高考适应性测试 数学试题(理科)
徐水一中高考适应性测试
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.
3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、已知3
tan 4
α=-
，(,0)απ∈-，则cos 2α=（ ） 7.25A -
9.25B - 9.25C 7.25
D 2、设集合{||2|
3}A m R m =∈-<，22{|12
3
x y B m R m m =∈+
=+-是双曲线}，
则A B ?
=（ ）
A.(2,5)- .(3,5)B .(1,3)C - .(,2)(5,)D -∞-?+∞
3、若
121
(63
i i a i +=+为虚数单位，)a R ∈，则a =（ ）
.3A - .3B .4C - .4D
4、如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角 1C AB C -- 的大小为60o
，则点C 到平面1C AB 的距离为（ ）
3.4A 1
.2
B 3.2
C .1D
5、已知直线l 过点(0,0)O 和点(23cos ,3sin )P αα+，则直线l 的 斜率的最大值
为（ ）
1
.2A 3.
3B 3.2
C .3
D 6、某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别为1号、2号、……..19号、20号。若要从中选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并分配到同一组
A 1
C 1
B 1
A
C
B
的选取种数为（ ）.16A .21B .24C .90D
7、已知等比数列｛a n ｝的公比为q （q 为实数），前n 项和为S n ,且S 3、S 9、S 6成等差数列，
则q 3等于（ ）A ．1 B ．－21 C ．－1或21 D ．1或－2
1
8、已知向量,m n u r r 的夹角为6
π
，且||3m =u r ，||2n =r ，在?ABC 中，
,3AB m n AC m n =+=-u u u r u r r u u u r u r r ，D 为BC 边的中点，则||AD =u u u r
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9、已知整数对按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是( ) A ．（10，1）
B ．（2，10）
C ．（5，7）
D ．（7，5）
10、定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式2
2
(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，t
s
的取值范围是( ) A ．1[,1)4-
B ．1[,1]4-
C ．1[,1)2-
D ．1[,1]2-
11、若函数1
()ax f x e b
=-
在0x =处的切线l 与圆22C:x 1y +=相离，则(,)P a b 与
圆C 的位置关系是（ ）
A. 在圆内
B. 在圆外
C.在圆上
D.不能确定
12、抛物线2
y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=o ，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则
1
MM AB
的最大值为( ) A. 433 B. 3 C. 233 D. 3
3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的相应位置上）
13、已知函数220
()lg()
0x x f x x x -?≥=?-
14、已知数列{}n a 中，110,21()n n a a a n n N ++==+-∈，则数列{}n a 的通项公式
是
15、设(12)n
x +展开式的各项系数的和为n a ，各二项式系数的和为n b 则11lim
n n
n n b a a b ++-=
+
16、下列四个命题：①圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；②直线kx y =与圆1)sin ()cos (22=-+-θθy x 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上，
则该球的体积为
.2
3
π其中，正确命题的序号为 ．写出所有正确命的序号） 三、解答题（本大题共６小题，70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17、（本小题满分10分）已知向量55
2
),sin ,(cos ),sin ,(cos =
-==b a b a ββαα． （Ⅰ）求的值)cos(βα-；（Ⅱ）若2
02
π
αβπ
<
<<<-，且αβsin ,13
5
sin 求-
=的值．
18、（本小题满分12分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为
3
2
，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.9
1
（I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率； （II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ 19、（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS 中，面ABCD 为矩形，
,1,,=⊥⊥AD AB SD AD SD 且 2=AB ，.3=SD
（1）求证：CD ADS 平面⊥; （2）求AD 与SB 所成角的余弦值; （3）求二面角A —SB —D 的余弦值．
S
A
B
C
D
第19题
20、（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1a
f x x x
=
+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性；（2）是否存在实数
(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分）设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22
221
(0)y x a b a b
+=>>上的两点，已知向量),(),,(
2211a
y
b x n a y b x m ==,若0=?n m 且椭圆的离心率e=32,短轴长为2，
O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
22、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(+-=n n n a S a S （a 为常
数，0,1a a ≠≠）（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n n a S a b ?+=2
，若数列{}n b 为
等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，n n+111
c =-a +1a -1
n ，数列{}n c 的前n 项和为n T . 求证：2
1
2->n T n ．
徐水一中2010年高考适应性测试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：1~5、DCBAD 6~10、BBACD 11~12、AD 二、填空题：13、12 14、2
(1)n a n =- 15、13
- 16、②、④ 三、解答题
17、解：（Ⅰ）1=a Θ，1=b ，
)sin sin cos (cos 222
22
22
βαβα+-+=+?-=-b a b b a a b a
)cos(211βα--+=．
545522
2
=???
? ??=-b a Θ， 53)cos(54)cos(22=-=--∴βαβα得 （Ⅱ）0,
02
2
π
π
βααπ-
<<<<
∴< 由 53 )cos(= -βα， 得54)sin(=-βα． 由 13 5sin -=β 得12 cos 13 β= []ββαββαββααsin )cos(cos )sin()(sin sin -+-=+-=∴ 65 33)135(53131254=-?+?= 18、解：Ⅰ、徒弟加工一个精品零件的概率为1P ，则 ,41 9132322121==?p p 得[ 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是 4 1 。 Ⅱ、设徒弟加工零件的精品多于师父的概率为2P ， 由Ⅰ知，11 2 P = 。师父加工的两个零件中，精品个数的分布如下： ξ 1 2 P 19 49 49 徒弟加式的两个零件中，精品个数的分布如下： ξ 0 1 2 P 14 12 14 所以21141117 92949436 P = ?+?+?= 。 Ⅲ、ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 1 36 636 1336 1236 436 ξ的期望为73 。 19、解：（I ）ABCD Θ是矩形，AD CD ⊥∴ --------------1分 又SD CD CD AB AB SD ⊥⊥则,//, -------------2分 ,SD AD ⊥ -------------3分 ∴ CD ADS 平面⊥ -------------4分 （II ）由AD SD ⊥，及（I ）结论可知DA 、DC 、DS 两两互相垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系 )0,0,0(),2,0,0(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,3(D C B A S ∴ --------------5分 )2,1,3(),0,1,0(-=-=∴SB AD --------------6 分 4 2 | |||,cos - =??>= <∴SB AD SB AD SB AD --------------7分 ∴AD 与SB 所成的角的余弦为 .4 2 --------------8分 （III ）)2,1,0(),0,0,3(==DB DS 设面SBD 的一个法向量为),,(z y x n =ρ ),1,2,0(02036 0-=????=-=??????=?=?∴n z y x DB n DS n ρρρ取 --------------9分 z S A B C D x y 又)0,1,3(),2,0,0(-==SA AB Θ ∴设面DAB 的一个法向量为),,(z y x m = 所以所求的二面角的余弦为 5 15 …………11分 解法二 （I ）同解法一 （II ）矩形ABCD ，∴AD//BC ，即BC=a ， ∴要求AD 与SB 所成的角，即求BC 与SB 所成的角 …………5分 在SBC ?中，由（1）知，SD ⊥面ABCD 。 SDC Rt ?∴中，a a a SC 7)2()3(22=+= ∴CD 是CS 在面ABCD 内的射影，且,CD BC ⊥ BC SC ⊥∴ --------------6分 ,77tan === ∠a a CB SC SBC ,4 2 cos =∠SBC ----------8分 从而SB 与AD 的成的角的余弦为 .4 2 （III ）,,AB SD AD SD SAD ⊥⊥?且中Θ ⊥∴SD 面ABCD ． ,ABCD SDB 面面⊥∴BD 为面SDB 与面ABCD 的交线． E DB AE A 于作过⊥∴ 面⊥∴AE SDB SB AF A ⊥作又过于F ，连接EF ，从而得：SB EF ⊥ AFE ∠∴为二面角A —SB —D 的平面角 ------10分 在矩形ABCD 中，对角线,5)2(22a a a BD =+= ABD ?∴在中，.55 252a a a a BD CD AB AE =?=?= 由（2）知在SBC Rt ?， 22(7)(2)8.SB a a a =+= 而SAD Rt ?中，SA=a ，且AB=2a ， ,222AB SA SB +=∴ SAB ?∴为等腰直角三角形且SAB ∠为直角， 510 255 2sin 22 2 = ==∠∴== ∴a a AF AE AFE a AB AF 所以所求的二面角的余弦为.5 15 --------------12分 20、解（1）：∵()ln 1a f x x x = +-，∴221()a x a f x x x x -'=-+=． 令()0f x '=，得x a =． ①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增. ②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， ③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减. ……6分 （2）解： ∵()()ln 1x g x x e x =-+，(]0,x e ∈， ()()()()ln 1ln 11x x g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ??=+-+=+-+ ??? 由 （1）可知，当1a =时，1 ()ln 1f x x x =+-． 此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1 ln 10x x +-≥． 当(]00,x e ∈，00x e >，00 1ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ??'=+-+≥> ??? ． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解． 故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在 0x x =处的切线与y 轴垂直……12分 21、解： 2232 2.1,2,c 32c a b b b e a a a -==== =?==椭圆的方程为1422 =+x y 4分 (2) ①当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-,由0=?n m 2 22211 11044 y x y x -=?=…………5分 又11(,)A x y 在椭圆上，所以2,2 214411212 1==?=+y x x x 1121111 2122 s x y y x y =-== 所以三角形的面积为定值.……6分 ②当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y=kx+b 42042)4(14 2212 222 2+-=+=-+++?? ????=++=k kb x x b kbx x k x y b kx y 得到 4 42221+-=k b x x ，?=(2kb)2-4(k 2+4)(b 2 -4)>0……………8分而0=?n m , :04) )((0421212121代入整理得=+++?=+ b kx b kx x x y y x x 22 24b k -= ……………10分 S=12|b|1+k 2 |AB|=12|b|(x 1+x 2)2 -4x 1x 2=|b|4k 2-4b 2+162(k 2+4)=4b 2 2|b|=1 综上三角形的面积为定值1.………………………12分 22、解：（Ⅰ）)1(111+-=a S a S ∴1,=a a ……….1分 当2n ≥时， ) 1(+-=n n n a S a S ， )1(111+-=---n n n a S a S ， 两式相减得：1-?=n n a a a ， 1 n n a a a -= (a ≠0，n ≥2)即{}n a 是等比数列．∴1n n n a a a a -=?=；…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a ≠1，n n n n a a a a a b 1)1()(2 --+=,1 )12(2---=a aa a a b n n n ， 若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b = 而2 12a b = ，)12(3 2+=a a b ， )12(243++=a a a b …6分 故=+2 3 )]12([a a )12(23 2 +?a a a ，解得2 1 =a ， ……………………7分 再将21= a 代入得n n b )2 1(=成立，所以21 =a ． …………8分 （III ）证明：由（Ⅱ）知n n b )21(=，所以1)21(1+=n n c 1)21(1 1-- +n ，11222121n n n n ++=++- 1212+- =n 1 21 1 -++n … 10分 所以1 11 222 n n n c +>- + 12n n T c c c =+++L 211(2)22>- +)2 1212(32+-+ )21 212(1++- ++n n Λ 2 1 2212121->+-=+n n n ………12分