上海2018届高三二模数学卷汇总(全)

宝山2018届高三二模数学卷

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ?= .

2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 .

3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，7

4.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是(米）.

4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为.

5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为.

6. 若线性方程组的增广矩阵为???? ??210221c c 的解为?

??==31

y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）

8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +???++=∞

→54lim ，则=q .

9. 若B A 、满足()()()5

2

5421===

AB P B P A P ，，，则()()

P AB P AB -=. 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2

()1m f x x x

=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是.

11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，

则24OP OP ? 的值为.

12.将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,min ，在锐角?=?60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ?的边上

或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,min ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、?的面积为M PO Q S S 、?，

若()

2:1-=?M PO Q M S S S ：，则=M S .

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.

14.在6

2x x ??

- ???

的二项展开式中，常数项等于 （ ）

)(A 160- )(B 160)(C 150- )(D 150

15.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）

)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数

16. 对于数列12,,,x x 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,,y y 且()1006y y y R =∈，若

()

()()

()111

22

n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ-*

+-≥??=∈?

??+-

< ?????

，则当0

1y =时，下列结论正确的应为 （ ）

)(A 数列12,,,y y 的“准最大项”存在，且为2π。 )(B 数列12,,,y y 的“准最大项”存在，且为3π。 )(C 数列12,,,y y 的“准最大项”存在，且为4π。 )(D 数列12,,,y y 的“准最大项”不存在。

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

17.本题满分14分，（本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，43===AB PA AD ，，点E 在侧棱PA 上，且1=AE ，F 为侧棱

PC 的中点. （1）求三棱锥ABD E -的体积；

（2）求异面直线CE 与DF 所成角的大小.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

设1z +为关于x 的方程20,,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位。 （1）当1z i =-+时，求,m n 的值

（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围。

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为,0x x >（单位：尾/立方分米）。当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0. （1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式。

（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =?的最大值。

20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

2212723x y +=的右焦点为双曲线22

22:1,0,0x y C a b a b

-=>>的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行。 （1）求C 的方程

（2）如图，12,F F 为C 的左右焦点，动点000(,)(1)P x y y ≥在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴，

y 轴分别交于点(,0)(M m m N <，试比较m

（3）在（2）的条件下，设过点1,F N 的直线l 与C 交于,D E 两点，求2F DE ?的面积最大值。

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设(),()k t kx t

f x x

+=

（这里的,,k t x R ∈且0x ≠） （1）()(2,2)(1,3)1,2(1),(),(3)f f x f 成等差数列，求x 的值。 （2）已知*(0,1)1(

)n f n N x ??∈????

是公比为3

2的等比数列，*15,x x N ∈，是否存在正整数u ，使得41x u ≥，

且45(1)x u ≤+？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由。

（3）如果存在正常数M ，使得n y M ≤对于一切*

n N ∈的成立，那么称数列{}n y 有界，已知0,a m >为

正偶数，数列{}n x 满足10x b =<，且*1(,)

1

()n b a m n

x f n N x +=∈证明：数列{}n x 有界的充要条件是120m ab -+≥。

参考答案

1、{}2

2、24y x =

3、1.72

4、4

π

5、4π

6、9

7、1688 8

、12 9、310 10、[)2,+∞ 11、4- 12

、12

13-16、BACB

17、（1）2；（2

） 18、（1）1n =，0m =；（2）()20,32

19、（1）()(]

[]()2,0,4,15

,4,2082x g x x N x x *?∈?

=∈?-+∈??；（2）12.5千克/立方分米 20、（1）2

214

x y -=；（2

）m ≤（3

）

21、（1）4x =；（2）1u =或2u =；（3）证明略

上海市虹口区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠? ，则实数a 的范围是 2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 3. 已知(0,)απ∈，3cos 5

α=-，则tan()4

π

α+

=

4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则

222cos cos cos αβγ++=

5. 已知函数20

()210

x x x f x x -?-≥=?-

6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程 22

1x y m n

+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =

8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+???+-，则3a 的值等于 9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，

AD =O ，则A 、1A 这两点的球面

距离等于

10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为

11.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程2

71

(2)[2]044

x x -

?-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<

1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+???+-，则M

的最大值等于

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ） A. ()1f x x =+ B. ()sin cos f x x x =? C. ()arccos f x x = D. 0

()0

x x f x x x >?=?

-

14. 在Rt ABC ?中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运

动且满足PC k BC =? ，当PM PN ?

取得最小值时，实数k 的值为（ ）

A.

12B. 13C.14D. 18

15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||

42AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ） A. C.16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，144

64n n n n n a a a a a +->?=?-≤?

，n S 是此数列的前n

项和，则以下结论正确的是（ ）

A. 不存在a 和n 使得2015n S =

B. 不存在a 和n 使得2016n S =

C. 不存在a 和n 使得2017n S =

D. 不存在a 和n 使得2018n S =

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2

BAC π

∠=，高等于3，

点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.

18. 已知ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+?（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4

B π

=

，求边长c 的值；

（2）求ABC ?面积的最大值.

19. 平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=

，则称此“向量列”为“等

差向量列”，d 称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}b ，如果对于任意的正整数n ，均有b q b =?

（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.

（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a ++???+

；

（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =

，1(1,1)a = ，(,)n n n a x y = ，{}n b

是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b = ，(,)n n n b m k = ，求1122n n a b a b a b ?+?+???+?

.

20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆2

2:12

x C y +=， 点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.

（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是

12

mx

ny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、M B 分别交y 轴于点P 、

Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；

（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.

21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3

()1x

g x x

=

-（x ∈R ）.

（1）如果2

x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；

（2）判断()g x 在(-和的单调性，并说明理由；

（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4

7

32

n a q q q q

-=+++???++???成立的充要条件是a ≥

上海市虹口区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠? ，则实数a 的范围是 【解析】画数轴，1a ≥

2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=?= 3π

【解析】

4

tan

3

α=-，∴

1

tan()

47

π

α+=-

4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则

222

cos cos cos

αβγ

++=

【解析】设三边为a、b、c，对角线为d，∴2222

a b c d

++=

22

2

2

cos

a b

d

α

+

=，

22

2

2

cos

b c

d

β

+

=，

22

2

2

cos

c a

d

γ

+

=，∴222

cos cos cos2

αβγ

++=

也可取正方体的特殊情况去求

5. 已知函数

20

()

210

x

x x

f x

x

-

?-≥

=?

-<

?

，则11

[(9)]

f f

---=

【解析】1

2

()

log(1),0

x

f x

x x

-

≤

=

-+>

??

，1(9)3

f--=，111

[(9)](3)2

f f f

---

-==-

6. 从集合{1,1,2,3}

-随机取一个为m，从集合{2,1,1,2}

--随机取一个为n，则方程

22

1

x y

m n

+=表示双曲线的概率为

【解析】

32121

442

?+?

=

?

7. 已知数列{}

n

a是公比为q的等比数列，且

2

a、

4

a、

3

a成等差数列，则q=

【解析】2

234

2210

a a a q q

+=?--=，∴1

q=或

1

2

q=-

8. 若将函数6

()

f x x

=表示成236

01236

()(1)(1)(1)(1)

f x a a x a x a x a x

=+-+-+-+???+-，则

3

a的值等于【解析】66

[(1)1]

x x

=-+，3

36

20

a C

==

9. 如图，长方体

1111

ABCD A B C D

-的边长

1

1

AB AA

==，

AD=O，则A、

1

A这两点的球面

距离等于

【解析】外接球半径为1，

3

π

α=，球面距离为

3

π

10. 椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为

【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为

2

mn

11.[]x是不超过x的最大整数，则方程2

71

(2)[2]0

44

x x

-?-=满足1

x<的所有实数解是

【解析】当01

x

≤<，[2]1

x=，∴2

1

(2)2

2

x x

=?=；当0

x<，[2]0

x=，2

1

(2)

4

x=，

∴1

x=-，∴满足条件的所有实数解为0.5

x=或1

x=-

12. 函数()sin

f x x

=，对于

123n

x x x x

<<

12

,,,[0,8]

n

x x xπ

???∈（10

n≥），记

1223341

|()()||()()||()()||()()|

n n

M f x f x f x f x f x f x f x f x

-

=-+-+-+???+-，则M

的最大值等于

【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416?=

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ） A. ()1f x x =+ B. ()sin cos f x x x =? C. ()arccos f x x = D. 0

()0

x x f x x x >?=?-

【解析】由()()f x f x -=-，选B

14. 在Rt ABC ?中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运

动且满足PC k BC =? ，当PM PN ?

取得最小值时，实数k 的值为（ ）

A.12

B. 13

C.14

D. 18

【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ?=-+ ，[0,3]x ∈，∴

9

4

x =时取

到最小值，此时1

4

PC k BC =

=，选C 15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||42AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ） A. C.【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，28MN AB ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，144

64

n n n n n a a a a a +->?=?-≤?，n S 是此数列的前n

项和，则以下结论正确的是（ ）

A. 不存在a 和n 使得2015n S =

B. 不存在a 和n 使得2016n S =

C. 不存在a 和n 使得2017n S =

D. 不存在a 和n 使得2018n S =

【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2

BAC π

∠=，高等于3，

点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小. 【解析】（1）13322V =

?=；1121121311322

A AM N M A AN V V --==??=

（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3

π

18. 已知ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+?（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4

B π

=

，求边长c 的值；

（2）求ABC ?面积的最大值.

【解析】（1）解为

122±，∴3A π=，由正弦定理6b =，632

2

c +=；

（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==时，面积最大，为93

.

19. 平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=

，则称此“向量列”为“等

差向量列”，d 称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n

b q b +=?

（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.

（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a ++???+

；

（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =

，1(1,1)a = ，(,)n n n a x y = ，{}n b

是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b = ，(,)n n n b m k = ，求1122n n a b a b a b ?+?+???+?

. 【解析】（1）121(1)2

n n n a a a na d -++???+=+

； （2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---?=-??=+?u u r u r

，错位相减求和为(32)22n n -?+

20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆2

2:12

x C y +=， 点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.

（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是

12

mx

ny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、M B 分别交y 轴于点P 、

Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；

（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0?=，可证结论；

（2）:MA l y x =

+，

∴P y =

Q y =，1D y n =

242

22P Q D n y y y m n

-+===-，即点D 是线段PQ 的中点

（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2m

k n

-=切，由夹角公式

1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221

tan ||1MF MF k k k k n

θ-==+切切，所以所成夹角相等.

21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3

()1x

g x x =

-（x ∈R ）. （1

）如果2

x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；

（2）判断()g x

在(-

和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732

n a q q q q

-=+++???++???

成立的充要条件是3

a ≥【解析】（1

）0f a ≤?≥； （2

）根据单调性定义分析，在(-

上递减，在上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++???++???成立”说明

47323

1n q

a q q q q q

-=

=+++???++???-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，3

1q a q =-

在(-

上递减，在上递增，

∴min

3()(123

q a g q ≥==-，反之亦然.

杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研

数学学科试卷 2018.4.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．函数lg 1y x =-的零点是． 2．计算：=+∞→1

42lim

n n

n ．

3．若的二项展开式中项的系数是，则n =． 4．掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为．

5．若x 、y 满足020x y x y y -≥??

+≤??≥?

，则目标函数2f x y =+的最大值为．

6．若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是．

7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是．

8．若双曲线22

2161(0)3x y p p

-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =．

9．若5

3

sin )cos(cos )sin(=

---x y x x y x ，则y 2tan 的值为． 10．若为等比数列，0n a >

，且20182

a =

，则2017201912a a +的最小值为． 11．在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，4

1

2cos -

=C ，则ABC ?的面积为． 12．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111

m OM OP OQ m m =

+++

，定义点集{|}||||

FP FM FQ FM

A F FP FQ ??== . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤

恒成立，则实数k 的最小值为．

()13n

x +2x 54{}n

a

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）

13．已知函数()sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的图象如图所示，则?的值为

（ ）

)

(A 4

π

)

(B 2

π

)(C 2

π

-

)(D 3

π

-

14．设B A 、

是非空集合，定义：B A ?={|}x x A B x A B ∈???且.

已知{|A x y ==，}{

1>=x x B ，则A B ?等于

（ ）

)(A ),2(]1,0[+∞ ．)(B ),2()1,0[+∞ ． )(C ]1,0[．)(D ]2,0[．

15．已知222211220,0a b a b +≠+≠,则“

1

1

22

0a b a b =”是“直线1111:0

l a x b y c ++= 与2222:0l a x b y c ++=”平行的 （ ）

)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件

16．已知长方体的表面积为

45

2

，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为

（ ）

1

()arccos

()()()3A B C D

三、解答题

17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆

单车的营运累计利润y (单位：元）与营运天数()

*

x x N ∈满足 2

1608002

y x x =-

+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y

x

的值最大？

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点

E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；

（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45

，请你确定点

E 的位置，并证明你的结论.

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2≥n ，n *∈N ，

λ，μ∈R .

(1) 若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和； (2) 若23a =，且3

2

λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.

20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 已知椭圆222:9(0)x y m m Ω+=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．

（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ?

的范围；

（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(

,)3

m

m ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．

记函数()f x 的定义域为D .如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且

a x D +∈的x 恒成立，则称

()f x 为ψ函数.

（1）设函数1

()1f x x

=

-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数t

x g x +=

21

)(，其中常数0≠t ，证明：)(x g 是ψ函数； （3）若)(x h 是定义在R 上的ψ函数，且函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断

)(x h 是否为周期函数？并证明你的结论.

数学学科试卷答案 2018.4.10

一、填空题 1. 10x = ；2．21 ； 3．4 ； 4. 12 ； 5．3 ； 6. 2；7

．3

；

8．4； 9．2424.77-或 ；10．4 ； 11

； 12.3

4

二、选择题

13．C ； 14 .A ； 15．B ; 16. D ;

三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 【解】

（1） 要使营运累计收入高于800元，

令800800602

12

>-+-

x x ， …………………………………2分 解得8040<

6080021+--=x

x x y …………………………………9分 20604002=+-≤

当且仅当

1800

2x x

=时等号成立，解得400x =…………………………12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天.…14分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

【解】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0），

B (1,1,0)，

C (0,1,0),

D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设

E (1,m,0)（0≤m≤1）

（1）证明：1(1,0,1)DA = ，1(1,,1)ED m =--

………2分

111(1)0()110DA ED m ?=?-+?-+?= ………4分

所以DA 1⊥ED 1. ……………6分

另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥.……………2分

又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11

DA ED ⊥

……………………………6分

（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分

设平面CED 1的法向量为),,(z y x n =，由?????=?=?0

01CD 可得???=--=+-0)1(0y x t z x ，

所以??

?-==x

t y x

z )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分

由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45

，可得

|

|||45sin 11n DA =? ……11分

可得

1

)1(12|11|222+-+?+-=t t ，解得21

=t ………13分

由于AB=1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45

时，点

E 在线段AB 中点处. …14分 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

【解】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S . 即1144-+-=n n n a a a

………2分 所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，

………3分

又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分 因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.n

n b 2=，前n 项和为221

-+n …7分

（2）当n=2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+.又3

2

λμ+= 可以解得2

1

=

λ，1=μ ………9分

所以12-+=

n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得1112

21-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即

112

221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明：