九年级数学竞赛题
2020年秋期九年级数学竞赛试卷
一、选择题(每小题5分，满分50分)
1.有两个元二次方程M: ax2+bx+c=0, N: cx2+bx+a=0,其中ac≠0，a≠c 以下列四个结论中错误的是( )
A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B.如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
1是方程N的一个根
C.如果5是方程M的一个根，那么
5
D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
2.等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2 - 6x+n- 1=0的两根，则n的值为( )
A.9
B.10
C.9或10
D.8或10
3.关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(3k-1)x+2= 0有一个根为1,则k的值为（）.
A.1
B.2
C.1或2
D.不能确定
4.已知关于x的方程(m-2)x2 -2(m+1)x+m+1=0有实数根,则m满足（）.
A.m＞-1
B.m≥-1
C.m＞-1且m≠2
D.m≥-1且m≠2
5.已知关于的一元二次方程:x2-ax+3=0的一个根比a小1,那么方程的
另一个根为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
6.已知m 为任意实数，P =175m- 1,Q=m 2 -15
8m,则P 与Q 的关系为（ ） A.P>Q B.P= Q C.P< Q D.不能确定
7.关于x 的方程x 2-(m+1)x+ m=0的两根的差为1,那么m 的值为（ ）
A.0或1
B.1或2
C.-1或2
D.0或2
8.关于x 的方程m(x +h)2+k=0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1=3，x 2=2,那么方程m(x+h-3)2+k=0的解是（ ）
A.-6,-1
B.0,5
C.- 3, 5
D.-6,2
9.如图,CB= CA ，∠ACB = 90°，点D 在边BC
上(与B,C 不重合),四边形ADEF 为正方形,过点
F 作F
G ⊥CA,交 CA 的延长线于点G,连结 FB,交
DE 于点Q.给出以下结论:①AC = FG;②S △FAB : S 四边形CBFG = 1 : 2;③∠ABC =∠ABF;④AD 2=FQ ×AC.其中正确结论的个数 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10. 如图,点B,C,G 在一条直线上，点D
在CE 上，菱形ABCD 和菱形CEFG 的边长
分别为2和3,∠A =120° ,图中阴影部
分的面积是（ ）
A.3
B.2
C.3
D.2 二、填空题(每空5分，满分40分)
11. 如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,
△ABC
每个顶点都在网格的交点处,sinA=__________.
12. 如图，为解决停车难的问题，在一段长
56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、
宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°
角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车
位_______个.
13.如图，在△ABC 中,点D 是BC 的中点，E 1
是AD 的中点，BE 1的延长线交AC 于点F 1.过点
E 1作EG ∥BC 交AC 于G.由平行线分线段的基本事实可得G 是AC 的中点,
则EG =21CD=41BC ；又由E 1G ∥BC 可得△F 1E 1G ∽△F 1BC.所以
4
1111==BC G E C F G F ,从而可得 AF 1 =31AC.
(1)若E 2为FD 的中点，BE 2的延长线交AC 于点F 2.则F 1F 2=_____AC.
(2)若E 3为F 2D 的中点,BE 3的延长线交AC 于点F 3，则F 2F 3=_____AC.
(3)若E n 为F n-1D 的中点,BE n 的延长线交AC 于点F n .猜想F n-1F n =______ AC.
14.在△ABC中，点E,F分别是AB ,AC的中点,EF=3,DE⊥EF交BC于点D，△DEF有一个内角是30°，则△ABC的面积可能是__________. 15.在四边形ABCD中,AD// BC,E,F分别是AB、CD边的中点,EF = 6cm.对角线AC把线段EF分成1:2两部分，那么BC边的长为___________.
16.在△ABC中，中线BE，CD相交于点O,F，G分别是OC，OB的中点、如果△ABC的面积是2.那么四边形DEFG的面积是_________.
三、解答题（10分）
17. 如图,山坡上A处有一棵与水平面垂
直的大树，一场大风把大树刮倾斜，又从
点C处折断,树的顶部恰好接触到坡面AE
上的点D处.已知山坡的坡角∠AEF=23°,
树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD = 4m. (结果精确到个位，参考数据:2≈1.4,3≈1.7, 6≈2.4,sin75°≈0.97,cos75°≈0.62)
①求∠CAD的度数.
②求这棵大树折断前的高度.