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高中数学解析几何椭圆性质与定义

高中数学解析几何椭圆性质与定义
高中数学解析几何椭圆性质与定义

椭圆的性质及应用

一、圆锥曲线

圆锥与平面的截线通常有:圆、椭圆、双曲线、抛物线,其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线,其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线,双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线,圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线,其他平面截取的则为椭圆。

圆锥曲线有一个共同的定义:即:圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。

二、椭圆的定义

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹,也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。

椭圆的第一定义:平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a (2a>|FF'|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。即:│PF │+│PF'│=2a ,其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF'|,为线段,若2a<|FF'|,不存在。 下面确定椭圆的方程 现设P 的坐标为(x,y ),F 的坐标为(C,0)

2a =

2a =-整理可得:

22222222()()a c x a y a a c -+=- 定义:222a c b -=

则椭圆的方程可表示为: 椭圆在方程上可以写为标准式

2

2221y x a b +=,(a>b>0),这样的椭圆长轴在x 轴上,焦点在X

轴时,若2

2

221y x

b a

+=,(a>b>0),这样的椭圆长轴在y 轴上。焦点在y 轴时。 有两条线段,a 、b 中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长,当a>b 时,焦点在x 轴

上,焦距为: 222a c b -= 椭圆的第二定义

由椭圆的第一定义:可到椭圆方程为:22222

22221b x a b y b y a x =+?=+

将222c a b -=代入,可得:2222

2222222222x a c a c x y c a x a c a y +=++?-=-+

所以:()

()2

2

22422

2

??

? ??±=±+?+??? ??=-+a x a c c x y c a x a c c x y

由此可得:()

()a

c c

a x c x y c a x a c c x y

=

-

-+?

+??

?

??=-+2

2

2242

2

2 所以可得椭圆的第二个定义:

平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点F 不在定直线上,

该常数为小于1的正数),其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直线的

方程是

2

a

x

c

=)。常数e是椭圆的离心率。(01)

c

e e

a

=<<

注意:准线和焦点对应,左准线对应左焦点,右准线对应右焦点

下面我们介绍第二定义的几何说明:

可以找到两个球,它们均满足:和圆锥相切于一个圆,与截面相切于一个点。一个在截面和圆锥顶角之间(即截得的圆锥体的内切球,小球),另一个在截面与圆锥顶角异侧(即圆锥体外切球,大球)。两个球与截面相切的两个点即是两个焦点,两个球与圆锥相切的两个圆,那两个圆所在的两个平面(它们是平行的)分别与原来的截面的交线即是两条准线。通过三角函数的知识应该可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值设P为截面β与圆锥交线上的动点,两个球与截面β的交点为固定点,即为椭圆的焦点,平面β与平面α的交线为固定直线,即为椭圆的准线。E为大球和截面β的交点,显然PP1为动点到定直线的距离,

设大的球心为O,PE和PP2为大球外一点P到大球的两个切线,所以有PE=PP2

思考为什么PE一定为切线,(PE为截面β内的直线,而截面β与球仅仅一个交点)

椭圆的第三定义:

椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的

斜率之积是定值(

2

2

a

b

-)可以得出:平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨

迹是椭圆,此时k应满足一定的条件,也就是排除斜率不存在的情况。

三、.圆锥曲线的几何性质:

1.椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ ,y=bsinθ

举例:若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___

(答:2) 2. 标准形式为

2

22

21y x a b +=的椭圆在(x 0,y 0)点的切线为 :

002

2

1xx yy a

b +

=

3.椭圆焦半径公式 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0

4.直线与椭圆位置关系

(1)弦长公式:若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ,且12,x x 分别为A 、B

的横坐标,则

AB

12

x -,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标,则AB

2121

1y y k -+

(2)直线l :y=x+1与椭圆交于A ,B 两点,P 为椭圆上一点,求△PAB 面积的最大值.

(3)相切、相交、相离的条件

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0?>?直线与椭圆相交; 0?>?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0?>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0?>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0?>?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0?>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

5.范围

即|x|≤a ,|y|≤b ,这说明椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(图2-18).注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.

6.对称性

x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心. 7.顶点

只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出:椭圆有四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).

8.离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义:

再讲清离心率e的几何意义:椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.∵a>c >0,∴ 0<e<1.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:

(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;

(3)当e=0时,c=0,a=b两焦点重合,椭圆图形就是圆了.

课堂练习:

1.已知是椭圆上一点,若到椭圆右准线的距离是,则到左焦点的距离为

_______.

2.若椭圆的离心率为,则它的长半轴长是___________.

答案:1. 2.1或2

3.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程:

(1)25x2+4y2-100=0,(2)x2+4y2-1=0.

4.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面266Km,远地点距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程.

的方程.4.答案:顶点(0,2)可能是长轴的端点,也可能是短轴的一个端点,故分两种情况求方程:

5.点P 与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

三、例题讲解

例1:求出椭圆方程

13

422=+y x 和134)1(2

2=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程; 解:因为把椭圆

13

422=+y x 向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(2

2=+-y x 所以问题1中的所有问题均不变,均为2

1

,1,3,3==

==

=a c e c b a 13

42

2=+y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为:)0,2(±,)0,1(±4±=x ; 134)1(2

2=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为:)0,12(+±,)0,11(+±14+±=x ; 思考:求出椭圆方程14

32

2=+y x 准线方程

例2、设AB 是过椭圆右焦点的弦,那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析:如何判断直线与圆的位置关系呢?

解:设AB 的中点为M ,则M 即为圆心,直径是|AB|;记椭圆的右焦点为F ,右准线为l ; 过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线,分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知2

2

1d d d +=

又由椭圆的第二定义可知

e d AF =1||e d BF =2

|

|即)(||||21d d e BF AF +=+ 又2

2|

|||2||21d d e BF AF AB +?=+=

且10<∴故直线与圆相离

例3、已知点M 为椭圆

116252

2=+y x 的上任意一点,1F 、2F 分别为左右焦点;且)2,1(A ①求||3

5

||1MF MA +

的最小值 ②求||||1MF MA +的最小值 ③求||||1MF MA +的最小值 ①分析:应如何把||3

5

1MF 表示出来

解:左准线1l :3

25

2-=-=c a x ,作1l MD ⊥于点D ,记||MD d = 由第二定义可知:

5

3

||1===a c e d MF ? d MF 53||1= ? ||351MF d =

故有||||||||3

5

||1MD MA d MA MF MA +=+=+

所以有当A 、M 、D 三点共线时,|MA|+|MD|有最小值:3

251+ 即||3

5||1MF MA +

的最小值是328

变式1:||5||31MF MA +的最小值; 解:283

28

3)||35||(3||5||311=?=+=+MF MA MF MA 变式2:

||||53

1MF MA +的最小值; 解:5

28

32853|)|35|(|53||||5311=?=+=+MF MA MF MA

②()

MA MF MF MA MF MA --=-+=+2211010||||| 其最小值=10-AF 2 课堂练习:

已知112

16,)3,2(2

2=+-y x F A 是的右焦点,点M 为椭圆的动点,求MF MA 2+的最小值,

并求出此时点M 的坐标。

例4. 已知

为椭圆

上的两点,

是椭圆的右焦点.若

的中点到椭圆左准线的距离是

,试确定椭圆的方程.

解:由椭圆方程可知 、两准线间距离为 .设 , 到右准线距离分别为 ,

,由椭

圆定义有 ,所以 ,则 , 中点

到右准线距离为 ,于是 到左准线距离为 , ,所求椭圆方程为

例5.方程|2|)1()1(22

2++=-+-y x y x 表示什么曲线?

解:2

22

|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122

< ;即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数(且该

常数小于1)∴方程表示椭圆 例6、(06四川高考15)如图把椭圆的长轴AB 分成8等分,过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则||||||721F P F P F P +++ = 解法一:53==

a c e ,设i P 的横坐标为i x ,则i x i 4

5

5+-=不妨设其焦点为左焦点 由53||===a c e d F P i 得i i ex a c a x e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-?+=+=+= 35)721(4

3

72||||||721=++++

?=+++ F P F P F P 解法二:由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称,又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+,同理可知a F P F P 2||||62=+,a F P F P 2||||53=+,a F P =||4 故357||||||721==+++a F P F P F P

例7.动圆与定圆C1:(x+1)2+y 2=36内切, 与定圆C2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的方程。

椭圆练习题

1.椭圆第二定义的应用:

例1.设00(,)P x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任意一点,1F 为其左焦点,求1PF 的最值.

例2.在椭圆

19

252

2=+y x 上求一点P ,使它到两焦点21,F F 的距离之积为16.

例3.已知A 、B 是椭圆22

22

2519x y a a +=上的两点,2

F 是其右焦点,若2285AF BF a +=,AB 中点到椭圆左准线的距离为

3

2

,求椭圆方程. 例4.已知椭圆22

134

x y +=,问能否在x 轴下方的椭圆弧上找到一点M ,使M 到下准线的距离MN 等于M 到两焦点21,F F 的距离的比例中项?若能找到,求出此点坐标;若不能找到,请说明理由.

例5.一个椭圆的焦点是)0,0(O 和)0,4(F ,长半轴长是3,求这个椭圆的方程.

例6.已知椭圆方程为)2,2(),0,4(,19252

2B A y x =+是椭圆内的两点,P是椭圆上任意一点,求:(1)PB PA +4

5

的最小值;(2)PB PA +的最大值和最小值.

例7.已知21,F F 是椭圆

164

1002

2=+y x 的两个焦点,P是椭圆上一点,且321π=∠PF F .求21PF F ?的面积.

椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除

去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22

22

1x y a b

+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.

若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直

线方程是00221x x y y

a b +=.

7.

椭圆22

221x y a b

+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭

圆的焦点角形的面积为122

tan 2

F PF S b γ?=.

8.

椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的焦半径公式:

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交

相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,

A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆22221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2

2OM AB b k k a ?=-,即

020

2y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b

+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222

2x x y y

x y a b a b +=+.

椭圆的定义及几何性质

椭圆 【教学目标】(1)掌握椭圆的定义 (2)掌握椭圆的几何性质 (3)掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】(1)椭圆的离心率有关的问题 (2)椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意:若,则动点的轨迹为线段; 若,则动点的轨迹无图形。 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有和; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,。 知识点三:椭圆的简单几何性质

椭圆的的简单几何性质 (1)对称性 对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换 成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合: (2)范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。 (3)顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0), A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。 ③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 (4)离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。 ②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而 越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学《椭圆》教案设计

教案设计高中数学 《椭圆》 一、椭圆的定义 1、平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 定点F1, F2叫做椭圆的焦点,|F1F2|叫做椭圆的焦距。 2、点集P=﹛M | |MF1| + |MF2|=2a,2a2a>|F1F2|﹜,其中两定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两 焦点的距离叫做椭圆的焦距。 二、椭圆的标准方程 1、焦点在x轴上,焦点坐标(±c,0),焦距为2c。 2、焦点在y轴上,焦点坐标(0,±c),焦距为2c。 三、一般方程式 1、Ax2+By2=C 2、Ax2+By2=1 四、椭圆标准方程的求解方法 1、定义法 2、待定系数法 五、几种题型的讲解 1、共焦点 2、焦点三角形 3、与椭圆有关的的轨迹方程的求解 4、直线与椭圆关系 5、中点弦问题及点差法 例题1:过已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹是()。 A.圆 B.椭圆 C.圆或椭圆 D.线段 例题2:如图,Rt△ABC中,|AB|=|AC|=1,以点C为一个焦点的椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在AB边上,且这个椭圆过A,B两点,则这个椭圆的焦距长为。

例题3:求适合下列条件的椭圆的标准方程。 (1)、两个焦点的坐标分别是(-4,0),(0,-4),椭圆上任意一点p 到两焦点距离之和等于10; (2)、两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过 (23 -,25) (3)、焦点在y 轴上,且经过两个点(0,2),(1,0); (4)、经过点P(-23,1),Q(3,-2). 共焦点问题: 例题4:过点(-3,2)且与92x +142 =y 有相同焦点的椭圆的方程为 。 焦点三角形问题: 例题5:已知P 为椭圆174252 2=+y x 上的一点,F 1,F 2是椭圆的焦点,∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积。 与椭圆有关的的轨迹方程的求解问题: 例题6:已知圆922=+y x ,从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′,点M 在PP ′上,并且 求点M 的轨迹。 直线与椭圆关系问题 例题7:已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,直线y=x+1与该椭圆交于点P 、Q ,且 0·=→ → OQ OP ,|PQ|=210 ,求椭圆的方程。 ' =→→MP PM 2

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

椭圆的第二定义及简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时,这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义. e d MF =| |∴ 准线方程:对于椭圆12222=+b y a x ,相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =.根据对 称性,相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=.对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=. 焦半径公式: 由椭圆的第二定义可得: 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右; 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线;左焦点和左准线; 练习:椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________,短轴长为_________,半焦距为_________,

离心率为_________,焦点坐标为_________,顶点坐标为__________________,准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ,P 是其上一点,21,F F 分别为左、右焦点,若81=PF , 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点,1F 、2F 分别为左右焦点;且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆:3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ,3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点,椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ,使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小,求:点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .

完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义; 2、椭圆的两类标准方程; 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能:理解并掌握椭圆的定义;明确焦点、焦距的概念;掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程;掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程; 2、过程与方法:通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力; 通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系; 3、情感态度与价值观:通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学 习数学的积极性,培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神,提高学生的数学思维的情趣,给学生以成功的体验,形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感,同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程; 难点:椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体

幻灯片、黑板。 七、教学过程 (一)创设情境,导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型,它运行的轨迹又是什么图形呢?可以看出,它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出:在实际生活中,椭圆随处可见,很多学科也涉及到椭圆的应用,所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 (二)问题探究 老师提问:我们从直观上认识了椭圆,那么椭圆它是如何形成的呢?椭圆满足什么样的条件呢?它的定义又是如何? 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具:一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米,宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头,将钉子固定在图板上,使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度(请同学们考虑一下,为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度?),我们用笔尖将细绳拉紧,让笔尖在图板上慢慢移动,请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢? 如果我们将两个钉子之间的距离变大,使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度,同样用笔尖将细绳拉紧,让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动,这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大,此时就可以发现,细绳的长度比两个钉子之间的距离小,笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示: 通过演示可以发现,绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示,思考:在作图过程中,有哪些物体的位置没变化?有哪些量没有变化?如何来归纳椭圆的定义呢? 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数

高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题(2) 第一部分:复习运用的知识 (一)椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ,即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个: ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴: 21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e = ,()10,0<<∴>>e c a (2)22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=越小,椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越

高中数学精讲教案-椭圆及其性质

高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义:在平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,且2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数. 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. 如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)当P为短轴端点时,θ最大. (2)S△PF 1F 2 = 1 2|PF1||PF2|·sinθ=b 2· sinθ 1+cosθ =b2tan θ 2=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a+c). 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义,通过建立适当的坐标系得出的.其形式有两种: (1)当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0). (2)当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为y2 a2+ x2 b2=1(a>b>0). 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2+y2 n2=1共焦点的椭圆可设为 x2 m2+k + y2 n2+k =1(k>-m2,k>-n2). (2)与椭圆x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2+ y2 b2=k1(k1>0,焦点在x轴上)或 y2 a2+ x2 b2=k2(k2>0,焦 点在y轴上).

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】(1)已知双曲线 a x 2- y b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为 F (2, 0),且双曲线的渐近线与圆 (x - 2)2 +y 2=3 相切,则双曲线的方程为 ( 22 A.x2-y2=1 A. 9 -13= 2 C.x 3-y 2=1 22 (2)若点 M (2,1),点 C 是椭圆 1x 6+y 7 22 (3)已知椭圆 x 2+y 2=1(a >b >0)与抛物线 y 2=2px (p >0)有相同的焦点 F ,P ,Q 是椭圆与抛物线的交点, ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ,则椭圆 a x 2+ y b 2=1(a >b >0)的离心率为 ___ . 答案 (1)D (2)8- 26 (3) 2- 1 22 解析 (1)双曲线 x a 2-y b 2=1 的一个焦点为 F (2,0), 则 a 2+ b 2= 4,① 双曲线的渐近线方程为 y =±b a x , a 由题意得 22b 2= 3,② a 2+b 2 联立①② 解得 b = 3,a =1, 2 所求双曲线的方程为 x 2-y 3 =1,选 D. (2)设点 B 为椭圆的左焦点,点 M (2,1)在椭圆内,那么 |BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a ,所以 |AM| +|AC|≥2a -|BM|,而 a =4,|BM|= (2+3)2+1= 26,所以 (|AM|+ |AC|)最小=8- 26. ) 22 B.x - y =1 B.13- 9 =1 2 D.x 2 -y 3=1 1 的右焦点,点 A 是椭圆的动点,则 |AM|+ |AC|的最小值为

椭圆的几何性质及综合问题汇总

椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”; 2.椭圆的通经: 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式: 4.椭圆的焦半径的概念及公式:主要用来求离心率的取值范围,对于此问题也可以用下列性质求解:c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系: 6.椭圆的中点弦问题: 【注】:椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度: (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围; (2)由性质写椭圆的标准方程; (3)求离心率的值或范围. 题型一:根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点)2,0(),0,3(--Q P ;(2)长轴长等于20,离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ,P ,Q 为椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点,若直线PQ 过原点, 且直线AP ,AQ 的斜率之积为2 1 -,则椭圆C 的离心率为( ) A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长 为8,则椭圆的左顶点为( ) A .(-3,0) B .(-4,0) C .(-10,0) D .(-5,0) (2)椭圆x 29+y 24+k =1的离心率为4 5 ,则k 的值为( ) A .-21 B .21 C .-1925或21 D .19 25 或21 (3)设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A , B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆 C 的离心率等于________. 【典例4】已知F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点,且 215PF PF =,则该椭圆的离心率的取值范围是 练习:如图,把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则721PF PF PF +++Λ=

高中数学椭圆的教学设计

选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计 一、指导思想与理论依据 1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出:“强调本质,注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,让学生体会蕴涵在其中的思想方法。”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中,遵循学生的认识规律,通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程,让学生逐步将认识由感性上升到理性,把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学,努力揭示知识的发生、发展过程。 2. 建构主义理论——建构主义认为:知识不是通过教师讲授得到的,而是学习者在一定的情境即社会文化背景下,借助其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助,充分利用各种学习资源(包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等),通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程,因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。 二、教学背景分析 1. 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题,就是借助建立适当的坐标系,科学合理地把几何问题代数化,运用代数的方法来研究几何问题。 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中,教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线,因为对这几种曲线研究的问题基本一致,方法相同,所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上,通过求椭圆的标准方程,是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此,“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 2. 学情分析 知识方面 (1)在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程,并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤,具备主动探究椭圆知识的基础; (2)根据日常生活中的经验,学生对椭圆有了一定的认识,但仍没有上升到成为“概念”的水平,将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战; (3)在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题; 自身特征方面 (1)我所教授的班级是文科班,他们普遍对数学有一定的畏难情绪,但是他们思维比较活跃,对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望,对老师的讲授敢于质疑,有自己的想法和主见,愿意自己去探索是什么和为什么。并且具备了初步的探索能力;

椭圆的标准方程教案

河北阜城中学--高二数学组 组题人:高泽宁 审核人:沈志华 日期:2019年 月 日 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校: 姓名:___________ 班级:___________ 考号:___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 第 1 页 共 3 页 学习目标: 1:熟练掌握椭圆的定义。 2:熟练掌握椭圆的标准方程,会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点:椭圆的定义及标准方程。 学习难点:椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程: 一:椭圆概念的引入: 1:动画演示:(1)天体行星和卫星运行的轨道。 (2)立体几何中作圆的一种直观图。 2:手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉近,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆。 分析:在这个运动过程中,什么是不变的? 答:两个定点,绳长。 即不论运动到何处,绳长不变(即轨迹上与两个定点距离之和不变) 3:由此总结椭圆定义: 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟(大于)的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1)两个定点------两点间距离确定。 (2) 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 思考: 改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 绳长能小于两图钉之间的距离吗? 二:根据定义推导椭圆标准方程: 1:复习求轨迹方程的基本步骤: 2:推导:取过焦点21F F 的直线为x 轴,线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P (x,y )为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是2c ( c>0). 则:)0,()0,(21c F c F -,又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a (常数) {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又, a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴,化简,得: )()(22222222c a a y a x c a -=+-,由定义c a 22> 022>-∴c a 令222b c a =-∴代入,得: 222222b a y a x b =+,两边同除22b a 得: 选修2-1 第一章 2.2.2 椭圆的标准方程 教案 试卷类型 学案 ※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a =|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题:解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=,x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 , 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。 (1)求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ; (2)求|||PF PF 13 23 +的最值。

第3讲 椭圆的定义及几何性质

椭圆的定义及几何性质 一、复习目标: 1.掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程 2.会用待定系数法求椭圆的标准方程 3.理解数形结合的思想 二、基础知识回顾 1.定义: ①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a (122___a F F ),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 ). ②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ,e ∈ ,则P 点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的 ,定直线l 叫做双曲线的 。 ③,,a b c 之间的关系 。 2.标准方程及几何性质: (1)若椭圆的焦点在x 轴上,则椭圆的标准方程为 ,焦点坐标为 ,焦距为 ,横坐标的取值范围是 ,纵坐标的取值范围是 ,图像关于 对称,顶点坐标为 ,长轴长为 ,短轴长为 ,离心率为 ,准线方程为 。 (2)若椭圆的焦点在y 轴上,则椭圆的标准方程为 ,焦点坐标为 ,焦距为 ,横坐标的取值范围是 ,纵坐标的取值范围是 ,图像关于 对称,顶点坐标为 ,长轴长为 ,短轴长为 ,离心率为 ,准线方程为 。 3.椭圆参数的几何意义(如图): (1)12PF PF += ,(2)12PM PM += , (3) 1212|||| |||| PF PF PM PM == ;(4)1122A F A F == ; (5)1221A F A F == ;(6) 1PF ≤≤ ; (7)12BF BF == ,12OF OF == ;12OB OB == ;

(8)21F PF ?中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来,设122 F PF θ ∠=,则12PF F S ?= , 三、例题分析: 题型1.椭圆的定义 例1.下列说法中,正确的是( ) A .平面内与两个定点1F ,2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆 B .与两个定点1F ,2F 的距离和等于常数(大于12F F )的点的轨迹是椭圆 C .方程()22 22 2 10x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D .方程()22 2210,0x y a b a b +=>>表示焦点在y 轴上的椭圆 练习1:1F ,2F 是定点,126FF =,动点M 满足126MF MF +=,则点 M 的轨迹是( ) A .椭圆 B .直线 C .线段 D .圆 题型2.椭圆的标准方程 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)离心率为 2 2 ,准线方程为8±=x ; (2)长轴与短轴之和为20,焦距为54

高中数学《椭圆》教案1 苏教版选修2-1

《椭 圆》导学 椭圆是我们生活中常见的一种曲线,如汽车油罐的横截面、太阳系中九大行星及其卫星运动的轨道、部分彗星的轨道等等都是椭圆形。研究椭圆的方程及其几何性质,可以帮助我们解决一些实际问题。椭圆是解析几何的重要内容,是高考常考的知识点之一。 知识要点梳理 1、椭圆的定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于│F 1F 2│)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 问题一:对于椭园的定义我们应理解哪些内容: (1)椭圆的定义是据椭圆常见、常用的作图方法而得到的,它反映了椭圆的本质属性,是建立标准方程和解决有关问题的根本依据,必须要深刻理解。建议初学的读者,利用课本中椭圆的画法,边画边体会、理解椭圆的定义。 (2)在定义中要抓住关键字词:“两个定点”、“距离的和”、“常数”,弄清它们的确切含义。特别注意这个常数应大于两定点的距离(│F 1F 2│=2c ),即2a >2c 。当2a=2c 时,点的轨迹是两定点确定的线段F 1F 2;当2a <2c 时,点的轨迹不存在。 (3)要注意利用椭圆的定义解题。与椭圆有关的一些问题,若根据题设条件,利用椭圆的定义来解,往往起到其它方法所不及的作用。 2、如何联系椭圆的标准方程理解几何性质? 请读者利用类比的方法,将椭圆的两种标准方程、图形、及几何性质列一张表,然后,思考表中哪些是相同的?哪些是不同的?为什么?再认真阅读下面的说明。 对标准方程及几何性质的几点说明: (1)牢记参数关系:222 0,,,,a b a b c a b c >>=+中最大。 (2)在两种标准方程表示的椭圆的几何性质中,凡是与坐标无关的性质(椭圆本身固有的性质)都是相同的。如长轴、短轴的长,焦距,离心率,椭圆的形状、大小等都是相同的。凡是与坐标有关的性质(由于坐标系选取的不同而得到的特殊性质)都是不同的。如焦点的坐标,顶点的坐标,标准方程,准线方程,椭圆的位置等都是不同的。记忆时,将焦点在x 轴上方程、坐标中的x 换成y ,y 换成x 即可。 (2)标准方程中的常数a 、b (a >b >0)决定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件,这是椭圆本身固有的性质,与坐标系的选取无关。 (6)椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上。椭

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程 一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在坐标平面上什么位置,都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2-x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x ,y )之间数量关系的一个公式,其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点, B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时,λ=1,此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 5.两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时,tan θ= 2 11 21k k k k +-, 当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断. (1)斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=, l 2∶22b x k y +=,有以下结论: ①l 1∥l 2?1k =2k ,且b1=b2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 (2)对于直线l 1∶0111=++C y B x A ,l 2 ∶0222=++C y B x A ,当A 1,A 2,B 1, B 2都不为零时,有以下结论: ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7.点到直线的距离公式. (1)已知一点P (00,y x )及一条直线l :0=++C By Ax ,则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++; (2)两平行直线l 1: 01=++C By Ax , l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程:222)()(r b y a x =-+-,其中(a ,b )是圆心坐标,r 是圆的半径; (2)圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x (F E D 42 2-+>0),圆心坐标 为(-2D ,-2 E ),半径为r =2422 F E D -+.

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