高三数学 不等式的性质、不等式证明 知识精讲 通用版
高三数学 不等式的性质、不等式证明 知识精讲 通用版
【本讲主要内容】
不等式的性质、不等式证明
【知识掌握】 【知识点精析】
实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a 、b ，a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三者中有且只有一式成立：a ＞b ?a －b ＞0，a ＝b ?a －b ＝0，a ＜b ?a －b ＜0。
在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。
对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种：
1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：A ＞B ?A －B ＞0等等，有时为方便计，也使
用其变种：??
?
??
>>00B B A ?A ＞B 等等。
2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明A ?B ，我们就由B ?C ?D ?…?A ，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：∵B ∴C ∴D …，∴A 由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。
3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。
4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。
其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。
在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。
综合法也是常用的方法之一，在证明时常常用到如下公式：
（1）22b a +≥2ab （a ，b ∈R ） （2）2b a +≥),(+∈R b a ab （3）b
a
a b +≥2（a ·b>0）
（4）2
2
2b a +≥),()2(2R b a b a ∈+ （5）若a ，b ∈R ，则||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |
【解题方法指导】
例1. 设a ＞0，b ＞0，求证：（b a 2）21
（a
b 2
）21
≥a 21
+b 21
。 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。
证法一：左边－右边＝ab
b a 3
3）
（）（+－（a ＋b ）
＝ab
b a ab b ab a b a ）（））（（+-+-+
＝ab b ab a b a ））（（+-+2＝ab
b a b a 2
））（（-+≥0。
∴原不等式成立。
证法二：左边＞0，右边＞0，
右边左边＝）
（））（（b a ab b ab a b a ++-+＝ab b
ab a +-≥ab ab ab -2＝1。 ∴原不等式成立。
评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二。要注意的是，作差对两个式的值的符号没有要求，作差后的式子与0进行大小比较；而作商通常对两个式子的值的符号有要求，作商后的式子与1进行大小比较。
例2. a 1、b 1、a 2、b 2 ∈R ，求证：（a 12+a 22）（ b 12+b 22）≥（a 1b 1+a 2b 2）2。
剖析：这是“柯西不等式”在n ＝2时的特殊情况，我们利用它来回顾一下常用的几种证明方法：
证法一（作差比较法）：
左－右＝（a 12b 12+a 22b 22+a 12+b 22+a 22+b 12）－（a 12b 12+a 22b 22+2a 1b 1a 2b 2）＝a 12b 22―2a 1b 2a 2b 1+a 22b 12＝（a 1b 2―a 2b 1）2≥0。
∴原不等式成立。 证法二（判别式法）：
∵（a 1x+b 1）2+（a 2x+b 2）2≥0恒成立。
∴（a 12+a 22）x 2+2 （a 1b 1+a 2b 2）x +（b 12+b 22）≥0恒成立。 若a 12+a 22＞0，则△＝4（a 1b 1+a 2b 2）2－4（a 12+a 22）（b 12+b 22）≤0 ∴（a 12+a 22）（b 12+b 22）≥（a 1b 1+a 2b 2）2。
若a 12+a 22＝0，则a 1＝a 2＝0，原不等式左、右均为0，也成立。 其它方法如：
分析法：左＝a 12b 12+a 22b 22+a 12b 22+a 22b 12，右＝a 12b 12+a 22b 22+2a 1a 2b 1b 2，要证原式，只要
证明a 12b 22+a 22b 12≥2a 1a 2b 1b 2，即可
综合法：∵a 12b 22+a 22b 12≥2a 1a 2b 1b 2，两边同加a 12b 12+a 22b 22。
构造法：作向量a ＝（ a 1，a 2），b ＝（ b 1， b 2），由向量的数量积的性质可得 （a ）2（b ）2≥（a ·b ）2，代入坐标立得。
几何法：在直角坐标系内取点A （a 1，a 2）B （b 1，b 2），则
OA+OB ≥AB （2221a a ++2221b b +）2≥（2
22211)()(b a b a -++）2 亦即2
2
21a a +2
221b b +≥－（a 1b 1+a 2b 2）
右边为负时当然成立，非负时平方即得。
评讲：这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及灵活性。另外，这个不等
式也是一个重要的基本不等式，只不过它只是出现在课本的例习题中，在今后的学习中，我们也可以直接使用这个不等式解决有关问题。最后大家想一想：这样的实数增加到3对、4对……，上面的方法还都有效吗？
例3. 已知a>b>0，求证：b
b a ab b a a b a 8)(28)(2
2-<-+<- 剖析：不等式的运算形式是比较复杂的，一眼看不出从哪儿下手，这时可以用分析法对
不等式变形。
证明：若证原不等式成立，只要证：b
b a ab b a a b a 4)(24)(2
2-<-+<- 只要证明222)2(
)()2(
b
b a b a a
b a -<-<-，只要证b
b a b a a
b a 220-<
-<-<
只要证
a
b a a
b a 212+<
<+，只要证
b
b a a
b a +<
<+2
只要证121+<<+
b a a b ，即证b
a
a b <
<1，即证b a a b <<1成立 ∵a>b>0此式显然成立，又以上各步均可逆。
∴原不等式成立。
评讲：分析可以让我们揭开一个不等式的真面目。同学们要注意的是在使用分析法时，一定按照规范的格式书写。
【考点突破】
【考点指要】
高考考纲要求：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函
数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。
关于不等式证明的内容年年都有，大部分是间接考查不等式的证明，有时也直接考查。
证明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，同学平时练习题与高考试题差距较大，所以我们在学习时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能。
【典型例题分析】
例4. （2002年北京）数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x a
x x a x n
n n ∈+=>=+ （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥
；
（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x 。
证明：（Ⅰ）（均值不等式的应用—综合法）：
由)(21,011n n n x a x x a x +=>=+及，可归纳证明0>n x
从而有)()(211
N n a x a
x x a x x
n
n n n n ∈=?≥+=
+，所以，当n ≥2时，a x n ≥成立。
（Ⅱ）证法一（作差比较法）：
当n ≥2时，因为)(21,01n
n n n x a
x x a x +=
>≥
+，
所以021)(212
1≤-?=-+=-+n
n n n n n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立。
证法二（作商比较法）：
当n ≥2时，因为)(21,01n
n n n x a
x x a x +=
>≥+，所以 122)(212
22221
=+≤+=+=+n
n n n n n n n n
n x x x x a x x x a x x x 故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立。
评讲：此题是以数列为知识背景，把数列与不等式证明综合起来，重点还是考查不等式
证明方法中最基本的方法——综合法和比较法。
例5. （2001，全国，理，20）已知i ，m ，n 是正整数，且1
（II ）证明：（1+m ）n >（1+n ）m
证明：（1）对于1＜i ≤m ，且A i m ＝m ·…·（m －i +1），
n i n n n n n n m i m m m m m m i
i m i i m 1
1A ,11A +-??-?=+-??-?= 同理， 由于m ＜n ，对于整数k ＝1，2，…，i －1，有
m
k
m n k n ->
-， 所以i m i i n i i
i
m i i n n m m
n A A A A >>即, （2）由二项式定理有 （1+m ）n ＝1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n
，
（1+n ）m ＝1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m
，
由（1）知
m i
A i n
＞n i
A i m
（1＜i ≤m )，而
C i m
＝!
A C ,!A i i i n
i n i m = ∴m i C i n ＞n i C i m （1＜m ＜n )
∴m 0C 0n ＝n 0C 0n ＝1，m C 1
n ＝n C 1m ＝m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…， m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n ＞0，…，m n C n n ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，
即（1+m ）n ＞（1+n ）m 成立
评讲：在第一问中一定要弄清符号A m i 的意义，把要证的式子用“隔离参数”的思想变
形为i i m
i i n m
n A A >，再比较两边对应的比值即可。在第二问中要注意使用第一问的结论，把排
列数之间的不等关系转化为组合数之间的不等关系。
例6. （2002江苏，22）已知a ＞0，函数f （x ）＝ax －bx 2。
（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2
b ；
（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；
（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件。
证明：（Ⅰ）依设，对任意x ∈R ，都有f （x ）≤1，∵f （x ）＝b
a b a x b 4)2(2
2+--，
∴b
a b a f 4)2(2
=≤1，∵a ＞0，b ＞0，∴a ≤2b 。
（Ⅱ）证明：必要性 对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1?－1≤f （x ），据此可以推出－1≤f （1）， 即a －b ≥－1，∴a ≥b －1； 对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1?f （x ）≤1，因为b ＞1， 可以推出f （
b 1）≤1，即a ·b
1
－1≤1， ∴a ≤2
b ；∴b －1≤a ≤2b 。
充分性
因为b ＞1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］，可以推出 ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1； 因为b ＞1，a ≤2
b ，对任意x ∈［0，1］
，可以推出ax －bx 2≤2b x －bx 2≤1， 即ax －bx 2≤1。∴－1≤f （x ）≤1。
综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2
b 。
（Ⅲ）解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0，1］：
f （x ）＝ax －bx 2≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1； f （x ）≤1?f （1）≤1?a －b ≤1，即a ≤b ＋1，
a ≤
b ＋1?f （x ）≤（b ＋1）x －bx 2≤1，即f （x ）≤1。 所以，当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是a ≤b ＋1。 评讲：在证明的过程中要注意结合二次函数特殊的性质，不等式对所给区间上的任意一个值都成立，当然对一个特殊值（比如：顶点处）也成立，这样我们就把一个一般的函数不等式变为我们所需要的不含变量x 的不等式。
【达标测试】
一. 选择题：
1. （2006安徽4）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题2
22
:22a b a b
q ++??≤
???
，则p 是q 成立的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 2. 如果a ，b ，c 满足c
b a 11<；命题q ：00
a
，给出下列四个命题：①p 或q ；②p 且q ；③┒p ；④┒q ，其中真命题有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 5. 设a >1，0
B. ),2(+∞
C. )2,(--∞
D. (]2,-∞-
6. 设x ＞0，y ＞0，且xy －（x +y ）＝1，则（ ） A. x +y ≤22+2
B. x +y ≥22+2
C. x +y ≤（2+1）2
D. x +y ≥（2+1）2
7. 设42,=+∈+
y x R y x 且，则y x lg lg +的最大值是（ ） A. 2lg -
B. 2lg
C. 2lg 2
D. 2
8. 已知x 、y ∈R ，M ＝x 2+y 2+1，N ＝x +y +xy ，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M ≥N B.M ≤N C.M ＝N D.不能确定
二. 填空题：
9. 已知122=+y x ，则)1)(1(xy xy +-的最大值为 ，最小值为 。 10. 设a <0，－1
+2
2
b ＝1，则a 21b +的最大值是____________。
12. 设a ，b 都是实数，给出下列条件：
①1>+b a ；②2=+b a ；③2>+b a ；④222>+b a ；⑤1>ab 。
其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是 。（请你把正确的序号都填上）
三. 解答题：
13. 设a 、b 、c 均为正数，求证：a
c c b b a 2
22++≥c b a ++。 14. 已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1， 求证：（a +a 1）（b +b 1）≥4
25
。
15. ⑴证明：当a ＞1时，不等式23a 1
2a 13a a +
>+成立。
⑵要使上述不等式23
a 12a 1
3a a +>+
成立，能否将条件“a ＞1”适当放宽？若能，请放
宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。
【综合测试】
一. 选择题：
1. （2003年南京市质检题）若a 1＜b 1
＜0，则下列结论不正确．．．的是（ ） A. a 2＜b 2
B. ab ＜b 2
C.
a b +b
a
＞2 D. |a |+|b |＞|a +b | 2. 命题p ：若a 、b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件。
命题q ：函数y ＝
21--x 的定义域是（-∞，-1][?3，+∞）。则（ ）
A. “p 或q”为假
B. “p 且q”为真
C. p 真q 假
D. p 假q 真
3. 若a 、b 为实数， 且a+b ＝2， 则3a +3b 的最小值为 （ ） A. 18 B. 6 C. 23 D. 243
4. 设p+q ＝1， p>0， q>0， 则不等式1)(log 41 B. 41 1 a a a ≥+ C. |a-b|+ 1 2a b ≥- D. ≤6. （2005年高考·福建卷·理11）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ） A. 22- B. 3 3 5- C. －3 D. 2 7- 7. （2005年春北京）若不等式（－1）n a ＜2+n n 1 1+-） （对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的 取值范围是( ) A.［－2， 2 3］ B.（－2， 2 3） C.［－3， 2 3］ D.（－3， 2 3） 8. （2000全国）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ?，Q ＝ 21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2 b a +），则（ ） A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜R D. P ＜R ＜Q 二. 填空题： 9. 若a ＞b ＞c ，则 b a -1+ c b -1 _______c a -3。（填“＞”“＝”“＜”＝ 10. 若2 )(b a b a ab b a R b a ++ ?∈和，则、的大小关系是________________________。 11. （1999全国，17）若正数a 、b 满足ab ＝a +b +3，则ab 的取值范围是 。 12. 若 b a 11<<0，已知下列不等式：①a+b a a b +>2 其中正确的不等式的序号为 。 三. 解答题： 13. 若 x a +y b ＝1，求证：x+y ≥（a +b ）2（式中a 、b 、x 、y 均当正实数） 14. 已知a 、b 为正数，求证： （1）若a +1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax +1 -x x ＞b 成立； （2）若对于任何大于1的正数x ，恒有ax + 1 -x x ＞b 成立，则a +1＞b 。 15. （2006广东20）A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ?组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ?∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ??-≤-。 （I ）设(2)[2,4]x x ?∈，证明：()x A ?∈； （II ）设()x A ?∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ?=，那么这样的0x 是唯一的； （III ）设()x A ?∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ?-=，1,2,n = 。 【达标测试答案】 一. 选择题： 1. 解：命题:p a b =是命题2 22 :22a b a b q ++??≤ ??? 等号成立的充分条件，故选B 。 2. 解析：取b ＝0，可验证C 不成立。C 3. 答案：A 4. 解析：p 是假命题，q 是真命题，故①③正确。选C 。 5. 解析：∵a >1，0 log ,0log <= a b a b a 设t a t b b a 1log ,log ==，则21 ≥-+ -t t ； 则a b b a log log +＝t t 1 +＝2)1(-≤-+--t t 选D 6. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴xy ≤（2 y x +）2。 由xy －（x +y ）＝1得（2 y x +）2 －（x +y ）≥1。 ∴x +y ≥2+22。 答案：B 7. 解析：设42,=+∈+ y x R y x 且 则22 22=+≤ ?y x y x ，即2≤xy 故y x lg lg +＝2lg )lg(≤xy 。 选B 8. 解析：M －N ＝x 2+y 2+1－（x +y +xy ） ＝2 1［（x 2+y 2－2xy ）+（x 2－2x +1）+（y 2－2y +1）］ ＝ 2 1［（x －y ）2+（x －1）2+（y －1）2］≥0。 答案：A 二. 填空题： 9. 解析：由122=+y x 得0≤|xy|≤14，所以)1)(1(xy xy +-＝1-（xy ）2＝1-x 2y 2∈[3 4，1]。 填1，3 4 。 10. 解析：0)1(0 )1(222 >-=->-=-b a a ab b ab ab ab a ＜a b 2＜ab 11. 解析：a 2 +22b ＝1?a 2+212 +b ＝2 3。 ∴a 21b +＝2·a ·212 +b ≤2· 2 21 22 ++b a ＝2·223＝423。 答案： 4 2 3 12. 解析：①②④⑤均可举出反例，③可用反证法证明“若两数均小于1，则a+b<2”， 与题设矛盾。 填③ 三. 解答题： 13. 证明：∵c a a c b c c b a b b a 2,2,22 22≥+≥+≥+ ∴a c c b b a 222++＋c b a ++≥2（c b a ++） ∴a c c b b a 2 22++≥c b a ++ 证毕！ 14. 证法一：（分析综合法） 欲证原式，即证4（ab ）2+4（a 2+b 2）－25ab +4≥0，即证4（ab ）2－33（ab ）+8≥0 即证ab ≤ 4 1 或ab ≥8。 ∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，∴ab ≥8不可能成立∵1＝a +b ≥2ab ，∴ab ≤4 1 从而得证。 证法二：（均值代换法）设a ＝21+t 1，b ＝2 1 +t 2，∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴t 1+t 2＝0，|t 1|＜ 21，|t 2|＜2 1 b b a a b b a a 1 1)1)(1(22+?+=++∴ )21)(21() 141)(14 1(211)21(211)21(212 22211222121t t t t t t t t t t ++++++++=+++?+++= 2222 222222222114 1)45(41)141)(141(t t t t t t t t --+=-++++++= .425 4 16254231625224 2 22=≥-++=t t t 显然当且仅当t ＝0，即a ＝b ＝2 1 时，等号成立。 证法三：（比较法） ∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤ 4 1 425)1)(1(0 4)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥ ++∴≥--=++=-+?+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：（综合法） ∵a +b ＝1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤4 1 2 2 2 25(1)1139(1)1251611(1)144164 4ab ab ab ab ab ab ?-+≥?-+?∴-≥-=?-≥??≥??≥?? 4 25 )1)(1(≥ ++b b a a 即 证法五：（三角代换法） ∵ a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，故令a ＝sin 2α，b ＝cos 2α，α∈（0， 2 π ） 4 25 )1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 243142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin ) cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2 2222222222224422 22≥ ++≥-?? ? ? ?? ≥≥+-=-≥-∴≤+-= +-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααα ααααααα ααα 15. 证明：（1）1)-1)(a -(a -a -a 5a 1a 12a 13 323=+ ∵a ＞1，∴1)-1)(a -(a 5a 13＞0， ∴原不等式成立 （2）解：∵a-1与a 5-1同号对任何a ＞0且a ≠1恒成立 ∴上述不等式的条件可放宽为a ＞0且a ≠1 （3）解：根据（1）（2）的证明， 可推知：若a ＞0且a ≠1，m ＞n ＞0，则有n m a 1n a 1 m a a +>+ 证：左式-右式 ＝1)-1)(a -(a 1)-(a -1)-(a a -a -a n m n -m a 1n -m a 1n -m n a 1a 1n m m m n m +==+ 若a ＞1，则由m ＞n ＞0?a m-n ＞0，a m+n ＞0?不等式成立； 若0＜a ＜1，则由m ＞n ＞0?0＜a m-n ＜1， 0＜a m+n ＜1?不等式成立。 【综合测试答案】 一. 选择题： 1. 解析：由 a 1＜b 1 ＜0，知b ＜a ＜0。 ∴A 不正确。 答案：A 2. 解析：取a ＝1，b ＝－1，可验证p 假； 由21--x 0≥，可得∈x （-∞，-1][?3，+∞），故q 真。 选D 3. 解析：∵a+b ＝2， ∴3a +3b 63232332=?==?≥+b a b a 。 答案：B 4. 解析：∵p+q ＝1， p>0， q>0，则由 pq q p ≥+2 ，得4 1≤ pq 若x>1，则0)(log 1 a ≥2恒成立； 所以a 2+22111111 ()()()2[()2][()1]a a a a a a a a a a a -+=+-+-=+-++≥0 即a 2+211 a a a ≥+恒成立； <= a>b 时|a-b|+1 2a b ≥-成立， 当a 12a b ≥-不一定成立，如当a ＝2，b ＝3时，|a-b|+1 1102a b =-=<- 故选C 。 6. 解析：a 26+b 2 3＝1 ，设a ＝6cos θ，a ＝3sin θ，则a+b ＝6cos θ+3sin θ＝3sin （θ+ φ） 所以所求最小值为-3，选C 。 7. 解析：当n 为正偶数时，a ＜2－n 1，2－n 1为增函数，∴a ＜2－21＝2 3。 当n 为正奇数时，－a ＜2+n 1，a ＞－2－n 1。而－2－n 1为增函数，－2－n 1 ＜－2， ∴a ≥－2。故a ∈［－2， 2 3］。答案：A 8. 解析：∵lg a ＞lg b ＞0，∴ 2 1 （lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ? 即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ ab b a >+2 ， ∴2 1 lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R 选B 二. 填空题： 9. 解析：a ＞b ＞c ，（ b a -1+ c b -1）（a －c ）＝（b a -1+c b -1 ）［（a －b ）+（b －c ）］ ≥2 ） ）（（c b b a --1 ·2））（（c b b a --＝4。 ∴ b a -1+ c b -1 ≥c a -4＞c a -3。 答案：“＞” 10. 解析：（用求商比较法）2 )(b a b a ab b a +≥? 11. 解析一：令ab ＝t （t >0）由ab ＝a +b +3≥2ab +3，得t 2≥2t +3 解得t ≥3，即 ab ≥3。故ab ≥9。 解析二：由已知得ab －b ＝a +3，b （a －1）＝a +3，∴b ＝ 1 3 -+a a （a >1） ∴ab ＝a 13-+a a ＝［（a －1）+1］13-+a a ＝a +3+13-+a a ＝a －1+4+14 1-+-a a ＝a －1+ 14-a +5≥21 4 )1(--a a +5＝9。当且仅当a －1＝14-a 时取等号。 即a ＝b ＝3时ab 的最小值为9。所以ab 的取值范围是［9，+∞）。 答案：ab ≥9 12. 解析： ∵b a 1 1<<0 ， ∴b 三. 解答题： 13. 解1：∵1＝ x a +y b ∴x+y ＝1·（x+y ）＝（ x a +y b ）·（x+y ）＝a+b+ay x +xb y ≥（a +b ）2 当且仅当 ay 2＝bx 2时取“＝”号。 解2：设???????==θ θ22 sin cos y b x a θ∈（0，2π），则?????==θθ22csc sec b y a x ∴x+y ＝a （1+tan 2θ）+b （1+cot 2θ）≥a+b+2ab ＝（a +b ）2 （如用柯西不等式，可直接证明： x+y ＝（x+y ）（ x a +y b ）≥（x x a +y y b ）2 ＝（a +b ）2 当然，如下用柯西不等式，则 x+y ＝（x+y ）（ x a +y b ）＝a+b+a x y +b y x ≥a+b+2ab ＝（a +b ）2。 14. 证明：（1）ax + 1-x x ＝a （x －1）+1 1 -x +1+a ≥2a +1+a ＝（a +1）2。 ∵a +1＞b （b ＞0），∴（a +1）2＞b 。 ∴+ ->ax x x b 1 成立。 （2）∵ax +1-x x ＞b 对于大于1的实数x 恒成立，即x ＞1时，［ax +1 -x x ］min ＞b ， 而ax + 1-x x ＝a （x －1）+1 1-x +1+a ≥2a +1+a ＝（a +1）2， 当且仅当a （x －1）＝11 -x ，即x ＝1+a 1＞1时取等号。 故［ax + 1 -x x ］min ＝（a +1）2。 则（a +1）2＞b ，即a +1＞b 。 15. 证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式成立1 21||||1k k p k L x x x x L -+-≤-- 证明：（I ）、对任意]2,1[∈x ，?()2123x x =+， ≤3 3)2(x ?35≤，253133<<<，所以)2,1()2(∈x ? 对任意的]2,1[,21∈x x ， () ()()() 2 323213 2 121211121212 | ||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-??， < 3()()()()323213 2 1112121x x x x ++++++， 所以0< () ()()() 2 3 23 213 2 11121212 x x x x +++++ +3 2 < ， 令 ()()()() 2 323213 2 11121212 x x x x ++++++＝L ，10< |||)2()2(|2121x x L x x -≤-??， 所以A x ∈)(? （II ）反证法：设存在两个000 0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ?=，)2(00x x '='? 则由|)(')||'|??(-≤-220000x x L x x 得|'||'|x x L x x 0000-≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。 （III ）121223)2()2(x x L x x x x -≤-= -??，所以1211x x L x x n n n -≤--+ ()()()k k p k p k p k p k k p k x x x x x x x x -+-+-=-+-+-+-+++1211|| k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤123122x x L x x L p k p k -+--+-++…121x x L k -- 121 1x x L L K --≤- 6.1不等式的概念和性质 〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题. 〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用， 要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 〖双基回顾〗常见的性质有8条： 1、反身性（也叫对称性）：a ＞b ?b ＜a 2、传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c 3、平移性：a ＞b ?a +c ＞b +c 4、伸缩性：???>>0c b a ?ac ＞bc ；???<>0 c b a ?ac ＜bc 5、乘方性：a ＞b ≥0?a n ＞b n （n ∈N ，n ≥2）6、开方性：a ＞b ≥0?n a ＞n b （n ∈N ，n ≥2） 7、叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a +c ＞b +d 8、叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?a ·c ＞b ·d 一、知识点训练： 1、b a b a 11???成立的充要条件为 2、用“＞”“＜”“＝”填空： (1)a 高中数学-不等式的基本性质（一）练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b 专题04 不等式的证明 知识通关 1．基本不等式 （1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么 2 a b ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么 3 3 a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??，当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时，等号成立. 2．柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当 ad=bc 时，等号成立. （2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立. （3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- （4）一般形式的柯西不等式：设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时，等号成立. 3．不等式证明的方法 （1）比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种. 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】 高三数学不等式的基本性质知识点编者按：高考前的第一轮复习正在火热进行中，同学们要利用这些复习的时间强化学习，查字典数学网为大家整理了高三数学不等式的基本性质，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助! 1.不等式的定义：a-b;;b， a-b=0a=b， a-b;;b. ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a;;a (对称性) (2) ab， b;;c (传递性) (3) aba+cb+c (cR) (4) c0时，abacbc c0时，abacbc. 运算性质有： (1) ab， cda+cb+d. (2) a;0， c;0acbd. (3) a;0anbn (nN， n1)。 (4) a;0(nN， n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 总结：查字典数学网整理的高三数学不等式的基本性质知识点帮助同学们复习以前没有学会的数学知识点，请大家认真阅读上面的文章，也祝愿大家都能愉快学习，愉快成长! 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 不等式的基本性质 各位老师，同学： 大家好！ 今天我说课的内容是人教版九年义务教育七年级下册第九章第一课时第二小节《不等式的基本性质》。（板书题目） 接下来我将从教材分析，学情分析，学法教法，教学过程，板书设计五个方面来说说我对本节课的理解与教学设计。 一、教材分析 教材是我们教学活动的主要依据，透彻的了解教材也是上好一节课的关键。首先来说说本节课的教材。 我将从教材的地位与作用，教学目标，教学重点与难点三个方面对本节课的教材进行说明。 （一）教材的地位与作用。 不等式是初中代数的重要内容之一，而不等式的性质又是重中之重。一方面，它是初中阶段最基础、最重要的一个转折；而另一方面，学好不等式的性质能帮助学生从整体认识整式性质与不等式性质的区别；在此基础上，可以使学生对生活中的数学问题有新的认识，从而扩大学生的认知结构。同时，不等式的性质还蕴含着丰富的数学思想和方法。因此这也是前后数学知识衔接的桥梁和纽带。因此学好本节课有着非常重要的作用。 教学目标 根据新课改的要求及教材的特点，我确定了如下的教学目标： 知识目标掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用； 能力目标经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题、解决问题的能力； 情感目标开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。 情感态度与价值观的培养，是学生全面发展的需要，该目标具体到本节课为通过让学生学习用不等式的基本性质解决相关问题获得成功体验，增强学好数学的信心。 教学重点难点 根据教材内容的特点，结合新课程改革的基本要求，我认为本节课的重点是：理解不等式的三个基本性质。 由于在探究的过程中，需要采用类比的方法来得出结论，对学生的抽象思维能力要求较高，但对于七年级的学生而言，其形象思维能力占主导地位，在探究的过程中难免会遇到困难。根据学生的这一特征，我认为本节课的难点为：对不等式的基本性质3的重点认识。 二、学情分析 学生是课堂的主人，只有了解学生才能有针对性的教学。接下来说说学生。 我们知道，现在的学生几乎不存在学不会的情况，而是没有掌握正确的学习 【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明： 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明： 如果0a b >>，那么110a b < <. 【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论： 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ； 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ； 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-， ； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 . 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 第48课时：第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题：不等式的证明（二） 一．复习目标： 1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习： 1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ） () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 ．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析： 例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤． 例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21 211a a =+ +， （1介于1a 与2a 之间； （2）证明：2a 比1a 更接近于3； （3的有理近似值的方法． 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -< ． 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<． 五．课后作业： 1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ） ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ． 《不等式的性质》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若a＜b，则下面可能错误的变形是（） A．6a＜6b B．a+3＜b+4C．ac+3＜bc+3D．﹣ 2．（5分）已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（） A．4a＜4b B．﹣2a+4＜﹣2b+4 C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣4＜3b﹣4 3．（5分）下列式子一定成立的是（） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1） 4．（5分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．2﹣a＜2﹣b D． 5．（5分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（） A．a+7＜b+7B．C．﹣5a＞﹣5b D．9a﹣2＞9b﹣2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是． 7．（5分）已知a＞b，则﹣4a+5﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 8．（5分）若x＞y，则﹣x﹣2﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“＝”）9．（5分）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a2﹣3b．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．（5分）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m， 最小值为n，则m﹣n＝． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？ 12．（10分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围． 13．（10分）根据不等式的基本性质，把﹣2x＜15化成“x＞a”或“x＜a”的形式． 14．（10分）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 15．（10分）根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）10x﹣1＞7x； （2）﹣x＞﹣1． 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时，abacbc c0时，abac 运算性质有： (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。 (4)ab0(nN,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励 高中数学 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x）＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0 )x (G 0 )x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n ) a ...a a (G = 3、算术平均数： n ) a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n ) a ...a a (Q 2 n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2a b b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2高中数学不等式讲义
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