根号起源
根号的起源...
在西元前五世纪左右的希腊,有一个非常权威的研究团体,叫做毕达哥拉斯学派.他们认为:万物皆数,即都可用整数与整数的比值表示. 但在毕达哥拉斯学派中,有一个叫做希博索斯的年轻人,首先发现一个正方形的对角线长度不能用整数的比值表示,虽受到激烈的反对,他仍坚持有这样一个数存在. 一直到16 世纪的大数学家笛卡尔,才开始采用(根号)表示平方根,期间相隔2000年.
开方亦是最早产生的运算之一.古埃及人以""表示平方根(root);七世纪印度人婆罗摩笈多以"c"(carani(平方根)之首个字母)表示平方根;十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以""为平方根号(Sign for root).
二世纪罗马人尼普萨斯以拉丁词语latus(意即"正方形的边")记平方根,这词的首个字母"l" 后更成为欧洲重要的平方根号之一.十二世纪,蒂沃利的普拉托等人也采用这符号.十六世纪法国人拉米斯也采用这符号,如"l 27 ad l 12" 得"l75"(即√27+√12=√75);法国数学家韦达亦用过这符号.到了1624年,英国人布里格斯分别以"l","l3","ll"表示方根,立方根及四次方根
而另一於欧洲被广泛采用之方根号"",亦是源自拉丁词语"radix"(意即"平方根").这符号最先出现於由阿拉伯文译成拉丁文的《几何原本》(欧几里得著)第十卷中,其后斐波那契和帕乔利等人均采用这符号.及至十六至十七世纪间,许多数学家如:塔尔塔利亚,韦达(亦采用"l")等
人都以""为平方根号.
於德累斯顿(1480)手稿内,在数字或字母前以一点"."表示求平方根;两点".."表示求四次方根;三点"…"表示求三次方根及四点" …."表示求九次方根.而於格丁根手槁(1524)内,则以""表示平方根;"ce"表示立方根及"cce"表示九次方根等,如:(即),其中的cs为communis(意为结合),表示先加再开平方.
德国人鲁多尔夫是较早以""表示平方根的人之一.他於1557年引入""后,又分别以""及""表示三次方根及四次方根.斯蒂文则分以""及"c"表示平方根及立方根,至1640年,又以3)(表示√3.x2及以3)20+392表示.1637年,笛卡儿采用√作平方根号.1647年,奥特雷德以"r"表示平方根,以"[12]"或"表示十二次方根;1655年,沃利斯以"3R2"表示;1721年,哈顿分别以""及""表示三次方根及四次方根;1732 年,卢贝尔以表示25的三次方根,与现代的符号无异.其后,各次方根号都逐渐以这形式表达,开始了现代符号的使用.
取材:网络资料
来信指教:
yanch_ren@https://www.wendangku.net/doc/5a13745194.html,
根式函数值域定稿版
根式函数值域 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1.平方法 例1：求31++-=x x y 的值域 解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+- +x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y 所以函数值域为[]22,2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2 的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法 例2： 求值域1)12--=x x y 2)x x y 2 4-+= 解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，?? ????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 （2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令?? ????-∈2,2ππα
则原函数转化为：??? ? ?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ?? ????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。 3.数形结合法 例3：1）求()()8222+-+= x x y 的值域。 2）求1362222+-++-= x x y x x 的最小值。 解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y （2）解析式可转化为()()41312 2+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012 222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。 点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知 13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A 析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。 例4：1) 求x x y x 2312 +--+=的值域
探究二次根式函数值域的求法
探究二次根式函数值域的求法 有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。 探究一：求x x x 3245)(f ---= 的值域 设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。 解：()x x x f 3245---= 05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5 又()x f 在其定义域内是增函数。 ()()35m i n -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[] 3,3，- 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。 解： ()x x x f 3245---= ()x x x f ---=∴835 设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f 易得 3 32 2 =++=b a y b a 故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2 2 =+b 上移动，何时截距最大，何时截距最 小。由于0≥a ，0≥b 所以32 2=+b a 表示的仅为第一象限内 41 由图易知，直线经过A 点时，截距 y 最小，直线过B 点时，截距 y 最大。 将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中， y +﹛
含根式函数值域的求法
含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(1 2v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(21 2+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线 与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 841 -. ∴ 原函数的最小值为841 -. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-= )20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 图 2 图1
函数最值问题的处理方法
函数最值问题的处理方法 摘要 函数的最值问题遍及代数，三角，立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有 广泛的应用。中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。求函数最 值的方法有：配方法，不等式法，换元法，函数单调性法，判别式法，数形结合法，导数 法，线性规划问题，利用三角函数的有界性 关键词：函数，最值问题，处理方法 一、 配方法 形如或者可化成y=2ax +bx+c(a ≠0)的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据 二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值，解题过程要特别关注自变量的取值范 围。 例1：已知f(x)=2x +2x+2,分别求出f(x)在闭区间：(1) [-4,-2], (2)[2,3], (3)[-2,3] 上的最大值M 和最小值m 解：f(x)的图像开口向上，对称轴x=-1 （1）对称轴x= -1在区间[-4,-2]的右侧，f （x ）在[-4，-2]上是减函数， 所以M=f （-4）=10，m=f （-2）=2 （2）对称轴x= -1在区间[2,3]的左侧，f （x ）在[2,3]上是增函数， 所以M=f （3）=17，m=f （2）=10 （3）对称轴x= -1在区间[-2,3]内，对称轴在区间中点的左侧， 所以M=f （3）=17，m=f （-1）=1 用配方法求最值的方法步骤： （1）求二次函数在开区间上的最值，看开口方向，确定为最大值或最小值 。 （2）求二次函数在闭区间上的最值，一看开口方向，二看对称轴在闭区间的相对位置， 分四种情况： （1）对称轴在闭区间的左侧； （2）对称轴在闭区间的右侧； （3）对称轴在闭区间中点的左侧； （4）对称轴在闭区间中点的右侧。 二、不等式法 通过式的变形，将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征， 从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成 立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正，二定，三相等”。 例2：设x ，y ，a ，b ∈（0，+∞），且a ，b 为常数，若 1=+y b x a ，试求x+y 的最小
带根号的函数最值问题
带根号的函数最值问题 数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。 1. 单调性一致情况 y x = （x ∈[1,2]） 分析：这个函数，分成两部分。 x 也是增的。这个函数y x =+ 于是，最大值最小值就在端点时取到。 min max y 12y == 2.单调性不一致的根号中一次项情况 y x =+ (x ∈[0,1]) 分析：单调性不一致，首先考虑换元法 2[0,1]),x=1-t ∈ max min 3,14 y y == 3．根号中出现二次项情况 y x =（x ∈[-1,1]） 分析：单调性很难判断。这时候首先考虑换元法 方法一：三角换元
我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。 设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈, 利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。 cos sin )4 y x θθπ θ=+=+=+ 值域就是[- 方法二：移项平方 这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。 y x y x =+-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x 222x 210yx y -+-= 由于x 存在，判别式大于等于0 22248(1) 840 [y y y y =--=-≥∈V 但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1 [y ∈- 方法三：求导 求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。
初中数学最值问题专题
中考数学最值问题 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2 ﹣4的最小值为 ． 【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ． 【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形； （3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋2 1 QC 是否存在最小值若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 练 习 1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ） A.最大值为 32 B.最小值为32 C.最大值为23 D.最大值为2 3 2.（2018四川绵阳）不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。 -2 -1 -1321 3 21 y x O M D C B A
3.（2018齐齐哈尔）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 22 2++--的最小值为_______。 4.（2018云南）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ． 5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大 时间(天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤) 第1次降价后的 价格 第2次降价后的 价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用 (元) 40＋3x 3x 2 －64x ＋400 （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元 6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为 R x =+50030，P x =-1702。 （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少 7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少
二次根式最值
与二次根式有关的最值如何求 施时刚 本文以近几年的竞赛题为例，介绍与二次根式有关的最值问题的常用解法，供读者参考。 1.借用取值范围求最值 例1.代数式x x x + -+-12的最小值为（） A.0 B.12+ C.1 D.不存在的 分析：由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负 所以x x x ≥-≥-≥01020，， 解得x ≥2 而被开方数越小，算术平方根的值就越小 所以当x =2时 x x x +-+-12取得最小值，其值为21+ 故选B 2.因式分解与枚举法结合求最值 例2.设x 、y 都是正整数，且使x x y -++=116100，则y 的最大值是________。 分析：因为x 、y 是正整数，又x 在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再相机处理之。 令x a x b -=+=116100， a ， b 为正整数 则x a x b =+=-22 116100， ∴+=-a b 22116100 即b a 2233 21623-==? 因式分解得：()()b a b a +-=?2333 而b a b a +-、奇偶性相同，右边是偶数 所以b a b a +-、同为偶数 且b a b a +>-
∴+=???-=??????b a b a 2323232223 233222；；；； 解得b a ==??? 552921532515；；；； 所以y =1085436，， 故y max =108 3.借用基本不等式求最值 例3.若x y 2220+=，则112322-+-x y 的最大值是___________ 分析：本题是条件最值问题，变量x 、y 需满足一定的条件。先采取变量换元。 令112322-=-=x a y b ，（a b ≥≥00，） 则11232222-=-=x a y b ， 两式相加得342222--=+x y a b 因为x y 22 20+= 所以a b 2214+= ()a b ab +=+2142（*） 由基本不等式知21422ab a b ≤+= 且a b =时ab 积达到最大 此时112322-=-x y 即y x 2212-= 又y x 2220+= 解得y 216=且x 24= 故112322-+-x y 达到最大值为7727+= 4.倒数法求最值 例4.若x ≠0，求11244 ++-+x x x x 的最大值是_____________。 分析：易知原式取最大值须满足x >0
二次根式经典测试题及答案解析
二次根式经典测试题及答案解析 一、选择题 1．一次函数y mx n =-+结果是( ) A ．m B ．m - C ．2m n - D ．2m n - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可． 【详解】 ∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限， ∴﹣m ＜0，n ＜0， 即m ＞0，n ＜0， ＝|m ﹣n |+|n | ＝m ﹣n ﹣n ＝m ﹣2n ， 故选D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 2．把(a b -根号外的因式移到根号内的结果为（ ）. A B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 先判断出a -b 的符号，然后解答即可． 【详解】 ∵被开方数10b a ≥-，分母0b a -≠，∴0b a ->，∴0a b -<，∴原式 ( b a =--== 故选C ． 【点睛】 =|a |．也考查了二次根式的成立的条件以及二
次根式的乘法． 3．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54 ==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
高中三角函数最值问题难题
高中三角函数最值问题难题 一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例1：求函数y ＝ x x x x x x x x cot | cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- （3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=-- （4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- 综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题 例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13 x -1 y=的最 大值和最小值，则M m +等于（ ） （A ）32 （B ）32-（C ） 3 4-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 1 3 x -1 y=的最大值与最小值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（3 4 -）=-2,选D. 例2：求3sin 1 sin 2 x y x +=+的最值（值域） 分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3 y x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。 解：3sin 1 sin 2 x y x += +，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=- 12(3)sin 12sin 3 y y x y x y --=-?= -。因为sin 1x ≤， 所以()()2 2 2 121212111333y y y y y y -??--≤?≤?≤ ?---?? 即()()()()22 212332802340y y y y y y -≤-?+-≤?+-≤
函数单调性最值问题
1、已知函数y=f(x),x属于A,若对任意a,b属于A,当 a小于b时,都有fa小于fb,则方程fx等 于0有几个根 inh077 2014-12-01 优质解答下载作业帮App，拍照秒答 若对任意a,b属于A,当a小于b时,都有fa小于fb 即函数是单调递增函数 所以 方程f(x)=0最多有1个根. 整理帖子379 2014-12-01 2、已知函数y=f（x）,x∈A,若对任意a,b∈A,当a＜ b时,都有f（a）＜f（b）,则方程f（x）=0的根有几个? 窝窝小鱼95 2014-11-29 优质解答下载作业帮App，拍照秒答因为当a＜b时,都有f（a）＜f（b）,所以y=f（x）是单调递增函数,所以它的根有1个或0个2跨跨933 2014-11-29
3、已知函数y=f(x)的定义域是数集A，若对于任意a， b∈A，当a＜b时都有f(a)＜f(b)，则方程f(x)=0的实 数根？ [ C ] A．有且只有一个 B．一个都没有 C．至多有一个 D．可能会有两个或两个以上 -------.条件告诉我们F（X）是单调增函数。那么有可能与X 轴有一个交点，或无交点。 ------因为对于任意a、b∈A,当a＜b时,都有f（a）＜f（b），所以可以是0＜f（a）＜f（b）或f（a）＜0＜f（b）所以C 对。 4、已知函数y=fx的定义域是数集A，若对于任意ab∈A，当a 二次根式易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．一次函数y mx n =-+结果是( ) A ．m B ．m - C ．2m n - D ．2m n - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可． 【详解】 ∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限， ∴﹣m ＜0，n ＜0， 即m ＞0，n ＜0， ＝|m ﹣n |+|n | ＝m ﹣n ﹣n ＝m ﹣2n ， 故选D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 2．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选 A. 3．当3x =-时，二次根m 等于（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得： =．故选B ． 4．下列计算中，正确的是( ) A ．= B 1b =(a ＞0，b ＞0) C = D ． =【答案】B 【解析】 【分析】 a≥0，b≥0 a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、 B 1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C ，故原题计算错误； D 32 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 5．在下列算式中：= ②=； 4==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】 探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活, 又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1?平方法 例1:求y .. 1 x x 3的值域 解：由题意知函数定义域为3,1 ，两边同时平方得： 2 ■ 2 2 y 42、x 2X 3=4+2 x 1 4 2 利用图像可得y 4,8，又知y 0 y 2,2,2 所以函数值域为2,2.2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为 2 __________________ 2 y a b、x的形式，先求y的范围，再得出y的范围即值域。 2. 换元法 例2：求值域1)y 2x x 1 i12 2) y x x 解：(1)首先定义域为1,，令t . x 1 t 0，将原函数转化为 t 0, 析：当函数解析式由未知量的整数幕与根式构成，并且根式内外的未知量的次幕保持致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 ⑵首先，函数定义域为x 2,2 ，不妨设 x 2sin ，令-,- 则原函数转化为：y 2sin 2cos 2 2 sin 15 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角 的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择 新元，并注意新元的范围。 3. 数形结合法 2 I 2 例3： 1）求y ? x 2 x 8的值域。 2）求y x 3 4 2x 2 x 2 6x 13的最小值。 : 2 i 2 解：（ 1） y J x 2 x 8 |x 2 l x 8 其解析式的几何意义为数轴上的一动点 x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得 到 y 10, f 2 2 （2）解析式可转化为y 、x 1 1 x 3 4 ， 定义域为R ，进行适当的变形 : 2, 2 | 2 2 2 2 x 1 1 v x 3 4 , x 1 0 1 x 3 0 2 ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和 点P x,0到A 1,1和B 3,2的距离之和。即y PA 1消去x 可得u 原解析式可化为y v u ， 3 2x ， v x 4 2 原值域问题可转化为：过圆弧u V 2 y min PA PB 13，其中 A 1, 1 析: 根据解析式特点，值域问题转化成距离问题, 结合图形得出最值，进而求出了值 域。 例 4： 1) x 1 .3 x 2x 的值域 解: 2） 求y 2.x 1 6 x 的值域 (1) 函数定义域为x 1, 3 1,3 时，u 0,2， v 0,4 PB ，结合图形可知 令.1 x =t(t [0,1]),x=1-t 带根号的函数最值问题 数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。 1.单调性一致情况 y x ,2x 1 (x € [1,2]) 分析：这个函数，分成两部分。 x是增的，,2x 1也是增的。这个函数y x 2x 1在定义域上单调增 于是，最大值最小值就在端点时取到。 y min 1、、3, y max 2' 5 2?单调性不一致的根号中一次项情况 y x 1 x (x € [0,1]) 分析：单调性不一致，首先考虑换元法 3 y max ,y min 4 3 ?根号中出现二次项情况 y x x2 1 (x € [-1,1]) 分析：单调性很难判断。这时候首先考虑换元法 方法一：三角换元 我们知道，三角函数cos 、sin 的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算, 开阔思路，二则去掉根号，简化运算。 设x= cos ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,], 2 2 利用1- cos2=sin ，去掉根号很方便。 y x . x2 1 cos sin 丿2 si n(-) 值域就是[1, 一2] 方法二：移项平方 这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。 y x . x2 1 y x x2 1 两边平方 y22xy x2x21注意到这里平方的条件是y >x 2 2 2x 2yx y 1 0 由于x存在，判别式大于等于0 V 4y2 8(y2 1) 8 4y20 y [ 2^.2] 但要注意到，y》x，于是有y>-1 y [ 1, &] 方法三：求导 求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。 所有带根式的函数求最值、值域等问题 高考重点专项解决 一、单选题 1 ．函数y = 的值域是（ ） A ．?? B ．[]0,2 C ．?? D ．[]1,2 2 ．函数y =的值域为 A ． [1, ] B ．[1,2] C ． [ 2,2] D ． 2] 3．函数( )f x = ）． A B ．32 C ．52 D ．2 4 ．函数()f x x =+ ） A ．?? B ．???? C ．?-? D ．?? 5． 函数x x x x f sin cos 232cos )(+--=的值域是（ ） A ．??? B ．??? C ． ??? D ．??? 二、填空题 6．已知函数( )f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围_________. 7 ．函数y x =的值域是____________. 8 ．函数31y x = +的值域为_____. 9 ．函数y =___________. 10．14y x x =--的值域是 ． 11．2()52+412f x x x x =---的值域为__________ 12．12x y x -+= 的值域是_________. 13．函数的值域是_______________． 14．函数7 41)(2+++=x x x x f 的值域为 . 15．求函数x x y -+=1的值域 . 16．函数212y x x =--+的值域为__________． 17．函数2226921017y x x x x =-++-+的值域是_______________. 18．函数()5243f x x x = ---的值域是________. 19．函数 的值域是______． 20．函数 的值域是________________. 21．函数()2223f x x x x =-+--______． 22．函数2()22f x x x =-________ 23．函数541633 x x y x x --=++_____________ 24．函数1()211 x f x x -=-+的值域为__________． 25．函数22()4421f x x x x x =-+++______； 26．函数()11f x x x =--的值域为__________． 27．函数22()ln(11)f x x x x x =++-+的值域为 . 28．函数2y x x =-______． 29．函数()2114f x x x x =++--________. 30．函数()221f x x x x =--______. 31．函数2212152y x x x x =+--- __________. 带根号的函数最值问题数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。1.单调性一致情况 （x ∈[1,2]）y x =+分析：这个函数，分成两部分。 x 也是增的。这个函数 义域上单调增 y x =+于是，最大值最小值就在端点时取到。min max y 12y =+=+2.单调性不一致的根号中一次项情况 (x ∈ [0,1])y x =+分析：单调性不一致，首先考虑换元法2[0,1]),x=1-t ∈max min 3, 14y y ==3．根号中出现二次项情况 （x ∈[-1,1]）y x =+分析：单调性很难判断。这时候首先考虑换元法方法一：三角换元我们知道，三角函数、的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，cos θsin θ开阔思路，二则去掉根号，简化运算。设x=,这里为了确定范围，不失一般性，设,cos θ [0,]θπ∈ 利用1-=sin ,去掉根号很方便。 2cos θ2θcos sin )4y x θθπθ=+=+=+ 值域就是[-方法二：移项平方这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢” 的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。y x y x =+-=两边平方 注意到这里平方的条件是y ≥x 222y 21xy x x -+=-+222x 210yx y -+-=由于x 存在，判别式大于等于 022248(1)840[y y y y =--=-≥∈A 但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥ -1 [y ∈-方法三：求导 求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。 '1y x y =+=-令y’≥0解得 ，不过这个过程颇为艰辛[x ∈- 于是易得[y ∈-4.双根号明显数形结合的情况 求最小值y =分析：明显可以看作两点间距离公式类型。这类题难度不大。但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。 含双根号的函数值域的妙解 摘要：双根号 函数值域 线性规划的数形结合 关键词：双根号函数值域的妙解 对于含双根号的函数值域的求法，简单的主要是换元法配方法或者三角换元，还有就是函数的单调性的解法。但碰到较复杂的函数模型的值域就一筹莫展，笔者在学习过程中寻找到另种妙解：线性规划与数形结合，问题迎刃而解。 下面通过试题来展示： 例1、求函数x x y 2652-+-=的值域。 解：函数的定义域为??????∈3,25x ，令[][] 1,1,0261,05222=+?????∈=-∈=-b a b x a x 等价转化得到，关于（a ,b ）的圆在第一象限的轨迹，转而求目标函数 b a t +=的取值范围。如图所示当直线过点A （1，0）时，t=1为最小值。 当直线与圆相切于点B 时,01221)(1222222=-+-?=-+????=+=+t ta a a t a t b a b a 2120)1(8422≤≤?=?=--=??t t t t 为最大值， [] 2,1∈∴y 例2、求函数x x y 51642-+-=的值域。 解：定义域为??????∈516,2x ,[] 1225,6,0516560,04222=+?????∈=-??????∈=-b a b x a x 等价转化得到， 关于（a ,b ）的椭圆在第一象限的轨迹，转而求目标函数 b a t +=的取值范围。如图所示 当直线过点A （560，0）时，t=560为最小值；当直线与椭圆相切于点B 时 1224712 )(251225222222=-+-?=-+????=+=+t ta a a t a t b a b a 521056052100)122(281622≤≤?=?=--=??t t t t ?? ????∈∴5210,560y 例3、求函数423---=x x y 的值域。 解：函数的定义域为[)+∞∈,3x ，令22,2420322=-?????≥=-≥=-a b b x a x 等价转化得到，关于（a ,b ）的双曲线在第一象限的轨迹，转而求目标函数 b a t -=的取值范围。 如图所示当直线与双曲线相切点A 时，-t 为最小值， 即t 为最大值 最值问题 1、如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使A P+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值． 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下： 作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为． （2）实践运用 如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为． （3）拓展延伸 如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法． （4）如图5，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E，F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图c中确定点E，F的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF周长的最小值． （5）如图6，∠AOB=45°，角内一点P，PO=10，两边上各有点Q，R （均不同于O），则△PQR的周长的最小值为______． （6）如图,在锐角△ABC中,AB=四倍根号二,∠BAC=45°∠BAC的平分线交BC于D.M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN,的最小值是———— (7)在四边形ABCD的对角线AC上找一点P使∠APB=∠APD. （2014年张家口二模）（1）如图1、图2，点P是⊙O外一点，作直线OP，交⊙O于点M、N，则有结论：①点M是点P到⊙O的最近点； ②点N是点P到⊙O的最远点． 请你从①和②中选择一个进行证明。 （注：图1和图2中的虚线为辅助线，可以直接利用） 【最值问题复习】 一、 将军饮马 1. 如图，在矩形ABCD 中，AD=3，点E 为边AB 上一点，AE=1，平面内动点P 满足 1 =3 PAB ABCD S S △矩形，则DP EP -的最大值为_____________. 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为 ． 类型二：点到直线距离垂线段最短 3.在平面直角坐标系中，原点O 到直线24y kx k =-+的最大距离为____________. 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ） A ．2 B ．2.2 C ．2.4 D ．2.5 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是（ ） A ． B ．1 C ． D ． 6. 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P 分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为． 7. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO 上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC 边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN 的最小值是． 9.如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧 作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为． 学习二次根式概念“四注意” 一、注意：二次根式的定义 a≥0）叫做二次根式，理解这个概念时，要抓住三个要点： （1）从形式上看而次根式必须有二次根号3 =，3显然就不是二次根式，因此，二次根式是指某种式子的“外在形态”． （2）被开方数a可以是数，也可以是但是，若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代 a≥0 被开方数a是非负数，即a≥0； ②． （3）二次根式是一种代数式，二次根式是由于开平方运算得到的，当被开方数为常数时，它是一个实数，能开得尽方的为有理数，不能开得尽方的为无理数。当被开方数中含有字母时，它就是我们以后将要接触到的无理式，因此，虽说二次根式为代数式，但其可能为有理式，也可能为无理式，它是代数式中的一部分． 二、注意：定义是判断一个式子是否为二次根式的依据，判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： （1）带二次根号；（2）被开方数大于等于0，只要同时民主这两个7，它就是二次根 x≥1） （x＜0＝就不是二次根式． 三、注意：怎么确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 由二次根式的定义可知，当a≥0a＜0 方数中字母的取值范围问题，或无意义的条件，列出不等式， 在实数范围内有意义，必须使3x-1≥0，即x≥1 3 ． 确定自变量的取值范围是本节的重点也是难点，所以一定要高度重视，我们学过的内容不外乎以下几种类型： 根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑： ① 整式型：若函数解析式是整式时，则自变量取值范围为一切实数； ② 分式型：若函数解析式是分式时，则分母不为零； ③ 二次根式型：若函数解析式是二次根式时，则被开方数为非负数； ④ 指数型：若函数解析式用零次幂表示时，则应考虑底数不为零； ⑤ 综合型：若函数解析式是整式型、分式型、二次根式型、指数型的综合，则自变量 取值范围是它们各自取值范围的公共部分． 四、注意：二次根式的简单性质 由二次根式的定义可得a ≥0）是一个非负数，又因为开平方运算与平方运算是互 逆运算，因而有：2a =（a ≥0），由此可得二次根式的两个简单性质： （1a ≥0）是一个非负数； （2）2a =（a ≥0）． 3的算术平方根，3的平方根，而222,(3==． 二次根式的乘法运算应注意的问题 (1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机 a ≥0， b ≥0)，盲目地把被开方数相乘． ×3×3． (2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式． 例如，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，二次根式易错题汇编含答案解析
根式函数值域
带根号的函数最值问题
高中数学所有带根式的函数求最值求值域含答案
【免费下载】带根号的函数最值问题
含双根号的函数值域的妙解
最值问题
中考 最值问题复习题(带答案)
解答二次根式问题的几点注意