高三数学基础训练题
数学基础训练题（八）
A 组
1. （2008全国卷Ⅰ）在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =
A ．
21
33
+b c B ．5
233
-
c b C ．
2133
-b c
D ．1
233
+
b c 【答案】A.
2. （2009湖北卷）若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c =
A. 3a b +
B. 3a b -
C. 3a b -+
D. 3a b + 【答案】B.
3. （2008湖北卷Ⅰ）设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则()
2=a b c + ▲ . 【答案】3-
4. （2012广东卷）若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC = ▲ . 【答案】 ()2,4--
5. （2008上海卷）若向量a ，b 满足1
2a b ==，且a 与b 的夹角为3
π
，则a b += ▲ .
6. （2009全国卷Ⅱ）已知向量 (2,1)a =， 10a b =，52a b +=，则b = ▲ . 【答案】5
7. （2009江苏卷）已知向量a 和向量b 的夹角为30o
，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的
数量积a b ?= ▲ .
【答案】233a b ?=??
= 8. （2010江西卷）已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，则a b -=
▲ .
9. （2011重庆卷）已知单位向量12e e 、的夹角为60o
，则122e e -= ▲ .
10. （2008全国卷Ⅱ）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共
线，则=λ ． 【答案】2
11. （2008海南卷）已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=
且0λ>，则=λ
▲ . 【答案】3
12. （2009浙江卷）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，
()⊥+c a b ，则c = ▲ .【答案】77(,)93
--13. （2010陕西卷）已知向量()2,1a =-，()1,b m =-，()1,2c =-若()
//a b c +，则
m = ▲ .
【答案】m=-1
14. （2011江苏卷）已知12e e 、是夹角为
23
π
的两个单位向量，12122,a e e b ke e =-=+若0a b =，则k 的值为 ▲ .
【答案】45
15. （2013辽宁卷）已知点()()1,3,4,1A B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 ▲ . 【答案】3
455?? ???
，-
16. （2013大纲卷）已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()
m n m n +⊥-,则=λ ▲ . 【答案】3-
17. （2011安徽卷）已知向量a b 、
满足()()26a b a b +-=-，且1,2a b ==， 则a 与
b 的夹角为 ▲ .
【答案】3π
18. （2012辽宁卷）已知两个非零向量a b 、
满足a b a b +=-,则下面结论正确的是 A ．//a b B ．a b ⊥ C ．a b =
D ．a b a b +=-
【答案】B ．
19. （2009北京卷）已知向量a b 、
不共线，()c ka b k R =+∈,d a b =-,如果//c d ，那么
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．
B 组
20. （2008湖南卷）设D E F 、、分别是ABC ?的三边BC CA AB 、、上的点，且
2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
【答案】 A
21. (2009 广东卷)已知平面向量a =,1x （）
，b =2
,x x （－）， 则向量a b + A.平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】C
22. （2008重庆卷)若过两点12(1,2),(5,6)P P -的直线与x 轴相交于点P ，
则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为 ▲ . 【答案】－
1
3
23. （2009重庆卷）已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是 ▲ . 【答案】
3
π
24. （2011江西卷）已知2a b ==,()()22a b
a b +-=-，则a 与b 的夹角为 ▲ .
【答案】3π
25. （2009广东卷）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于
平衡状态．已知1F ，2F 成0
60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ▲ .
【答案】
26. （2009湖南卷）如图1，D E F 、、分别是ABC ?的边AB BC CA 、、的中点，则
A ．0AD BE CF ++=
B ．0BD CF DF -+=
C ．0A
D C
E C
F +-= D ．0BD BE FC --=
图1
【答案】A
27. （2009全国卷Ⅰ）设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<,
▲ .
【答案】120°
28. （2010浙江卷）已知平面向量,,1,
2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值是
▲ .
29. （2011上海卷）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ?=
▲ .
【答案】152
30. （2009安徽卷）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，
AC AE AF λμ=+，其中R λμ∈、 ，则λμ+= ▲ .
【答案】4/3
31. （2011全国新课标卷）已知a b 、
均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 其中真命题是
（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p
【答案】A
32. （2012浙江卷）设a b 、
是两个非零向量. A ．若a b a b +=-,则a b ⊥ B ．若a b ⊥,则a b a b +=-
C ．若a b a b +=-,则存在实数λ,使得a b λ=
D ．若存在实数λ,使得a b λ=，则a b a b +=-
【答案】C ．
33. （2012课标卷）已知向量a b 、
夹角为045,且1a =,210a b -=,则b = ▲ .
【答案】34. （2013湖北卷）已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ,则向量AB 在CD
方向上的投影为 ▲ .
【答案】
2
35. （2011湖南卷）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3BC BD CA CE ==则
AD BE = ▲ .
【答案】14-
36. （2012天津卷）在ABC ?中,90A ∠=?,1AB =, =2AC ，设点,P Q 满足
,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ?=-,则λ= ▲ .
【答案】
23
37. （2012安徽卷）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =
▲ .
38. （2013新课标Ⅱ卷）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD = ▲ . 【答案】2
39. （2013山东卷）已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3AB =,2AC =,若
AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ的值为 ▲ .
【答案】
7
12
40. （201新课标1卷）已知两个单位向量a b 、
的夹角为60?,(1)c ta t b =+-,若0b c =,则t = ▲ .
【答案】t =2.
41. （2013北京卷）向量a b c 、
、在正方形网格中的位置如图所示.若c a b λμ=+ (R λμ∈、),则
λ
μ
= ▲ . 【答案】4
42. （2013江苏卷）设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的
点,AB AD 21=
,BC BE 3
2
=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为 ▲ . 【答案】
1
2
43. （2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)(2,3)(2,1)A B C ----、、。
(1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(t -)·0=，求t 的值。 【答案】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则 所以||210,||4 2.AB AC AB
AC +=-=
故所求的两条对角线的长分别为、
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条
对角线的交点为E ，则:
E 为B 、C 的中点，E （0，1）
又E （0，1）为A 、D 的中点，所以
D （1，4）
故所求的两条对角线的长分别为
BC=、AD= （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。 由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++?--=， 从而511,t =-所以11
5
t =-
。 或者：2
· AB OC tOC =，(3,5),AB =2
115||AB OC t OC ?==- C 组
44. （2008浙江卷）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足
0)()(=-?-c b c a ,则c 的最大值是 ▲ .
【答案】2
45. （2009安徽卷）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则
(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=
x y +的最大值是 ▲ . 【答案】设AOC α∠=
,,
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ??=?+???
?=?+???，即01cos 21cos(120)2
x y x y αα?
=-????-=-+??
∴0
2[cos cos(120)]cos 2sin()26
x y π
ααααα+=+-==+≤
46. （2010浙江卷）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足
1β=，且α与βα-的夹角
为120°，则α的取值范围是 ▲ .
【答案】0,
3?
??
47. （2012江苏卷）如图,在矩形ABCD 中
,2AB BC =，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是 ▲
.
48. （2013湖南卷）已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足
1,c a b c --=则的取值范围是 ▲ .
【答案】1
??
49. （2013浙江卷）设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角
为
6π
,|
|b 的最大值等于 ▲ . 【答案】2
附：平面向量