数学建模优秀论文

过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。目前，实际采用的打孔机普遍是单钻头作业，即一个钻头进行打孔。本问题旨在解决某类打孔机的生产效能问题。

打孔机的生产效能主要取决于：（1）单个过孔的钻孔作业时间，由生产工艺决定；（2）打孔机加工作业时，钻头的行进时间；（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。

某种钻头装有8种刀具，8种刀具的顺序固定，不能调换。加工作业时，一种刀具使用完毕后，可转换使用另一种刀具。相邻两刀具的转换时间是18 s。作业时，可顺时针旋转转换刀具，如刀具a→刀具b；也可逆时针旋转转换刀具，如刀具a→刀具h。将任两个刀具转换，所需时间是相应转换时间的累加。假定钻头的行进速度相同，为180 mm/s，行进成本为0.06元/mm，刀具转换的时间成本为7元/min。刀具行进过程中可同时转换刀具，但相应费用不减。

不同的刀具加工不同的孔型，有的只需一种刀具来完成，有的需要多种刀具及规定的加工次序来完成。表1为10种孔型所需加工刀具及加工次序（*表示该孔型不限制加工次序）。

表1：10种孔型所需加工刀具及加工次序

同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔，再加工另一个孔，即对于须用多种刀具加工的过孔，只要保证所需刀具加工次序正确即可。

建立相应的数学模型，并完成以下问题：

（1）由附件1提供的某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。

（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（钻头形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，也可一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm的合作间距。

（i）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？

（ii）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。

2.1 问题1分析：

本问题可看作为动态规划与图论的组合问题，即求取由起始状态到终点状态的最优单向路径问题，主要是运用运筹学的排序理论、图论中的Hamilton 路径的相关理论知识解决问题。经分析，1T —钻头的行进时间、2T —加工不同孔型的刀具的转换时间，是本题的目标规划量。行进速度u 恒定，故目标规划量可转化为等效最短路径。

首先，由分析，异型孔中最远两点距离ij d 小于等效换刀距离ij l ，故我们建立换刀、路线分立优化原则，邻近换刀原则。在该两个原则下，我们确定了运用工序优化算法总体优化换刀次序，同型孔中计算路径最优的问题的思路，将问题分成两部分进行求解。其次，为解决在同型孔中求解最优路径，由优化的最邻近算法我们求解出初始的Hamilton 回路，通过二边逐次修正算法对其进行优化，而后删去虚拟点得最优单向路径。最后，通过与最小生成树计算所得下界进行比较，对结果进行验证。

2.2 问题2分析

问题二中，双钻头12,J J 对孔群进行加工的互相干扰，使本问题的时序性更突出，故不能简单使用求Hamilton 回路法，即使用动态规划的思想，该问题这也是个典型的NP-难问题，故我们将采用改进的蚁群算法进行近似求解。我们将采取建立于蚁群算法的蚁对群算法，全局搜索出两条最短路径，以达到目标时间最短，使生产效能最高。

对于（i ），由于其他条件不变，故决定性条件仍为换刀时间1T ，对此我们沿用问题一的两个原则。为使目标时间最小，基于两刀加工时间12,J J T T 的一致性，对总换刀次数

1221,J J N N N k k +=+=+∈Z ，令1N N =+，并使两钻头换刀次数12,J J N N 尽可能相同。在优化问题上，由于存在合作间距3cm ε≥的约束条件，问题变为在连续时间内，时刻加入两钻孔12,J J 间距离12(,)3d J J cm <的判断。对于（ii ），将在统一模型算法下，通过改变合作间距ε，定量研究其对生产效能的影响。

在模型验证中，将所求的路径与基于最小生成树的路径做误差分析。同时，单纯对于提高生产效能而言，与问题一结果相较，若单孔作业总时间s d T T ≈，d T 为双孔作业时间，则该模型的建立是失败的。

三、 模型假设

1. 忽略钻头的形状、材料、加工工艺等因素对钻孔作业的影响，将钻头视为质点；

2. 忽略所打孔的大小，将孔视为质点，以圆心坐标表示；

3. 假定打孔机8种刀具单独钻孔作业时间相同；

4. 假定对于同一孔型钻孔作业时间都是相同的；

5. 在问题一中，假定所有孔型的钻孔作业时间相同，经查阅资料，取该时间为0.4s ；

6. 在问题二的(i)中，假定合作距离为3cm 。

四、 符号说明

五、 模型准备

5.1 Hamilton 路径（回路）与TSP 问题

1. 定义 在无向图G =中，穿程于G 的每个节点依次且仅一次的路径称为

Hamilton 路径。穿程于G 的每个节点依次且仅一次的回路称为Hamilton 回路。

2. TSP(旅行商问题)

有n 个城市12

,n v v v ，其相互间距离121323,,,

v v v ,为已知，求合理的路线使得每

个城市都被经过一次，且总路径为最短。TSP 的数学模型为：

1

..=11,2

m

ij j s t X i n ==∑， (1)

min ij ij i j

d X ≠∑ (2)

1

1,1,2m

ij

i X

j n ===∑ (3)

,1,22,{1,2}ij

i j n

X

s s n s n ∈≤-≤≤-?∑ (4)

{}0,1,,1,2

,ij X i j n i j ∈=≠ (5)

式(8)中1ij X =表示旅行商经历i j v v 的路径，0ij X =表示不经过该路径；式(5)(6)要求旅行商经过,i j v v 点有且仅有一次；(8)在任何一个城市的子集中不行成圈。

5.2 最邻近算法

定理1 ,,G V E W =<>是n 个顶点的无向完全图，W 为从E 到正实数集的函数，对在V 中任意三点,,i j k v v v ，满足

(,)(,)(,)W i j W j k W i k +≤ (6)

则可将实际问题转化为求取赋权图上的Hamilton 回路问题。 具体算法如下：

1) 在G 中取一点0v V ∈为起始点，找出一个与始点最近的点，形成一条边的初始路径。 2) 设x 表示最新加到这条路径上的点，从不在路径上的所有点中，选一个与x 最邻近

的点，把连接x 与此点边加到这条路径中。重复直至G 中的所有顶点包含在路径中 3) 把始点和最后加入的顶点之间的边放入，即得出一个回路。

5.3 蚁群算法：

(1) 状态转移规则

[()][()],[()][()]0,ij ik k i ij ik t t j Allowed p t t else αβ

αβ

τητη?∈?

=??

?

∑若 (7) 式中()k ij P t 一在t 时刻蚂蚁k 由元素i 转移到元素j 的概率；k Allowed ——表示蚂蚁k 下一步允许选择的城市；α——信息启发式因子，表示轨迹的相对重要性；β一期望启发式因子，表示能见度的相对重要性；()ij t η——启发函数，()1/ij ij t d η=；ij τ——残留信息量。

(2) 信息素修正规则

()(1)()()ij ij ij t n t t τρττ+=+?+? (8)

1()()m

ij ij k t t ττ=?=?∑ (9)

,()0,k ij Q

k i,j L t else τ???=???

若只在本次循环中（）

式中,ρ——信息素挥发系数；()ij t τ?一表示第k 只蚂蚁在本次循环中留在路径(),i j 上的信息量；Q ——信息素强度，设为常数；k L ——第后只蚂蚁在本次循环中所走过的路径的长度。

(3) 禁忌表k tabu 的修改和表Allowed 蚂蚁数后有一个表k tabu 和表Allowed 。初始时可以把tabu 中的元素都设为0，把的元素都设为l 。如果蚂蚁第1次选择了城市j ，则把tabu 表中第1元素赋值为j ，并把表Allowed 总第1j -个元素赋值为0，表示此城市已经走过。

算法实现步骤如下：

(1) 参数初始化。令循环次数0c N =，将m 只蚂蚁随机放在n 个元素(城市)上，

(),(0)0;ij ij t const ττ==；

(2) 循环次数1c c N N =+ (3) 蚂蚁数1k k =+；

(4) 对第k 只蚂蚁，根据公式(1)选择城市j ，并前进；

(5) 把选择的城市加入到第屉只蚂蚁的表tabu 中，并修改表Allowed ；

(6) 对于第k 只蚂蚁若没有游历完所有m 个城市，则转到第4步，若游历完所有城市，则

执行第7步；

(7) 若蚂蚁数k 小于蚂蚁总数n ，则转到第3步，直到n 只蚂蚁都游历完m 个城市，再执

行第8步；

(8) 根据式(2)、式(3)更新每条路上的信息量，并找出n 只蚂蚁中，所走的最短路径的

值，并保存；

(9) 若循环次数未达到最大循环次数，则转到第2步，若满足结束条件则结束循环，并输

出计算结果。

5.4 数据处理

1. 将10种孔型按所需刀具重新编号H h ，其中,h H 分别代表8种刀具、10种孔型中某一种，故得18类孔（共2814个）如下表。

表格 1 18种新孔分类列表

另外，为叙述简便，将新的18种孔型做统一再命名，对应表格如下

表格 2 18种新孔识记表

同时我们作出了相应的18种新孔的刀具分布情况，如下图。

图 1 18种新型孔的刀具分布情况

2. 由公式d ut =，将题目中缩短行进、换刀时间问题，转化为求解最短距离问题。 (1) 首先，将5.3数据处理中所得到的2814个点，12

,m v v v ，

记作赋权图,G V E <>中点集V ，其中2814m =。

(2) 针对上步中的2814个点，依次求出两点间最短距离ij s ； (3) 不同的孔型需换刀具，两点间的换刀等效距离

ij r l t u =? (10)

其中

18r ij t n =? (11)

为两刀具之间所需的换刀时间，ij n 为点i v 与点j v 换刀次数。

六、 模型的建立与求解

6.1 两个原则下的单向Hamilton 路径的图论模型

6.1.1

模型建立

6.1.1.1 基于TSP(旅行商问题)的最短路程模型： 1. 最短等效路径：

1) 刀具行进路径：

从先前位置移动到当前位置的成本。设两个位置之间的实际距离为ij d 单位长度的刀具行进成本为n ，则完成m 个孔加工的刀具行进成本为：

11,1m m

ij ij

i j i j

f d e

==≠=

∑∑ (12)

ij d ——孔i 和孔j 之间距离；ij e ——该路径在优化路径上。

2) 换刀等效路径：

设ij l 打孔机1J 为加工孔i 后再加工不同孔型j 所需的等效换刀距离，b 为单位路径的换刀成本，则完成m 个孔加工的换刀成本为：

21,1m m

ij ij ij

i j i j

f n l e

==≠=

∑∑ (13)

ij l ——两点间的等效换刀路径 （处理方法，见数据处理5.3）； ij n ——两点之间的换刀次数。

则最小化总目标：

min 12min()d f f =+ (14)

2. 模型求解思路：

在换刀、路线分立优化原则，邻近换刀原则下，我们将用C 语言编写工序优化算法实现总体工序优化，通过优化的最邻近算法求得初始Hamilton 回路，而后用二边逐次修正算法对路径进行优化，并将虚拟点删去得单向路径。解决步骤如图2。

图 2模型一流程图

◆ 两个原则下的工序、路径优化

两个原则：

1) 换刀、路线分立优化原则：

换刀情况下，最小等效换刀距离min ij l

min 1818032401275.6ij l mm mil D =?=≈> (15)

,1

m

ij

i j D r

==

∑ (16)

其中，D ——对行进距离的平均值。

故需将同一类型的孔打完再换刀，则本问题转化为——异类点工序（换刀）优化、同类点之内的路径优化问题。 2) 邻近换刀原则：

为减小等效ij l ，换刀时应尽量进行临近刀具转换进行打孔作业，如，,a h h A F H ?，或a b A B ?孔作业完毕，则优先或孔的作业，在邻近换刀条件下，最大程度上减少2T 。

工序优化算法：

对于已有18类孔，必然有18k ≤，其中k 表示步骤总数，18步之内总能打完所有的点。故对工序进行优化时，我们引入步骤矩阵118P ?，激活矩阵118Q ?，状态矩阵118C ?，以总次数N 最小为目标，

18

1

i i N n ==∑ (17)

其中，i n 为要打第i 类孔时，所需的换刀次数。

1) 初始化步骤矩阵118

P ?，1,0,i i p i ?=??第步向右

第步向左

； 激活矩阵118Q ?，1,0,j j j V q V ??=?

??被激活，可进行作业

未激活，不可作业

；

状态矩阵118C ?，1,0,j j j V c V ??=???

未进行作业

已进行作业；

其中，j V 代表相应的新型孔。

2) 根据图4 ,18类新型孔的刀具分布情况，步骤矩阵，由某确定起始孔型x V 开始，

0x c =，若10p =，则向左寻找最近的1,1j j q c ==的孔型j V ，并将对应的关系矩

阵寻找下线孔型i V ，并使1i q =，0i c =。

3) 根据j p ，2,318j =的值，重复对x V 的操作。并判断是否0j c =，1,218j =。 若满足则结束，若不满足则重复3)的操作。则可得工序的最优解。

最邻近算法求初始Hamilton 回路

具体步骤如下：

1) 建立等效距离矩阵m m W ?，其中第i 行、第j 列的元素ij ij ij w s l =+，ij w 为点i v 到点

j v 的等效距离；

建立激活矩阵1m Q ?，其中1,0,j j j v q v ??=???

被激活，可进行作业

未激活，不可作业；

建立关系矩阵1m R ?，其中,0,j k j j k v v r v ??=?

??

作业后，才可作业

不影响其他点作业；

建立状态矩阵1m C ?，其中1,0,j j j v c v ??=?

??

未进行作业

已进行作业；

2) 确a 定点j v （1j =时为起始点），对应将1j q 置为，j c 置为0，若0j r ≠，则由j r 值

查找下线点i v ，跳转至步骤3；若0j r =，则继续对点1j v +重复对j v 的操作，直至

0k r ≠转至步骤3。

3) 由第二步所确定的点i v 对于除i v 外的所有点满足相应1,1i i q c ==的点，并在等效

距离矩阵中的第i 行中，对于满足要求的点对应的值寻找最小值min i d ，并对点x v 重复步骤二，直至1m C ?所有元素为零，故所得路径为优化的有向Hamilton 回路。 4) 在路径中加入虚拟点0v ，令任一点i v 到0v 得距离0i d =0，则0v 与路径中所有的点都

相连接，则最终去掉边权最大的两点中间的路径，则得到有向Hamilton 路径。 具体算法流程如下：

二边逐次修正算法

1) 对所得Hamilton 圈12

1n H v v v v =，对所有适合11i j n <+<<的,i j ，判断对某

一对i 和j ，是否有

()1111(,)(,),(,)i j i j i i j j w v v w v v w v v w v v +++++<+ (18)

2) 若有，删去边1i i v v +和1j j v v +,添加边i j v v 和11i j v v ++得12111.........ij i j i j n H v v v v v v v v ++=; 3) 重复1)2)两步，直至不可再用此方法继续进行，则求得一个较优的Hamilton 圈 为了得到更高的精度，该程序可以重复几次，每次都以不同的圈开始。 6.1.2 模型求解

1. 总路径示意图： 1) (,)d D G 打孔路径图：

2) ()c E 打孔路径图：

3) ()b B 打孔路径图：

d ()F

h g

f

()c I

()F

h g

f

()c I

4) (,)a A C 打孔路径图

5) (,)h F H 打孔路径图：

6) (,)g F G 打孔路径图：

d ()F

h g

f

()c I

d ()F

h g

f

()c I

d ()F

h g

f

()c I

d ()F

h g

f

()c I

7) (,,)f E G J 打孔路径图：

8) ,e D I （）

打孔路径图：

9) (,,)c C I J 打孔路径图：

2. 工序流程表及对应路径长度：

工序流程为：

()()d c E b a h g f e c I →→→→→→→→

该流程实际为刀具转换的流程，也即工序图，其中,(,,,,,,,)x x a b c d e f g h ?∈表示某一种刀具，→表示换刀。该流程为，由刀具d 开始，将所有用到刀具d

的孔全

d ()F

h g

f

()c I

d

h g

f

()c I

d ()F

h g

f

()c I

部打完后，刀具换转d c →，将()c E 即需刀具c 的E 型所有孔打完，再转换。同理，以该流程打完所有孔。 工序流程表及对应长度如下：

3. 总时间计算：

7

1231

0.4181363.85i i D T T T T m n s u ==++=?++?=∑ (19)

4. 总费用计算：

120.6180/2.547/60842.34S T T =??+?=元 (20)

6.1.3

模型检验

有向Hamilton 圈的求解并不能找到确定的最优解，但可以用最佳Hamilton 圈的权的下界与其比较。利用最小生成树可以得到最佳Hamilton 圈的一个下界，方法如下。

设C 是G 的一个最佳Hamilton 圈，则对G 的任一顶点v ，C v -是G v -的路，也是

G v -的生成树。如果T 是G v -的最小生成树，且1e 和2e 是与v 关联的边中权最小的两条

边，则()()12()w T w e w e ++将是()w c 的一个下界。

6.2 问题二

6.2.1

模型建立

在问题一的基础上，我们由双钻头工序优化算法优化出双钻头的换刀方案，在两个原则下，我们可认为双钻头12,J J 在满足3cm ε≥的约束条件下在两块独立且重合的板上进行独立打孔作业。针对此问题，我们将平面问题转化加入时间轴为空间问题，,x y 轴为坐标轴，z 轴为时间轴，并提出了基于蚁群算法的蚁对群算法。 1. 蚁对群算法：

在蚁群算法的基础上，为解决双打孔机12,J J 的作业线路设计问题，我们提出了蚁群对算法。具体步骤如下：

1） 随机产生m 对蚂蚁，将该m 对中的蚂蚁平均分别置于12,J J 将行路线上； 2） 对于蚂蚁对12,k k 的起始孔,i m v v 加入到禁忌表12tabu ,tabu k k ；

3） 计算12,k k ij mn P P ，其中1

k ij P 为蚂蚁1k 到剩余点的概率，2k

mn P 为蚂蚁2k 到剩余点的概率；

4） 用赌轮方法选择蚂蚁12,k k 各自在该次行进中将要到达的孔,j n v v ； 5） 计算蚂蚁1k 第k 次行进时间1k

k T ，蚂蚁2k 第k 次行进时间2k

k T ，

()()

11

1k

k k k ij T T T -=+? (21)

()()

22

1k

k k k mn T T T -=+? (22)

0.418ij ij ij T T e ?=?++? (23)

其中ij T ?为从蚂蚁1k 从i v 到j v 的等效行进时 间，ij T ?为,i j v v 的实际行进时间，ij e 为两个孔之间是否要换刀的标记变量，对于,,,k

mn mn mn mn T T T e ??平行存在;

6） 若12()()k k k k T T <，并且3mj d cm ≥，则蚂蚁1k 移至孔j v 处，()()

221k k k k T T -=返回步骤4）；

若3ij d cm <，()()111k k k k T T -=，()()

221k k k k T T -=则蚂蚁12,k k 均不可移动，直接返回4）；

7） m 对蚂蚁均完成1次行进，则根据修正信息素规则，修改信息素（见模型准备5.4）； 8） 当循环次数k n =时，结束。 具体流程图如图3：

图 3蚁对群算法流程图

其中目标点确定方法为蚁对群算法中的（3）（4）（5）（6）。

6.2.2 模型求解 1. 最优作业线路图

在双钻头12,J J 按照1:J b a h g f →→→→，2:J f e d c b →→→→其中，2J f 中道具仅打C 型f 孔，对道具b 所打B 型孔，对两钻头12,J J 进行近似平均分配。

点分布路线图：

2)101~200点

3)201~300点

4)301~350点

6)481~680点

7)681~800点

8)801~900点

10)1181~1300点

11)1301~1350点

12)1351~1410点

13) ()x z -时间轴路线图

14) ()y z -时间轴路线图

2. 行进时间（单个空作业时间为0.4s ）

1) 钻头1J 路径中共1407个顶点，b 点数为268 个，

1111()2()=110.79s J J J T T T +=行进，11110()1()2()=673.59s J J J J T T T T ++=（含作业时间）

2) 钻头2J 路径中共1407个顶点，

2221()2()=109.93s J J J T T T +=行进，22220()1()2()=672.73s J J J J T T T T ++=（含作业时间）

3) 行进总时间：2=+=220.721J J T T T s 行进行进行进，121346.32s J J T T T =+=（含作业时间） 3. 作业成本

()()112120.6180/2.547/60427.53J J J S T T =??+?=元 ()()222120.6180/2.547/60612.71J J J S T T =??+?=元

12+=612.71+427.53=1040.24S S S =元

七、 模型评价

对模型一，考虑到所需作业的孔的数据庞大，邻近换刀条件、刀具转换次序限制条件混合，问题复杂性较高。首先，我们通过优化的最邻近算法下，求出新分类的18种孔型下的所有孔的近似最短Hamilton 回路问题。其次，在已有的结果的基础上，对问题进行分析。同时，基于结果分析后提出的两个原则，运用二边逐次修正算法、工序优化算法，分别对同

类孔之间行进路径、工序进行优化。该模型的建立中，我们对问题逐层求解，所提出的求解有向Hamilton 回路的算法——即在最邻近算法的基础上引入激活、状态、关系矩阵，运算量相对图论的经典算法较小，应用范围广。

在问题二的解答中延续了问题一的思想，两处基础算法都是基于问题一已实现的程序，即由最邻近算法求解同型孔之内的最优Hamilton 路径问题。故而在已有的基础上减少了运行时间，提高了效率。

八、 灵敏度分析

1． 单个孔的作业时间：

考虑到单个孔的的作业时间0t 若置为变量，使问题更加复杂。经查阅资料，我们将0t 打孔时间设为0.4s 。实际，在问题二中，由于两个打孔机12,J J 独立作业，由于有合作间距ε的限制，单个孔打孔时间0t ，会对12,J J 的作业情况有较大的影响。如，若1J 在某时刻打i v 孔，而2J 按预定路程本应向j v 的孔行进，但3ij w cm <，故2J 需等待1J 作业完毕后进行。则0t 对双打孔机作业的影响可能较大，下面我们将对0t 的取值对整体结果的影响进行具体讨论。

由于实际工程中条件约束，00.5t s ≈，分别故取将00.3,0.4,0.5t s s s =，代入问题的程序求解，则结果如表格3：

表格 3单孔作业时间对比表格

由表格3可知，当分别取00.3,0.4,0.5t s s s =，0.50.420.78T T s ?-?=，

0.40.38.12T T s ?-?=-，说明0t 取值不同时，T 行进

差异不大。总时间012T T T T =++包含了

作业时间，故0t 取值不同时，T 变化较大。故0t 的取值对本问题影响不大，且问题二的模型有较好的弹性，可以满足0t 咋一定范围内的波动。 2． 算法分析：

由于寻找Hamilton 回路问题为NP hard -问题，并没有成熟的算法解决该问题。为解决寻找有向Hamilton 路径，我们将最邻近算法进行改进，具体分析如下。 优化的最邻近算法：

由起始点0v 进行路径的扩充，基于最邻近的思想，只添加ij w 最小的边i j v v 。同时我们引入m m ?的等效距离矩阵m m D ?，1m ?的激活矩阵1m Q ?，关系矩阵1m R ?，状态矩阵1m C ?，其计算时间复杂度为2()O m ，其中m 为总节点数。算法优势在于，在时间复杂度较低的情况下求解出近似的有向最优Hamilton 回路。同时，没有矩阵的迭代，则不会产生由迭代深度引起的空间复杂度过大的问题。

九、 模型推广

1． 拓展一：遗传算法

遗传算法是模拟生物在自然界中遗传和进化过程而形成的一种向适应全局优化概率搜索算法。遗传算法在优化孔群的加工路径中，染色体一般为一个代加工孔的序列，所以染色体的长度与孔的数量相等。直接采用孔的标号编码在运算中可能出现某些孔未加工的情况，因此可采用编码方式如下：

每加工一个孔，就将其从未加工列表T 中删除，则列表R 作为一个染色体表示代加工孔的序列。假设某个待加工孔的序列为124385967A A A A A A A A A --------，则按照上述方法编码得到的染色体为（112141311）。而对于双钻头孔群加工路径问题，每个孔的加工序列都是两条加工路径之间断开后都可形成两个子序列，根据钻头行走时间和钻头所需时间可算出对应加工时间为1T 和2T 。比较不通断电的T 值，T 值最小的两个子序列就是这一染色体代表的双钻头的群加工方案。

合作距离3cm ε≥的判断间距算法：

若在某时刻，若蚂蚁12,k k 分别在点,i j v v 处，若通过目标点确定算法确定出12,k k 分别将行至点,i j v v ''。比较线段i i v v '，j j v v '之间的最短距离min l 与合作间距ε之间的大小，若满足该条件则蚂蚁分别12,k k 可达,i j v v ''，若否，则由目标点确定算法重新确定。

十、 参考文献

【1】 姜启源,谢金星,叶俊,《数学模型》,北京,高等教育出版社. 2004年4月. 【2】 胡运权,《运筹学教程》, 北京：清华大学出版社，1998: 405 ~ 410.

【3】 卢开澄, 卢华明,《组合数学》，第3 版, 北京：清华大学出版社，2002: 473 ~ 478. 【4】 《运筹学》教材编写组,《运筹学》, 北京：清华大学出版社. 2005年6月.

【5】 张银明，单向Hamilton 最优通路的求解新方法及其算法设计，华侨大学学报(自然科学版)，2003，24(3).

【6】 周培德, 一种快速求解货郎担问题的方法，计算机理论通信，1984(03).

【7】 潘金直、顾铁成等编译．现代计算机常用数据结构与算法，南京大学出版社．1994. 【8】 曲晶，肖世德，熊鹰，基于蚁群算法的PCB 孔加工路径优化，机电工程，2007（24）. 【9】 张毅华，郑长江，丁金学. 基于蚂蚁寻径原理的最优路径选择算法，系统工程，2008(7). 【10】 胡耀民, 刘伟铭. 基于改进型蚁群算法的最优路径问题求解, 华南理工大学学报（自然

科学版）, 2010(10).

十一、 附录

全国数学建模竞赛一等奖论文

交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配

数学建模优秀论文设计模版

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题 1 用······的方法解决；对问题 2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700-1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）

数学建模国家一等奖优秀论文

２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:

２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：

2013全国数学建模大赛a题优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度

数学建模论文范文[1]

利用数学建模解数学应用题 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次： 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。

数学建模优秀论文模板(全国一等奖模板)

Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义

农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分

SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文

SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

数学建模优秀论文范文

数学建模优秀论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须

依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的 发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为: 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对 应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需 进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干 个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模 型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过 程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解 题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 3(1提高分析、理解、阅读能力。

美国大学生数学建模竞赛优秀论文翻译

优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的

初中数学建模论文范文

初中数学建模论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 二、数学应用题如何建模 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力

论文心得-数学建模优秀论文心得体会

论文心得-数学建模优秀论文心得体会.txt你妈生你的时候是不是把人给扔了把胎盘养大？别把虾米不当海鲜。别把虾米不当海鲜。阅读一篇论文对我主要有以下四个方面的启发与指导： (1)大致了解数学建模论文写作时应包含哪些内容 (2)每部分内容都应写些什么 (3)汲取他写作与处理问题的成功之处，以便将这些优点运用于我以后的论文写作中 (4)总结这篇论文写作与处理问题过程中的败笔，提醒我注意在写作论文时不要犯类似错误 所以，在下面的学习心得中将主要涉及以上四个方面的内容。 摘要： 简明扼要地指出了处理问题的方法途径并给出作答，起到了较好的总结全文，理清条理的作用。让读者对以下论述有一个总体印象，而且对于本题的答案用图表形式给出，清晰明了 问题重述：（略） 问题背景： 交待问题背景，说明处理此问题的意义和必要性。 优点：叙述详尽，条理清楚，论证充分 缺点：前两段过于冗长，可作适当删节 问题分析： 进一步阐述解决此问题的意义所在，分析了问题，简述要解决此问题需要哪些条件和大体的解决途径 优点：条理比较清晰，论述符合逻辑，表达清楚 缺点：似乎不够详细，尤其是第三段有些过于概括。 模型的假设与约定： 共有8条比较合理的假设 优点：假设有依据，合情合理。比如第3条对上座率的假设，参考了上届奥运会的情况并充分考虑了我国国情，客观真实。第8条假设用了分块规划和割补的方法，估计面积形状比较合理，而且达到了充分花剑问题的作用。 缺点：有些假设阐述不太清楚也存在不合理之处，第4条假设中面积在50-100之间，下面的假设应该是介于50-100之间的数，假设为最小的50平方米，有失一般性。第6条假设中，假设MS最大营业额为20万，没有说明是多长时间内的，而且此处没有对下文提到的LMS 作以说明。 符号说明及名词定义 优点：比较详细清楚，考虑周全，而且较合理地将定性指标数量化。 缺点：有些地方没有标注量纲，比如A和B的量纲不明确。 模型建立与求解 6.1问题一： 对所给数据惊醒处理和统计，得出规律，找到联系。 优点：统计方法合理，所统计数据对解决问题确实必不可少，而且用图表和条形图的方式反映不同量的变化趋势，图文并茂，叙述清楚而且简明扼要，除了对数据统计情况进行报告以外，还就他们之间相关量之间的关系进行了详细阐述，使数据统计更具实效性。 6.2问题二： 6.2.1最短路的确定 为确定最短路径又提出了一系列假设并阐述了理由，在这些假设下规定了最短路径

2014年数学建模国家一等奖优秀论文设计

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

2011年全国数学建模大赛A题获奖论文

城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。 对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。 对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。 针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。 在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。 综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。 关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图

一、问题重述 1.1问题背景 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会 健康和城市可持续发展[1] 。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 1.2 目标任务 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。 二、 模型假设 1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响； 2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用； 3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。 三、 符号说明 3.1第一问中的符号说明 i p ——污染物i 的环境污染指数 i C ——污染物i 的实测值 i S ——污染物i 的背景值 m ax (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值

论文心得-数学建模优秀论文心得体会

论文心得-数学建模优秀论文心得体会 阅读一篇论文对我主要有以下四个方面的启发与指导： (1)大致了解数学建模论文写作时应包含哪些内容 (2)每部分内容都应写些什么 (3)汲取他写作与处理问题的成功之处，以便将这些优点运用于我以后的论文写作中 (4)总结这篇论文写作与处理问题过程中的败笔，提醒我注意在写作论文时不要犯类似错误 所以，在下面的学习心得中将主要涉及以上四个方面的内容。 摘要： 简明扼要地指出了处理问题的方法途径并给出作答，起到了较好的总结全文，理清条理的作用。让读者对以下论述有一个总体印象，而且对于本题的答案用图表形式给出，清晰明了 问题重述：（略） 问题背景： 交待问题背景，说明处理此问题的意义和必要性。 优点：叙述详尽，条理清楚，论证充分 缺点：前两段过于冗长，可作适当删节 问题分析： 进一步阐述解决此问题的意义所在，分析了问题，简述要解决此问题需要哪些条件和大体的解决途径 优点：条理比较清晰，论述符合逻辑，表达清楚 缺点：似乎不够详细，尤其是第三段有些过于概括。 模型的假设与约定： 共有8条比较合理的假设 优点：假设有依据，合情合理。比如第3条对上座率的假设，参考了上届奥运会的情况并充分考虑了我国国情，客观真实。第8条假设用了分块规划和割补的方法，估计面积形状比较合理，而且达到了充分花剑问题的作用。 缺点：有些假设阐述不太清楚也存在不合理之处，第4条假设中面积在50-100之间，下面的假设应该是介于50-100之间的数，假设为最小的50平方米，有失一般性。第6条假设中，假设MS最大营业额为20万，没有说明是多长时间内的，而且此处没有对下文提到的LMS 作以说明。 符号说明及名词定义 优点：比较详细清楚，考虑周全，而且较合理地将定性指标数量化。 缺点：有些地方没有标注量纲，比如A和B的量纲不明确。 模型建立与求解 6.1问题一： 对所给数据进行处理和统计，得出规律，找到联系。 优点：统计方法合理，所统计数据对解决问题确实必不可少，而且用图表和条形图的方式反映不同量的变化趋势，图文并茂，叙述清楚而且简明扼要，除了对数据统计情况进行报告以外，还就他们之间相关量之间的关系进行了详细阐述，使数据统计更具实效性。 6.2问题二： 6.2.1最短路的确定

2011年数学建模大赛优秀论文

交巡警服务平台的设置与调度的数学模型 摘要 针对交巡警服务平台的设置与调度问题，本文主要考虑出警速度和各服务平台的工作量来建立合理方案。对于A区的20个交巡警服务平台分配管辖范围的问题，我们采用Dijkstra算法，分别求得在3分钟内从服务台可以到达的路口。根据就近原则，每个路口归它最近的服务台管辖。 对进出A区的13个交通要道进行快速全封锁，我们采用目标规划进行建模，运用MATLAB软件编程，先找出13个交通要道到20个服务台的所有路径。然后在保证全封锁时间最短的前提下，再考虑局部区域的封锁效率，即总封锁时间最短，封锁过程中总路程最小，从而得到一个较优的封锁方案。 为解决前面问题中3分钟内交巡警不能到达的路口问题，并减少工作量大的地区的负担，这里工作量以第一小问中20个服务台覆盖的路口发案率之和以及区域内的距离的和来衡量。对此我们计划增加四个交巡警服务台。避免有些地方出警时间过长和服务台工作量不均衡的情况。 对全市六个区交警平台设计是否合理，主要以单位服务台所管节点数，单位服务台所覆盖面积，以及单位服务台处理案件频率这些因素进行研究分析。以A 区的指标作为参考，来检验交警服务平台设置是否合理。 对于发生在P点的刑事案件，采用改进的深度搜索和树的生成相结合的方法，对逃亡的犯罪嫌疑人进行可能的逃逸路径搜索。由于警方是在案发后3分钟才接到报警，因此需知道疑犯在这3分钟内可能的路线。要想围堵嫌疑犯，服务台必须要在嫌疑犯到达某节点之前到达。用MATLAB编程，搜索出嫌疑犯可能逃跑的路线，然后调度附近的服务台对满足条件的节点进行封锁，从而实现对疑犯的围堵。 关键词：Dijkstra算法；目标规划；搜索；

数学建模优秀论文模板(全国一等奖模板)

觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 二级标题设置成段落间距前0.5行后0.25行 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意表格插入到的方式在中复制后，粘贴，2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 所有软件名字第一个字母大写比如 所有公式和字母均使用编写 公式编号采用编号格式自己定义

公式编号在右边显示

农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；；误差分

数学建模B题优秀论文

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王静茹 2. 杨曼 3. 朱元霞 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2010年上海世博会经济影响力的定量评估 摘要 本文选取2010年上海世博会对上海经济的影响作为研究对象，首先，我们选择了 五届影响力较大的世博会与上海世博会进行了定量的纵向评估。 利用互联网的相关数据，运用层次分析法确定了各级评价指标的相对权重，然后 利用模糊综合评判法给这六届世博会的经济影响力进行了定量评估，利用MATLAB 计算出了1933年芝加哥世博会以来六届综合性世博会的经济影响力的综合评分依次为 75.12、80.01、80、11、77.35、79.35、80.75，由表我们可以肯定上海世博会的经济影响力是继1851年伦敦世博会以来较强的。 其次我们采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次 相关关系和上海市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用上海统计年鉴发布的数据，分别建立无世博影响的表达式i i i x x x e Q 21210904.01117.00032.06278.81-++=，与有世博影响的表达式i i i x x x e Q 21212955.00176.00019.01211.82+-+=，两式的预测误差均在1.1%以内。与 2008年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出世博会对2008年上海市经济贡献率达到20.9%。并且在得知申办世博会后第i 年上海市固定投入总额的前提下由%1002 12?-=Q Q Q η可求出世博会对上海地区经济的持续性积极影响。如假设2011年市固定资产总投资为5600亿元，则世博会对上海经济有16%的积极影响。 最后,经过对2010年上海世博会的经济影响力的两方面的评估,我们得知上海世博 会在历届世博会的经济影响力的综合评分中是最高的。由此得出,上海世博会对上海经济的影响力是非常大的,此次世博会除了对上海的直接收益影响明显外, 世博会对上海地区经济的持续性积极影响。 关键词：层次分析 模糊综合评判 投入——产出模型 回归模型 一、问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 二、问题分析