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专题24圆锥曲线与方程知识点与综合提升题(解析版)高二数学(理)复习巩固练习(人教A版)

专题24人教(A)版圆锥曲线与方程知识点与综合提升题—寒

假作业24（解析版）

一、椭圆

1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．

即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形

标准方程

范围且且

顶点

、

、、、

轴长短轴的长长轴的长

焦点、、

焦距

对称性关于轴、轴、原点对称

离心率

e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁

二、双曲线

1、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于

）的点的轨迹称为双曲线．即：。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

2、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形

标准方程

范围或，或，

顶点、、

轴长虚轴的长实轴的长

焦点、、

焦距

对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称

，越大，双曲线的开口越阔离心率

渐近线方程

三、抛物线

1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．

2、抛物线的几何性质：

标准方程

范围

顶点

对称轴轴轴

焦点

准线方程

离心率，越大，抛物线的开口越大

焦半径

通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：

焦点弦长

公式

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称

为抛物线的“通径”，即．

4、关于抛物线焦点弦的几个结论：

设为过抛物线焦点的弦，，直线

的倾斜角为，则

⑴⑵

⑶以为直径的圆与准线相切；

⑷焦点对在准线上射影的张角为

⑸

四、直线与圆锥曲线的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则

一、单选题

1．双曲线

x y

-=的实轴长为（）

A．1 B．2 C．23D．4

【答案】C 【解析】【分析】

由双曲线的标准方程中正项的分母确定．【详解】

由题意a =

2a =．

故选：C ．【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，由标准方程求实轴长．属于基础题．

2．抛物线24y x =上一点P 到其焦点的距离为5．则点P 的横坐标为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】C 【分析】

根据抛物线定义,即可求得点P 的横坐标. 【详解】抛物线2

4y x = 则准线方程为1x =-

因为P 到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5 所以P 点的横坐标为4 故选:C 【点睛】

本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题.

3．已知双曲线22

122

x y -=，则其渐近线方程为（）

．y = B

．y x = C

．y x = D ．y x =±

【答案】D 【分析】

令方程22

122

x y -=右边的1为0，化简方程即可得答案.

【详解】

令方程22

122x y -=右边的1为0，

∴22

022

x y y x -=?=±，

∴双曲线的渐近线方程为：y x =±. 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，考查对概念的理解，属于基础题. 4．椭圆22:431C x y +=的焦点坐标为（）

．(0, B

．( C ．(0,1)± D ．(1,0)±

【答案】A 【分析】

化方程为椭圆的标准方程，然后可得,a b ，从而求得c ，得焦点坐标．【详解】

椭圆的标准方程为22

111

y x +=，213a =，2

14b =

，c =，而焦点在y 轴上，故选：A 【点睛】

本题考查椭圆的性质，掌握椭圆标准方程是解题关键．

5．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为(),0F c ，以F 为圆心，以半实轴

长为半径的圆与渐近线相切，则双曲线的离心率等于（） A

C ．

．

【答案】B 【分析】

根据以F

b =，整理化简

即可得结果．【详解】

由已知双曲线的渐近线为b

y x a

=±

，选取其中一条计算，即0bx ay -=，由F 点到渐近线0bx ay -=

的距离d b ==得，

故有a b =

，c =

从而离心率c

e a

== 故选：B. 【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率的求解，关键是要找到,,a b c 之间的等量关系，是基础题.

6．抛物线1C ：()2102y x p p =

>的焦点与双曲线2C ：2213

x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（）

【答案】D 【分析】

求出抛物线的焦点F 与双曲线的右焦点2F 及点M 的坐标，由点M 处的斜率求出点

M 的坐标，再由三点共线即可求解.

【详解】

设抛物线的焦点F 与双曲线的右焦点2F 及点M 的坐标分别为

200(0,),(2,0),(:)2

F F M x y ，

故由题设可得在切点M 处的斜率为01

x p

，

则

013x p =

，即03

x p =

，故1

,)36M p p ，依据()()2000,,2,0,2p F F M x y ?? ???

，共线，可得22MF FF k k =

4p p =-

，解得p =

故选：D ．【点晴】

易错点睛：本题是一道考查双曲线与抛物线的位置关系的综合问题．解答本题时，直接依据题设条件运用双曲线和抛物线的几何性质，求得抛物线与双曲线的焦点坐标分别为

200(0,),(2,0),(:)2

F F M x y ，进而借助1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线

建立方程求得0x p =

，从而确定1

,)6M p p ；再依据三点200(0,),(2,0),(:)2p F F M x y 共线,

求出p =

7．()4,M t 是抛物线22y px =上一点，若点M 到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（） A ．2x =- B ．1x =- C ．2y =- D ．1y =-

【答案】A 【分析】

利用抛物线的定义求解即可．【详解】

抛物线2

2y px =的准线方程为2

x =-

其上一点()4,M t 到抛物线的焦点距离为6，则462p ??

--= ???

解得22

=-，即抛物线的准线方程为2x =- 故选：A

8．已知抛物线2:4C y x =，以(2 1)，

为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（） A ．10x y --= B ．10x y ++=

C ．230x y ++=

D ．230x y --=

【答案】D 【分析】

设弦与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，则211

222

44y x y x ?=?=?，根据弦的中点是(2 1)，

，利用点差法求解. 【详解】

设弦与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，

则211222

44y x y x ?=?=?，两式相减得：()2

12124y y x x -=-，

所以121212

y y k x x y y -=

=-+，

因为弦的中点是(2 1)，

，所以122y y +=，则2k =，

所以这条弦所在直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=，故选：D

9．已知双曲线22

22 1 (0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交双曲线于

A ，

B 两点，若0OA OB ?=，则双曲线的离心率等于（）

．

+ C

【答案】A 【分析】

将x c =代入双曲线可得2b

AF a

=，由题可得AOB 是等腰直角三角形，则AF OF =，

即2b ac =，由此即可求出离心率. 【详解】

AB x ⊥轴，0OA OB ?=，

AOB ∴是等腰直角三角形，

将x c =代入双曲线可得2

y a =±，则2b AF a

=，

则由AF OF =可得2

b c a

=，即2b ac =，

即22c a ac -=，两边除以2a 得210e e --=

，解得12

e ±=

（舍负），

e ∴=

故选：A. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是得出AOB 是等腰直角三角形，得出

2b ac =.

10．已知12,F F 是椭圆2214

x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1290F PF ?

∠=，

则12F PF △的面积是（） A ．1 B

C ．2 D

【答案】A 【分析】

设()00,P x y ，首先得到点P

为半径的圆2

3x y +=上，根据点P

在圆上和椭圆上列方程求出点P 的坐标，再利用三角形的面积公式求解面积即可. 【详解】

由椭圆方程2

214

x y +=

得焦点(

))

,F F

设()00,P x y

1290F PF ?∠=

∴点P

223x y +=上

由2200220

0314

x y x y ?+=??+=??，解得2

013y =

，即03

y =，

120111223

F PF S

F F y ∴=

?=?= 故选：A.

11．若双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的渐近线与圆()2

222x y -+=相交，则此双曲

线的离心率的取值范围是（） A ．

B ．1,2 C

．(

．

)

+∞

【答案】C 【分析】

由圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径求出22b a <，进而得出222c a <，最后由离心率公式确定双曲线的离心率的取值范围. 【详解】

双曲线渐近线为0bx ay ±=，与圆()2

222x y -+=相交

∴

<22b a ∴<

22222c a b a ∴=+<

e a

∴=

< 1e >

1e ∴<<故选：C

12．椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过

左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的

取值范围为[

，，则线段AB 的长度的取值范围是（） A

． B ．[1 , 2]

C ．[4 8]，

．

【答案】C 【分析】由题可求得2

2ABF AF F BF F S S

=+=

，

2ABF EAB

EBF EAF S

a =++=，即可得出22a

AB c

，再根据离心率范围即可求出. 【详解】

设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，

112121121211

sin sin 22

ABF AF F BF F S

AF F F AF F BF F F BF F =+=???∠+???∠ 111122sin 452sin135222

AF c BF c AB =???+???=，又2

22111

222

ABF EAB EBF EAF S

AB r BF r AF r =++=??+??+?? ()2211

4222

AB BF AF a a =

++=?=, 222

AB a

∴=，22a AB c ∴=?， 2242c e a ??=

∈????，，2,22a c ??∴∈??，则[]224,8a

?∈，

即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出22a

AB c

=可求解.

二、填空题

13．已知双曲线22

x y m -=的焦距为8，则实数m 的值为______.

【答案】11

【分析】

由题可得516m +=，即可求出. 【详解】

由题可得2

,5,4a m b c ===，

则由222+=a b c 得516m +=，解得11m =. 故答案为：11.

14．已知直线220x y 经过椭圆22221(0)x y

a b a b

+=>>的一个顶点和一个焦点，

那么这个椭圆的方程为__________________；

【答案】2

215

x y +=

【分析】

求出椭圆的顶点和焦点，进而可得,a b ，则椭圆方程可求．【详解】

解：对于直线220x y ，

当0x =时，1y =，当0y =时，2x =-，则椭圆中的1,2==b c ，则2

5a b c ，

所以椭圆方程为2

215x y +=．

故答案为：2

215

x y +=．

15．过抛物线26y x =焦点作直线l ，交抛物线于,A B 两点.若线段AB 中点M 的横坐标为2，则||AB 等于__________. 【答案】7 【分析】

根据抛物线的方程即可求出3p =，再根据中点坐标公式即可求出12x x +，最后根据抛

物线的焦点弦公式即可求出||AB . 【详解】解：

26y x =，

则3p =，

设()()1122,,,A x y B x y ，

线段AB 中点M 的横坐标为2，

12224x x ∴+=?=，

12437AB x x p ∴=++=+=.

故答案为：7.

16．直线5410x y +-=交椭圆C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>于M ，N 两点，设MN 中

点为P ，直线OP 的斜率等于5

，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率________. 【答案】

【分析】

设()11,M x y ，()11N x y ,，MN 中点为()00,P x y ，则22

1122

2222

11y x a b y x a b ?+=????+=??，根据相交弦的中点为P ，利用点差法求解. 【详解】

设()11,M x y ，()11N x y ,，MN 中点为()00,P x y ，

则22

1122

2222

11y x a b y x a b ?+=????+=??，两式相减得：()()222222

12120b y y a x x -+-=，

即2121221212y y x x a x x b y y ??

-=- ?-+??

+，

即221

a k

b k =-?，

因为

4 MN OP

k k=

-，

所以

=，

所以

c b

a a

==-=，

故答案为：

三、解答题

17．已知直线l经过抛物线24

y x

=的焦点F，

且与抛物线相交于A、B两点.

（1）若4

AF=，求点A的坐标；

（2）若直线l的倾斜角为45?，求线段AB的长.

【答案】(1) 点A的坐标为(3,23)或(3,23)

-. (2) 线段AB的长是8 【解析】

解：由24

y x

=，得2

p=，其准线方程为1

x=-，焦点(1,0)

F. （2分）设11

(,)

A x y，

(,)

B x y.

（1）由抛物线的定义可知，

AF x

=+，从而

413

x=-=.

代入24

y x

=，解得

y=±

∴ 点A 的坐标为24y x =或(3,23)-. （

6分）（2）直线l 的方程为0tan 45?(1)y x -=?-，即1y x =-.

与抛物线方程联立，得21

{4y x y x

=-=，（9分）

消y ，整理得2610x x -+=，其两根为12,x x ，且123y =±. 由抛物线的定义可知， 12628AB x x p =++=+=. 所以，线段AB 的长是8. （14分）

18．如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ,离心率为6

，若不过点A 的

动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0AP AQ ?=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.

【答案】（Ⅰ）2

213

x y +=;（Ⅱ）直线l 过定点10,2N ??- ???.

【分析】

（Ⅰ）根据条件得到226

31c a a c ?=

???-=?

解出即可；

（Ⅱ）直线AP 的方程为1y kx =+，直线AQ 的方程为()1

10y x k k

+≠，联立直线AP 和椭圆方程，得到P 的坐标为222613,1313k k k k ??

-- ?++??

，

进而得到Q 22263,33k k k k ??- ?++??，写出直线l 的方程进而得到所过的定点. 【详解】

（Ⅰ）依题意有221c a a c a c ??==??

???

=???-=?

故椭圆C 的方程为2

2: 1.3

x C y +=

（Ⅱ）由0,AP AQ ?=知AP AQ ⊥,从而直线AP 与坐标轴不垂直, 由()0,1A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，直线AQ 的方程为()1

10y x k k

+≠. 将1y kx =+代入椭圆C 的方程2213

x y +=并整理得:()22

1360k x kx ++=,

解得0x =或2

613k

x k =-+,因此P 的坐标为22266,11313k k k k ??--+ ?++??, 即222613,1313k k k k ??

-- ?++??

将上式中的k 换成1

k -,得Q 22263,33k k k k ??- ?++??

直线l 的方程为22

222

313633136633313k k k k k k y x k k

k k k k ----?

?++=-+ ?++??

++ 化简得直线l 的方程为211

k y x k -=-，

因此直线l 过定点10,2N ?

?- ???

. 【点睛】

圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.

19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>

经过点A

．

（1）求双曲线C 的标准方程；

（2）若直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为()1,2，求直线l 的方程．

【答案】（1）2

214

x y -=；

（2）8150x y -+=．【分析】

（1）根据题意可得：a =

，再根据双曲线过点A ，再结合222c a b =+，代入即可求得：2a =，1b =，即可得到双曲线C 的标准方程；

（2）先设出P ，Q 的坐标，根据中点坐标公式即可求得122x x +=，124y y +=，将P ，Q 两点代入双曲线方程，两式相减即可得到斜率为1

，再利用点斜式即可求出直线l 的方程．【详解】

解：（1倍，

∴2a =

，即a =，

∵双曲线C 经过点A ，

22811a b

∴

-=，又∵222c a b =+，

∴2a =，1b =，c =

故双曲线C 的标准方程为2214

x y -=；

（2）设P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， ∵线段PQ 的中点为()1,2， ∴122x x +=，124y y +=，

∵221114x y -=，2

22214

x y -=，

∴

12121212()()

()()04

x x x x y y y y -+--+=，

整理得：

12121

y y x x -=-，即直线l 的斜率为

， ∴直线l 的方程为1

2(1)8

y x -=-，即8150x y -+=．

20．已知中心在原点的椭圆()22

2210x y C a b a b +=>>：的一个焦点为1(3,0)F ，点

(4,)(0)M y y >为椭圆上一点，1MOF △的面积为3

（1）求椭圆C 的方程；

（2）是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，且以线段

AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由.

【答案】（1）221189x y +=；

（2

）存在，144

y x =±. 【分析】

（1）根据三角形面积公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；

（2）根据题意设出直线l 的方程与椭圆的方程联立，结合以线段为直径的圆的性质、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】解：（1）1

32MOF S

22y ∴= 得1y =

M 在椭圆上，22161

1a b

∴+= ①

1F 是椭圆的焦点229a b ∴=+ ②

由①②解得：2

18,9a b == 方程：22

1.189

x y +=

（2）OM 的斜率1

4k =

，设l 的方程为14

y x m =+，联立方程组22

141189

y x m x y ?

=+????+=??整理得22

916890.y my m -+-=

△()(

)

1649890m m =-??->，解得44m ?∈- ??

设A B 、两点的坐标为1122(,)(,)x y x y ，则212121689

,.99

m m y y y y -+==

以AB 为直径的圆经过原点，所以有0OA OB ?=，即12120.x x y y +=

212121212(44)(44)1616()16x x y m y m y y m y y m =--=-++ 212121212121616()16x x y y y y m y y m y y ∴+=-+++

222

2121217(89)161716()1616099

m m y y m y y m m -=-++=-+=

解得4m =±

44??

∈- ? ???

经检验满足，

所求l 的方程为14y x =

21．椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭

圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =. （1）求C 的方程；

（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM .

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）证明见详解. 【分析】

（1）记椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的右焦点为(),0F c ，根据离心率，以及AB x

⊥轴时，3AB =，列出方程，求出2a 和2b ，即可得出椭圆方程；

（2）先由题意得()4,0M ，直线AB 斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，设

()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，得出两根，以及两根之和与两根之积，

表示出直线BD 的方程，求出直线BD 与x 轴交点的横坐标，进而可得出结果. 【详解】