初三数学圆知识点总结归纳
初三数学圆知识点总结归纳
初三数学圆知识点总结归纳
在平平淡淡的学习中，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。为了帮助大家掌握重要知识点，以下是店铺为大家整理的初三数学圆知识点总结归纳，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
一、圆的认识
1、圆的定义
（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。
2、圆的有关概念
（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中的CD）。
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的CD、CAD）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的'弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、过三点的圆。
（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
5、垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、与圆相关的角
（1）与圆相关的角的定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质
①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④半圆（或直径）所对的圆周角相等；
⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；
⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
二、与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：
（1）点在圆外dr。
（2）点在圆上dr。
（3）点在圆内dr。
2、直线和圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
（1）直线和圆相离dr，直线与圆没有交点；
（2）直线和圆相切dr，直线与圆有唯一交点；
（3）直线和圆相交dr，直线与圆有两个交点。
3、圆的切线
（1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。
（2）切线的判定定理，经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。
（3）切线的性质定理及推论。
定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、两圆的位置关系
设R、r为两圆的半径，d为圆心距
（1）两圆外离dR+r；
（2）两圆外切dR+r；
（3）两圆相交R。
（4）两圆内切d。
（5）两圆内含dr （注意：如果为d=0，则两圆为同心圆。） R-r(R>r)。 5、两圆连心线的性质 （1）相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角。（注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，很易证明。）（2）相切两圆的连心线必经过切点。 （3）相离两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角。 6、两圆公切线的性质 （1）如果两圆有两条外公切线，则两外公切线长相等。 （2）如果两圆有两条内公切线，则两内公切线长相等。 7、与圆有关的比例线段问题的一般思考方法 （1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论； （2）找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。 8、与圆相关的常用辅助线 （1）有弦，可作弦心距； （2）有直径，可作直径所对的圆周角； （3）有切点，可作过切点的半径； （4）两圆相交，可作公共弦； （5）两圆相切，可作公切线； （6）有半圆，可作整圆。 记忆口诀：有弦可作弦心距，中心圆心相连；两圆相切公切线，两圆相交公共弦；遇到切点作半径，圆与圆心连心；遇到直径相直角，直角相对点共圆。（注：“心连心”为连心线。） 9、圆外切三角形和四边形的性质 （1）如右图，△ABC是⊙O的外切三角形，D、E、F为切点，则AD=AF=AB+AC-BD。 同理：直角三角形内切圆半径R=a+b-c。（其中a、b为直角边，c为斜边） （2）圆外切四边形两组对边和相等，即如右图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，则 AB+CD＝AD+BC。 三、圆中的计算问题 1、圆的有关计算 （1）圆周长：c=2pR。 （2）弧长：l=npR； 1802。 （3）圆面积：S=pR；1npR2。 （4）扇形面积：S扇形＝lR=；2360。 （5）弓形面积：S弓形＝S扇形±SD。 2、圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl=2prl。 3、圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c，半径等于圆锥母线长l，若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为a，则a=r1360，S圆锥侧＝cl=prl。 【初三数学圆知识点总结归纳】 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． 九年级数学圆知识点总结 在九年级数学学习的过程中，我们接触到了许多关于圆的知识。圆是几何学中的重要概念之一，它有着特殊的性质和应用价值。 接下来，本文将对九年级数学中的圆知识点进行总结。 一、圆的定义与性质 1. 圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点距离相等的点组 成的图形。这个给定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。 2. 相关性质： - 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径长度的两倍。 - 圆的半径相等，且平行于任意切线。 - 圆的弦是连接圆上任意两点的线段，直径是最长的弦。 - 相等弧所对的圆心角相等，且圆心角大于它所对的弧上任意角。 二、圆的周长与面积 1. 周长： - 弧长：圆的周长也被称为圆的周长，用C表示。弧长是圆上一段弧的长度，计算公式为：C = 2πr，其中r是圆的半径。 - 弧度制：弧度制是角度的一种衡量方式，常用的单位是弧度（radian）。一个完整的圆周对应的弧度数为2π。 2. 面积： - 圆的面积：用A表示，计算公式为：A = πr^2，其中r是圆的半径。 三、圆的位置关系 1. 内切与外切： - 内切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心重合，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为内切圆。 - 外切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为外切圆。 2. 切线与割线： - 切线：从圆外一点引出的与圆相切的直线称为切线，切线与半径垂直。 - 割线：与圆相交于两点的直线称为割线。 四、圆的常见定理和应用 1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么它与半径的垂 直角都是直角。 2. 弧长与圆心角关系：弧长等于半径与对应圆心角的乘积。 3. 弧度制与角度制的转换关系：一周的弧度数为360°。 4. 圆心角、弦与弧的关系：圆心角的度数是对应的弧度数的两倍。 5. 弦切角定理：一个弦与切线所夹的角等于被切割的弧所对的 圆心角。 通过对九年级数学中关于圆的知识点的总结，我们对圆的定义、性质以及相关定理和原理有了更深入的了解。在学习中，我们需 要注意掌握圆的周长、面积的计算以及圆的位置关系的特性。圆 作为几何学的基础，对于后续的学习也具有重要的指导和应用作用。希望通过本文的总结，能够帮助同学们更好地掌握九年级数 学中的圆知识点。 初三数学圆的重要知识点总结 初三数学圆的重要知识点总结 在平日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。想要一份整理好的知识点吗？以下是小编收集整理的初三数学圆的重要知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 初三数学圆的重要知识点总结篇1 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d>r 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 27.正三角形面积√3a/4 a表示边长 28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 29.弧长计算公式：L=n兀R/180 A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD = 初三数学圆知识点总结初三数学圆知识点 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 初三年级数学圆的知识点归纳 【篇一】 1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上d=r;②点在圆内dd>r. 二.圆的对称性： 1.与圆相关的概念： ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ⑧弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三.圆周角和圆心角的关系： 1.圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等; 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 四.确定圆的条件： 1.理解确定一个圆必须的具备两个条件： 经过一点能够作无数个圆,经过两点也能够作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念： (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. 数学初三圆的知识点总结 圆是平面几何中一个重要的概念，对于初三学生来说，理解和掌握圆的知识点是非常必要的。下面我将对圆的知识点进行总结，希望对初三的学生有所帮助。 一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离都相等的点的轨迹。 2. 圆的元素：圆上的每个点都称为圆上的点，由圆心和半径组成。 3. 圆的表示方法：圆心为O，半径为r的圆通常记作O(r)。 4. 圆的常用术语：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。 二、圆的性质 1. 圆心角与弧的关系 （1）定义：以圆心为顶点的角叫做圆心角。 （2）性质： - 圆心角的度数等于其所对的弧的度数； - 圆心角相等的弧相等； - 圆心角的度数等于弧所扫过的弧度数。 2. 弧长与弧度的关系 （1）定义：圆上任意一段的长度叫做该弧的弧长。 （2）性质：弧长等于半径与弧度的乘积。 3. 弦长与弧度的关系 （1）定义：弦上任意一段的长度叫做该弦的弦长。 （2）性质：- 弦长等于直径乘以弧度的正弦值的一半。 4. 切线与切点 （1）定义：与圆有且仅有一个公共点的直线叫做圆的切线，该点叫做切点。 （2）性质：切线垂直于半径，并且过切点的切线只有一个。 5. 切线长定理 对于两条相交的切线，交点两边的切线段的乘积等于切点外的整条切线段的平方。 即 PA^2 = PB × PC （P为切点，A为切线上一点，B、C为切线上两个交点） 三、圆的重要定理 1. 切线与半径的关系定理 切线与半径的相交弧各自所对的圆心角相等。 2. 弧切定理 切线与弦的交点，切线与切点外的整个圆的两条弧所对的圆心角是互补角。 3. 同弧或同半径的圆上的圆心角、弧长和面积相等。 4. 相交弧与矩形面积的关系 相交弧所对的扇形面积等于扇形的圆心角与圆的整个面积的比 初三数学圆的知识点总结归纳 今天小编就为大家整理了一篇有关初三数学圆的知识点总结归纳的相关问题，以供大家阅读！ 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r ③.两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④.两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 圆——知识点总结归纳 要点归纳 一．圆的认识 1．圆的定义 〔1〕在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，如右图所示。 〔2〕圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。 说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念 〔1〕弦：连结圆上任意两点的线段。〔如右图中 的CD 〕。 〔2〕直径：经过圆心的弦〔如右图中的AB 〕。 直径等于半径的2倍。 〔3〕弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧。〔如 右图中的CD 、CAD 〕 其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD ，小 于半圆的弧叫做劣弧。 〔4〕圆心角：如右图中∠COD 就是圆心角。 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 〔1〕定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 〔2〕推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4．过三点的圆。 〔1〕定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 〔2〕三角形的外接圆圆心〔外心〕是三边垂直平分线的交点。 5．垂径定理。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论： 〔1〕①平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧。 〔2〕圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6．与圆相关的角 〔1〕与圆相关的角的定义 ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 ③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 〔2〕与圆相关的角的性质 A O B C D A 初三数学圆知识点总结完整版 圆是一种最完美的图形，在许多方面，它们也具有很多独特的特性。圆的知识点有很多，其中也含有复杂的数学知识。在初三的数学课上，很多学生都可能会遇到圆在数学当中的应用。 首先，要了解圆的各种基本概念，包括圆心、半径、圆心角、切线和切点等概念。其次，要弄清楚圆和其他几何关系，如圆至直线有何关系，圆心角如何计算，以及圆的切面与圆所表现出的关系。最后，要熟练掌握解决圆面积、圆周长和圆周长对圆周长比等典型问题的方法。 1、圆的基本概念：圆（circle）是一组相同半径的点的一组，同时，它也有一个共同的圆心，半径和圆心角。同时，圆的圆心到任意一点的距离都是相等的，这个距离叫做半径，简写为r，圆上任意两点之间的弧形是圆或圆弧。 2、直线和圆的关系：圆至直线有交点，其形式有三类：直径是直线，圆上有两个交点；切线是直线，圆上只有一个交点；内切线是直线，不与圆相交。 3、圆的面积和周长：圆的面积是指圆上的点集所围成的面积，它的计算公式是：S = π r^2 (π的值大约等于3.14)；圆的周长是指圆上每一点到圆心的距离之和，它的计算公式是：C = 2πr (π的值大约等于3.14)。 4、圆心角和切点：圆心角是由极角和圆周上任意一点所确定的角，它等于圆周上任一点到圆心的角度，计算公式为γ = 2π/n (n是角数)；切点是由两条切线的交点，它是圆的一个特殊点，它也是中心角与半径的连线的交点。 5、常见圆形问题：解决圆面积、圆周长和圆周长比等典型问题，可以根据上面提到的面积、周长公式，以及利用图形分析法和极坐标分析法来解决。 圆在数学中以及更广泛的科学中都具有重要的地位，它不仅具有各种基本概念，而且可以解决许多有用的问题，因此学习圆在数学中的应用，对更好地学习数学和其他相关的学科很有帮助。希望各位学生们可以充分利用时间和精力学习圆的知识，以应对更多的学习任务。 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．随意一个三角形肯定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点肯定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° • • C B A O • B O C A D • D B C A O 初三数学圆的知识点归纳 圆是指在一个平面内，一动点以肯定点为中心，以肯定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。下面是我为大家整理的有关初三数学圆的学问点归纳，盼望对你们有关心! 初三数学圆的学问点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、(1)过两点的圆的圆心肯定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同始终线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切; 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 9、平面直角坐标系中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。 则AB=(x1+x2,y1+y2) 10、圆的切线判定。 (1)d=r时，直线是圆的切线。 切点不明确：画垂直，证半径。 (2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。 切点明确：连半径，证垂直。 11、圆的切线的性质(补充)。 (1)经过切点的直径肯定垂直于切线。 (2)经过切点并且垂直于这条切线的直线肯定经过圆心。 12、切线长定理。 (1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。 (2)切线长定理。 初三数学圆知识点归纳 数学是一门理科学科，也是一门需要不断探索和实践的学科。在初中数学中，圆是一个重要的几何图形，它具有许多特殊性质和应用。掌握好圆的知识点，将有助于我们更好地理解几何学的基本原理和应用于实际生活中的问题。本文将对初三数学圆知识点进行归纳总结。 1. 圆的性质 圆是由一个固定点到平面上所有距离相等的点组成的图形。圆的性质有： - 圆心：圆内任意两点与圆心的距离相等。 - 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径。 - 直径：通过圆心的一条线段，两个端点都在圆上，称为直径。直径是圆的最长线段，它的长度等于圆的直径的两倍。 - 弦：在圆上任意选取两点，它们之间的线段称为弦。 - 弧：在圆上两点之间的一段曲线称为弧。 - 弧长：弧上的一段长度称为弧长。圆的周长就是圆的一整个弧的长度，公式为C = 2πr。其中，C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14。 2. 圆的元素与关系 - 圆心角：由两条半径所夹的角叫做圆心角。圆心角的角度是圆心 所对的弧所占整个圆的弧长的比例。 - 弧度：用半径为1的圆的弧长所对应的角度叫做1弧度（1 rad）。 - 弧度制与度制的换算关系：360° = 2π rad，180° = π rad。 - 同弧度的圆心角相等，同圆心角的弧长成比例。 - 弦切线关系：当一条弦的两个端点与切线的交点重合时，这条弦 称为切线所对应的弦。圆心角是直径所对应的切线所对应的弦的两倍。 3. 圆的位置关系 - 相交: 两个圆的交点不为空，称为相交。 - 相切: 两个圆只有一个交点，称为相切。 - 相离: 两个圆没有公共的交点，称为相离。 4. 圆与直线的关系 - 切线: 若一条直线与圆只有一个交点，且交点在圆的外部，那么这 条直线称为圆的切线。 - 弦: 若一条直线有两个交点分别在圆的内部和外部，那么这条直线 称为圆的弦。 - 垂直与切线的直径: 过圆切点的直径垂直于切线。 5. 圆的构造 第四章：《圆》 一、知识回顾 圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr² 圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²—r²）(R是大圆半径,r是小圆半径) 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内⇒d r <⇒点C在圆内； 2、点在圆上⇒d r =⇒点B在圆上; 3、点在圆外⇒d r >⇒点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 A 1、直线与圆相离⇒d r >⇒无交点； 2、直线与圆相切⇒d r =⇒有一个交点； 3、直线与圆相交⇒d r <⇒有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒无交点⇒d R r >+； 外切（图2)⇒有一个交点⇒d R r =+； 相交（图3)⇒有两个交点⇒R r d R r -<<+； 内切(图4）⇒有一个交点⇒d R r =-； 内含（图5）⇒无交点⇒d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 图4 图5 九年级上册数学复习圆的知识点归纳 人教版九年级上册数学复习圆的知识点归纳 1、圆的有关概念： (1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。 (2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的 圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的 角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆 的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜 边的一半。⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角 形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 2、圆的有关性质 (1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的'弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧。 推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 (3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90。90的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 (4)切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。 (5)定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 (6)圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。 (7)圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等; (8)弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。 (9)和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 (10)两圆相切，连心线过切点;两圆相交，连心线垂直平分公共弦。初三数学圆知识点总结
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