2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：高考大题专项2

高考大题专项二　高考中的三角函数与解三角形

1.(2018北京,理15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-.

1

7(1)求∠A;

(2)求AC 边上的高.

2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.37(1)求c;

(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.

3.(2018河南郑州三模,17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且acos C=(2b-c)cos A.33(1)求角A 的大小;

(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值.

4.(2018河南六市联考二,17)已知f(x)=12sin(x+)·cos x-3,x ∈

.π

6[0,

π4

]

(1)求f(x)的最大值、最小值;

(2)CD 为△ABC 的内角平分线,已知AC=f(x)max ,BC=f(x)min ,CD=2,求∠C.

25.(2018山东潍坊三模,17)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x+2sin xcos x(x ∈R ).3(1)求f(x)的最小正周期;

(2)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若

f(A)=2,c=5,cos B=,求△ABC

中线AD 的长.

1

7

6.已知在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍.

(1)求;

sinB sinC (2)若AD=1,DC=,求

BD 和AC 的长.

2

27.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知4cos 2-4sin Bsin C=3.

B -C

2(1)求A;

(2)若(bc-4)cos A+accos B=a 2-b 2,求△ABC 的面积.

38.在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B=,

π6(1)求边c 的长;(2)求角B 的大小.

高考大题专项二　高考中的三角函数与解三角形

1.解 (1)在△ABC

中,∵cos B=-,∴B ∈,∴sin B=

.

17(π

2

,π

)1-cos 2B =

437

由正弦定理,得

,

a sinA =

b sinB ?7sinA

=8

437

∴sin A=.

3

2∵B ∈,∴A ∈,∴A=.

(π2,π)(0,π2)π

3(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=.

3

2×(-17)

+12×

437

=

3314如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点

D.∵sin C=,∴h=BC·sin C=7×?

BC 33

14

=

332

∴AC 边上的高为

33

2

2.解 (1)由已知可得tan A=-,

3所以

A=.

2π3在△ABC 中,由余弦定理得

28=4+c 2-4ccos ,

2π

3即c 2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.

(2)由题设可得∠CAD=,π

2所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.

π

6故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为

=1.

12

AB ·AD ·sin π61

2

AC ·AD 又△ABC

的面积为×4×2sin ∠BAC=2

,1

23所以△ABD 的面积为.

33.解 (1)由正弦定理可得:sin Acos C=2sin Bcos A-sin Ccos A,

33从而可得sin(A+C)=2sin Bcos A,即sin B=2sin Bcos A,

33所以cos A=又A 为三角形的一个内角,所以A=.

3

2π6(2)由余弦定理得4=b 2+c 2-2bc×2bc-bc,

3

23所以bc ≤4(2+),当且仅当b=c 时取等号,所以

S max =bcsin A=2+

.

31

234.解 (1)f(x)=12sin x××cos x+12cos x××cos x-3=3

sin 2x+3(1+cos 2x)-3=6sin .

3

21

23(2x +π

6)∵f(x)在上单调递增,在上单调递减,

[0,π6)(π6,

π4]

∴f(x)max =6,f(x)min =3.

(2)在△ADC 中,,

AD

sin C

2=AC

sin∠ADC 在△BDC 中,,

BD sin C 2

=BC

sin∠BDC ∵sin ∠ADC=sin ∠BDC,AC=6,BC=3,

∴AD=2BD.在△BCD

中,BD 2=17-12

cos ,

2C

2在△ACD

中,AD 2=44-24

cos =68-48cos ,

2C

22C

2∴cos ,即C=.

C 2=

22π2

5.解 (1)∵f(x)=-cos 2x+

sin 2x=2sin ,

3(2x -π6)∴T==π.∴函数

f(x)的最小正周期为π.

2π

2(2)由(1)知f(x)=2sin ,

(2x -π6

)

∵在△ABC 中,f(A)=2,∴sin =1.

(2A -π6

)

∴2A-,∴A=.

π6=

π2π3又

cos B=,∴sin B=,

1

7437∴sin C=sin(A+B)=32

×1

7+12×

437

=

5314

在△ABC 中,由正弦定理,得,

c

sinC

=

a sinA 5

53

14

=a

3

2

∴a=7,∴BD=,

7

2在△ABD 中,由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2-2AB×BD×cos B=52+-2×5×,∴AD=(72)

272

×1

7=

129

412926.解 (1)S △ABD =AB·ADsin ∠BAD,S △ADC =AC·ADsin ∠CAD.

121

2因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.

由正弦定理可得.

sinB sinC =AC AB =

1

2(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC,所以BD=.2在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知,AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos ∠ADB,　①AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos ∠ADC.　②因为cos ∠ADB=-cos ∠ADC,所以①+2×②得

AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

7.解 (1)4×-4sin Bsin C=2+2cos Bcos C-2sin Bcos C=2+2cos(B+C)=2-2cos A=3,cos A=-,

1+cos (B -C )

21

2∵0

2π

3(2)∵(bc-4)·

+ac·=a 2-b 2,3b 2+c 2-a 2

2bc a 2+c 2-b 2

2ac ∴-4

=a 2-b 2,

b 2+

c 2-a 2

2

3·b 2+c 2-a 2

2bc +

a 2+c 2-

b 2

2

∴b 2+c 2-a 2-4

=0,

3·

b 2+

c 2-a 2

2bc

∵A=,∴b 2+c 2-a 2≠0,

2π

3∴1-=0,bc=2

,S △ABC =bcsin A=×2

.

43

2bc 3121

23×

32

=3

2

8.解 (1)acos B=3,a×=3,化为a 2+c 2-b 2=6c,①

a 2

+c 2

-b

2

2ac

bcos A=1,b×=1,化为b 2+c 2-a 2=2c.②b 2+c 2-a 2

2bc 解由①②组成的方程组得2c 2=8c,即c=4.(2)将(1)得到的c=4代入①可得a 2-b 2=8.

又A-B=,∴A=B+,C=π-(A+B)=π-,可得sin C=sin .π6π6(2B +π6)(2B +π

6)

由正弦定理可得,

a sinA =

b sinB =

4

sinC

∴a=,b=.

4sin (

B +π

6

)sin (2B +π6)4sinB sin (2B +π

6)∴a 2-b 2=8?16sin 2

-16sin 2B=8sin 2

,

(B +π6)(2B +π

6)∴1-cos -(1-cos 2B)=sin 2

,

(2B +π3)(2B +π

6)即cos 2B-cos =sin 2

,(2B +π3)(2B +π

6)∴sin =sin 2

,

(2B +π6)(2B +π

6)∴sin =0或sin =1,B ∈,解得B=.

(2B +π6)(2B +π6)(0,5π12)π

6