)已知点A 的坐标为(1,0),
①若点B 的坐标为(3,1),求点A ,B 的“相关矩形”的面积；
②点C 在直线3x =上.若点A ,C 的“相关矩形”为正方形,求直线AC 的表达式； (2) ⊙O 的半径为2,点M 的坐标为(,3)m .若在⊙O 上存在一点N ,使得点M ,N 的“相关矩形”为正方形,求m 的取值范围.
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数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】B
【解析】由图形所示，∠AOB 的度数为55°，故选B.
【解析】A 、如图所示：32a -<<-，故此选项错误；B 、如图所示：32a -<<-，故此
选项错误；C 、如图所示：12b <<，则21b -<-<-，故此选项错误；D 、由选项C 可得a b <-，此选项正确.
【提示】利用数轴上a ，b 所在的位置，进而得出a 以及b -的取值范围，进而比较得出答案.
【考点】实数与数轴
4.【答案】C
【解析】设多边形的边数是n ，则2180540n -??=?（），解得5n =，故选C. 【解析】2a b +=把已知等式代入计算即可求出值【考点】分式的化简求值【解析】A 、是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、是
轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项正确，故选D. 【提示】根据轴对称图形的概念求解即可. 【考点】轴对称图形 8.【答案】B
【解析】由图象中的信息可知，3月份的利润7.5 4.53=-=元，4月份的利润
6 2.4 3.6=-=元，5月份的利润 4.5 1.53=-=元，6月份的利润 2.51 1.5=-=元，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份，故选B. 【提示】根据图象中的信息即可得到结论. 【考点】象形统计图 9.【答案】A
【解析】解：设过A 、B 的直线解析式为y kx b =+
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数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）
点A 的坐标为(4,2)-，点B 的坐标为(2,4)-
24k b ∴-+＝
42k b -+＝
解得：1k -＝， 2b -＝
∴直线AB 为 2y x =--
∴直线AB 经过第二、三、四象限
如图，连接AB ，则原点在AB 的右上方，
∴坐标原点为O 1，故选A.
【提示】先根据点A 、B 的坐标求得直线AB 的解析式，再判断直线AB 在坐标平面内的位置，最后得出原点的位置.
【考点】坐标与图形性质，一次函数图象与系数的关系 10.【答案】B
【解析】解：①由条形统计图可得：年用水量不超过3180m 的该市居民家庭一共有
0.250.75 1.5 1.0 1.54++++=（万）
，又4
100%80%5
?=，故年用水量不超过3180m 的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；②年用水量超过240m 3的该市居民家庭有 (0.150.150.05)0.35++=（万），0.35
100%7%5%5
∴
?=≠，
故年用水量超过240m 3的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；③5万个数数据的中间是第25000和25001的平均数，∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；④由①得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，正确，故选B.
【提示】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案. 【考点】频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】1x ≠
【解析】由题意，得：10x -≠，解得1x ≠，故答案为：1x ≠. 【提示】根据分母不为零分式有意义，可得答案. 【考点】分式有意义的条件
12.【答案】()am bm cm m a b c ++=++（答案不唯一）
【解析】由题意可得：()am bm cm m a b c ++=++，故答案为()am bm cm m a b c ++=++. 【提示】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可. 【考点】因式分解-提公因式法
13.【答案】0.882（答案不唯一）
【解析】0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.88180.882x =+++++++÷≈（），
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.882，故答案为：0.882
【提示】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法. 【考点】利用频率估计概率 14.【答案】3
【解析】解：如图，CD
∥AB ∥MN ，
ABE CDE ∴△∽△，ABF MNF △∽△， CD DE AB BE ∴=，FN MN
FB AB =
， 即1.8 1.81.8+AB BD =，1.5 1.51.5 2.7AB BD
=+-， 解得：=3AB m . 答：路灯的高为3m .
数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）
【解析】解：1～100的总和为：
52
500=，一共有10行，且每行10个数之
和均相等，所以每行10个数之和为：505010505÷=，故答案为：505.
【提示】根据已知得：百子回归图是由1，2，3……，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10. 【考点】规律型：数字的变化类
16.【答案】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A 、B 都在线段PQ 的垂直平分线上）， 理由：如图，
PA PQ =，PB PB =，
∴点A 、点B 在线段PQ 的垂直平分线上，
∴直线AB 垂直平分线段PQ ，
PQ AB ∴⊥.
【提示】只要证明直线AB 是线段PQ 的垂直平分线即可. 【考点】基本作图 三、解答题
【解析】解不等式2531x x +>-（），得：8x <， 解不等式7
42
x x +>
，得：1x >， ∴不等式组的解集为：18x <<.
【提示】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集. 【考点】解一元一次不等式组
19.
【答案】四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，E BAE ∠=∠∴，
AE 平分∠BAD ，BAE DAE ∠=∠∴，
E DAE ∠=∠∴，DA DE =∴.
【提示】由平行四边形的性质得出AB ∥CD ，得出内错角相等E BAE ∠=∠，再由角平分
【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程222110x m x m +++-=（）有两个不相等的
实数根，
2
221411450m m m ?=+-??-=+>∴（）（），
解得：5
4
m >-.
（2）如当1m =，此时原方程为230x x +=.
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数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）
即(3)0x x +=， 解得：10x =，23x =-.
【提示】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出0?>，代入数据即可得出关于m 的
一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令1m =，将1m =代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论.
【考点】根的判别式，解一元二次方程的因式分解法，解一元一次不等式 21.【答案】（1）3y x =+ （2）2n ＜
【解析】解：（1）点B 在直线2l 上，
42m ∴=，2m ∴=，点B (2,4).
设直线1l 的表达式为y kx b =+，
由题意:60,2 4.k b k b -+=??+=?解得1,
23.
k b ?
=???=?
∴直线1l 的表达式为1
32
y x =+. （2）与图象可知2n <.
【提示】（1）先求出点B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题. （2）由图象可知直线1l 在直线2l 上方即可，由此即可写出n 的范围. 【考点】两条直线相交或平行问题
22.【答案】解：小芸，小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：
23311415 2.87?+?+÷=（），远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显的
问题，小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：2237445215 3.4?+?+?+?÷=（），说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反应出该小区家庭5月份用气量情况.
【提示】首先根据题意分析家庭平均人数，进而利用加权平均数求出答案，再利用已知
这300户家庭的平均人数均为3.4分析即可. 【考点】抽样调查的可靠性，加权平均数 23.【答案】
【解析】（1）证明：在△CAD 中，M 、N 分别是AC 、CD 的中点.
MN ∴∥AD ，1
2
MN AD =
. 在Rt △ABC 中，M 是AC 中点.
1
2
BM AC ∴=
. AC AD =，MN BM ∴=.
（2）解：60BAD ∠=?，AC 平分∠BAD ，
30BAC DAC ∴∠=∠=?.
由（1）可知，1
2BM AC AM MC ===，
260BMC BAM ABM BAM ∴∠=∠+∠=∠=?，
MN ∥AD ，30NMC DAC ∴∠=∠=?.
90BMN BMC NMC ∴∠=∠+∠=?，
222BN BM MN ∴=+，
由（1）可知1
12
MN BM AC ==
=，
（2）首先证明90BMN ∠=?，根据222BN BM MN =+即可解决问题. 【考点】三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
24.【答案】（1）解：2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，
数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）
（2）3300 预估理由须包含折线图中提供的信息，且支撑预估的数据. 【提示】（1）画出2011-2015的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可． （2）设2013到2015的平均增长率为x ，列出方程求出x ，用近3年的平均增长率估计
2016年的增长率即可解决问题. 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 25.【答案】（1）证明：
ED 与⊙O 相切于D .
OD DE ∴⊥，
F 为弦AC 中点，OD AC ∴⊥，AC ∴∥DE .
（2）解：作DM OA ⊥于M ，连接CD ，CO ，AD .
首先证明四边形ACDE 是平行四边形，根据?ACDE S AE DM =平行四边形，只要求出DM 即
可．
AC ∥DE ，AE AO =，OF DF ∴=. AF DO ⊥，AD AO ∴=，AD AO OD ∴==.
ADO ∴△是等边三角形，同理△CDO 也是等边三角形，.
60CDO DOA ∴∠=∠=?，AE CD AD AO DD a =====， AO ∴∥CD ，又AE CD =，
∴四边形ACDE
是平行四边形，易知AE =
，
（2）作DM OA ⊥于M ，连接CD ，CO ，AD ，首先证明四边形ACDE 是平行四边形，
根据平行四边形ACDE 的面积?AE DM =，只要求出DM 即可. 【考点】切线的性质
26.【答案】解：（1）如图，
（2）根据图形可知4x =对应的函数值y 约为2.0；由图可知该函数有最大值．故答案为
2，该函数有最大值.
【提示】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可； （2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可； ②利用函数图象有最高点求解.
【解析】（1）
2221(1)1y mx mx m m x =-+-=--，
∴抛物线顶点坐标(1,1)-.
（2）①1m =，
∴抛物线为22y x x =-，
令0y
=
，得0x =或2，不妨设A (0,0)，B (2,0)，
∴线段AB 上整点的个数为3个．
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②如图所示，抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有
6个整点，
∴点A 在(1,0)-与(2,0)-之间（包括(1,0)-），
当抛物线经过(1,0)-时，1
4m =
. 当抛物线经过点(2,0)-时，1
9
m =.
∴m 的取值范围为11
94
m <≤.
【提示】（1）利用配方法即可解决问题.
（2）①1m =代入抛物线解析式，求出A 、B 两点坐标即可解决问题. ②根据题意判断出点A 的位置，利用待定系数法确定m 的范围. 【考点】抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 28.【答案】解：（1）
AP AQ =，
APQ AQP ∴∠=∠，APB AQC ∴∠=∠. ABC ?是等边三角形，60B C ∴∠=∠=?.
20BAP CAQ ∴∠=∠=?.
80AQB APQ BAP B ∴∠=∠=∠+∠=?.
（2）如图2，
AP AQ =，
APQ AQP ∴∠=∠，APB AQC ∴∠=∠.
ABC ?是等边三角形. 60B C ∴∠=∠=?.
BAP CAQ ∴∠=∠.
点Q 关于直线AC 的对称点为M ，
AQ AM ∴=，QAC MAC ∠=∠. MAC BAP ∴∠=∠.
60BAP PAC MAC CAP ∴∠+∠=∠+∠=?. 60PAM ∴∠=?.
AP AQ =.
AP AM ∴=.
∴APM ?是等边三角形.AP PM ∴=.
【提示】（1）根据等腰三角形的性质得到APQ AQP ∠=∠，由邻补角的定义得到
APB AQC ∠=∠，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）如图2根据等腰三角形的性质得到APQ AQP ∠=∠，由邻补角的定义得到
APB AQC ∠=∠，由点Q 关于直线AC 的对称点为M ，得到AQ AM =，
OAC MAC ∠=∠，等量代换得到MAC BAP ∠=∠，推出△APM 是等边三角形，根据等
边三角形的性质即可得到结论. 【考点】三角形综合题 29.【答案】（1）①2
②直线AC 的表达式为1y x =-或1y x =-+ （2）m 的取值范围是：15m ≤≤或-51m ≤≤- 【解析】解：（1
）①A (1,0)，B (3,1)
由定义可知：点A ，B 的“相关矩形”的底与高分别为2和1，
∴点A ，B 的“相关矩形”的面积为212?=；
数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）
②由定义可知：AC 是点A ，C 的“相关矩形”的对角线， 又
点A ，C 的“相关矩形”为正方形
∴直线AC 与x 轴的夹角为45°，
设直线AC 的解析为：y x m =+或y x n =-+， 把(1,0)代入y x m =+，
1m ∴=-，
∴直线AC 的解析为：1y x =-，
把(1,0)代入y x n =-+，
1n ∴=，
1y x ∴=-+，
综上所述，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，直线AC 的表达式为1y x =-或
1y x =-+；
（2）设直线MN 的解析式为y kx b =+， 点M ，N 的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线MN 与x 轴的夹角为45°， 1k ∴=±，
点N 在⊙O 上，
∴当直线MN 与⊙O 有交点时，点M ，N 的“相关矩形”为正方形，
当1k =时，
作⊙O 的切线AD 和BC ，且与直线MN 平行，
其中A 、C 为⊙O 的切点，直线AD 与y 轴交于点D ，直线BC 与y 轴交于点B ， 连接OA ，OC ，
把M (,3)m 代入y x b =+，
3b m ∴=-，
∴直线MN 的解析式为：3y x m =+-
45ADO ∠=?，90OAD ∠=?.
2OD ∴==.
D ∴（0，2）
同理可得：B （0，-2），
∴令0x =代入3y x m =+-， 3y m ∴=-， 232m ∴-≤-≤，
15m ∴≤≤，
当1k =-时，把M （m ，3）代入y x b =-+，
3b m ∴=+，
∴直线MN 的解析式为：3y x m =++，
同理可得：232m -≤+≤，
51m ∴-≤≤-；
综上所述，当点M ，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：15m ≤≤或
51m -≤≤-.
【提示】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A 与B 的相关矩形面积，则AB 必为对角
线，利用A 、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；
②由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以AC 与x 轴的夹角必为45，设直线AC 的
解析式为；y kx b =+，由此可知1k =±，再（1，0）代入y kx b =+，即可求出b
的
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值；
（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN
与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交
点，由此可以求出m的范围.
【考点】圆的综合题
数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）