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中考数学圆解析专题

湖北13市州(14套)2012年中考数学试题分类解析汇编

专题11:圆

一、选择题

1. (2012湖北黄石3分)如图所示,扇形AOB 的圆心角为120°,半径为2,则图中阴影

部分的面积为【 】

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A. 43π43

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π-43π D. 43π 【答案】A 。

【考点】扇形面积的计算,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,垂径定理,勾股定理。

【分析】过点O 作OD⊥AB,

∵∠AOB=120°,OA=2,

∴180AOB 180120OAD 3022?-∠?-?∠=

==?。

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∴OD=12OA=12×2=1,AD ===

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∴AB 2AD ==

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∴2AOB OAB 120214S S S 136023

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ππ???=-=-?=扇形影阴A 。 2. (2012湖北黄石3分)如图所示,直线CD 与线段AB 为直径的圆相切于点D ,并交BA

的延长线于

点C ,且AB=2,AD=1,P 点在切线CD 上移动.当∠APB 的度数最大时,则∠ABP 的度数为【 】

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A. 15°

B. 30°

C. 60°

D. 90°

【答案】B 。

【考点】切线的性质,三角形的外角性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】连接BD ,

∵直线CD 与以线段AB 为直径的圆相切于点D ,∴∠ADB=90°。

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∵当∠APB 的度数最大时,点P 和D 重合,∴∠APB=90°。

∵AB=2,AD=1,∴AD 1sin DBP =AB 2

∠=。∴∠ABP=30°。 ∴当∠APB 的度数最大时,∠ABP 的度数为30°。故选B 。

3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6cm ,CD⊥AB 于D ,以C 为圆心,CD 为半径画弧,交BC 于E ,则图中阴影部分的面积为

【 】

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A .34π???cm 2

B .38π???cm 2

C .34π?? ???cm 2

D .38π??- ??

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?cm 2 【答案】A 。

【考点】扇形面积的计算,解直角三角形。

【分析】∵∠A=30°,AC=6cm ,CD⊥AB,

∴∠B=60°,∠BCD=30°,CD=3cm ,,

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∴)()

222BDC CED 13033S BD DC cm S cm 23604ππ???=??=== 扇形,。

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∴阴影部分的面积为:34π???cm 2。故选A 。 4. (2012湖北宜昌3分)已知⊙O 的半径为5,圆心O 到直线l 的距离为3,则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是【 】

A .

B .

C .

D .

【答案】B 。 【考点】直线与圆的位置关系。1419956

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定:①直线l 和⊙O 相交?d <r ;②直线l 和⊙O 相

切?d=r ;③直

线l 和⊙O 相离?d >r (d 为直线与圆的距离,r 为圆的半径)。因此,

∵⊙O 的半径为5,圆心O 到直线l 的距离为3,

∵5>3,即:d <r ,∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交。故选B 。

5. (2012湖北恩施3分)如图,两个同心圆的半径分别为4cm 和5cm ,大圆的一条弦AB 与小圆相切,则弦AB 的长为【 】

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A .3cm

B .4cm

C .6cm

D .8cm

【答案】C 。

【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理。

【分析】如图,连接OC ,AO ,

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∵大圆的一条弦AB 与小圆相切,∴OC⊥AB。∴AC=BC=

12

AB ∵OA=5cm,OC=4cm ,

∴在Rt△AOC 中,AC 3。

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∴AB=2AC=6(cm )。故选C 。

6. (2012湖北咸宁3分)如图,⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2,则图中阴影部分的面积为【 】.

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A .-3π2

B .-32π3

C .-32π2

D .-322π3

【答案】A 。

【考点】正多边形和圆,多边形内角和定理,等边三角形的判定和性质,切线的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,扇形面积。

【分析】∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠AOB=60°。

又∵OA0OB,∴△OAB 是等边三角形,OA=OB=AB=2。

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设点G 为AB 与⊙O 的切点,连接OG ,则OG⊥AB,

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∴2OAB OMN 601S S S 2 23602ππ

???=-=?=扇形影阴。故选A 。

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7. (2012湖北黄冈3分)如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于E ,已知CD=12,则⊙O 的直径为【 】

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A. 8

B. 10

C.16

D.20

【答案】D .

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【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】连接OC ,根据题意,CE=12

CD=6,BE=2. 在Rt△OEC中,设OC=x ,则OE=x-2,∴(x-2)2+62=x 2,解得:x=10。

∴直径AB=20。故选D .

8. (2012湖北随州4分)如图,AB 是⊙O 的直径,若∠BAC=350,则么∠ADC=【 】

A.350

B.550

C.700

D.1100

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【答案】B 。

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。

∵∠BAC=35°,∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°(直角三角形两锐角互余)

∵∠B 与∠ADC 是 AC

所对的圆周角, ∴∠ADC=∠B=55°(同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B 。

9. (2012湖北襄阳3分)△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC 的度数是

【 】

A .80° B.160° C.100° D .80°或100°

【答案】D 。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC 的度数,又由圆的内接四边四边形性质,即可求得∠AB′C 的度数:

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如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=12∠AOC=12

×160°=80°。 ∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。

∴∠ABC 的度数是:80°或100°。故选D 。

15.10. (2012湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°,则∠AOB 的大小是【 】

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A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

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【答案】C 。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA=OB=OC,∴A、B 、C 在以O 为圆心OA 为半径的圆上。

作⊙O。 ∵ ∠ACB 和∠AOB 是同弧 AB 所对的圆周角和圆心角,且∠ACB=30°,

∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质,得∠AOB=60°。故选C 。

二、填空题

1. (2012湖北荆门3分) 如图,在直角坐标系中,四边形OABC 是直角梯形,BC∥OA,⊙P 分别与OA 、OC 、BC 相切于点E 、D 、B ,与AB 交于点F .已知A (2,0),B (1,2),则tan∠FDE= ▲ .

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【答案】12

。 【考点】切线的性质,锐角三角函数的定义,圆周角定理。

【分析】连接PB 、PE .

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∵⊙P 分别与OA 、BC 相切于点E 、B ,∴PB⊥BC,PE⊥OA。

∵BC∥OA,∴B、P 、E 在一条直线上。

∵A(2,0),B (1,2),∴AE=1,BE=2。∴AE 1tan ABE BE 2∠=

=。 ∵∠EDF=∠ABE,∴tan∠FDE=12

。 2. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)平面直角坐标系中,⊙M 的圆心坐标为(0,2),半径为1,点N 在x 轴的正半轴上,如果以点N 为圆心,半径为4的⊙N 与⊙M 相切,则圆心N 的坐标为 ▲ .

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【答案】,00)。

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【考点】相切两圆的性质,坐标与图形性质,勾股定理。

【分析】分别从⊙M 与⊙N 内切或外切去分析:

①⊙M 与⊙N 外切,MN=4+1=5,=,

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∴圆心N 0)。

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②⊙M与⊙N内切,MN=4﹣1=3,=,

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∴圆心N0)。

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综上所述,圆心N00)。

3. (2012湖北咸宁3分)如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量

角器0刻度

线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与量角器的半

圆弧交于点E,第35秒时,点E在量角器上对应的读数是▲ 度.

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【答案】140。

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【考点】圆周角定理。

【分析】连接OE,

∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上,即点C在⊙O上。

∴∠EOA=2∠ECA。

∵∠ECA=2×35°=70°,

∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°,即点E在量角器上对应的读数是140°。

4. (2012湖北孝感3分)把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱,则这个圆

柱的体积是

▲ (结果不取近似值).

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【答案】3000π。

【考点】圆柱的计算。

【分析】∵底面是边长为20cm的正方形,∴其内切圆的半径为10cm。

∴这个圆柱底面积为100πcm2。∴这个圆柱体积为100π×30=3000π(cm3)。

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5. .(2012湖北襄阳3分)如图,从一个直径为dm 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC ,

并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面半径为 ▲ dm .

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【答案】1。

【考点】圆锥的计算,垂径定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458

【分析】如图,作OD⊥AC 于点D ,连接OA ,

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∴∠OAD=30°,AC=2AD ,∴AC=2OA×cos30°=6。

∴ 606BC 2180

ππ??==。 ∴根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得,圆锥的底面圆的半径=2π÷

(2π)=1。

三、解答题

1. (2012湖北武汉8分)在锐角△ABC 中,BC =5,sinA = 4 5

. (1)如图1,求△ABC 外接圆的直径;

(2)如图2,点I 为△ABC 的内心,BA =B C ,求AI 的长。

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【答案】解:(1)作△ABC 的外接圆的直径CD ,连接BD 。

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则∠CBD=900,∠D=∠A。

∴BC 4sin D sin A=CD 5

==。

∵BC=5,∴525

CD=445

=。

∴△ABC 外接圆的直径为25

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4。

(2)连接BI 并延长交AC 于点H ,作IE⊥AB 于点E 。

∵BA=BC,∴BH⊥AC。∴IH=IE。

在Rt△ABH 中,BH=AB·sin∠BDH=4

AH 3=。

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∵ABI AHI ABH S S S ???+=,∴AB

IE AH IH AH B

22 H

2???+= ,即

5I E 3I H

322 4

2?+=。

∵IH=IE,∴3

IH=2。

在Rt△AIH

中,AI =

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【考点】三角形外心和内心的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,角平分线的判定和性质,勾股定理。

【分析】(1)作△ABC 的外接圆的直径CD ,连接BD ,由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900,由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A,从而由已知4

sin A=5,根据锐角三角

函数定义即可求得△ABC 外接圆的直径。

(2)连接BI 并延长交AC 于点H ,作IE⊥AB 于点E ,由三角形内心的性质和角平分线的判定

和性质,知IH=IE 。在Rt△ABH 中,根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3,从而由ABI AHI ABH S S S ???+=求得3

IH=2。在Rt△AIH 中,应用勾股定理求得AI 的长。

2. (2012湖北荆门10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图.已知图中ABCD 为等腰梯形(AB∥DC),支点A 与B 相距8m ,罐底最低点到地面CD 距离为1m .设油罐横截面圆心为O ,半径为5m ,∠D=56°,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)

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【答案】解:如图,连接AO 、BO .过点A 作AE⊥DC 于点E ,过点O 作ON⊥DC 于点N ,ON 交⊙O 于点M ,交AB 于点F .则OF⊥AB.

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∵OA=OB=5m,AB=8m , ∴AF=BF=

12

AB=4(m ),∠AOB=2∠AOF, 在Rt△AOF 中,0AF 4sin AOF===0.8=sin53AO 5∠, ∴∠AOF=53°,∴∠AOB=106°。

∵(m ),由题意得:MN=1m ,∴FN=OM-OF+MN=3

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(m )。

∵四边形ABCD 是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE 。

在Rt△ADE 中,0AE 3tan56=

=DE 2

,∴DE=2m,DC=12m 。 ∴2OAB ABCD OAB 110651S S S S 8123832023602

π???=--=+?--??≈梯形扇形()()()阴(m 2)。 答:U 型槽的横截面积约为20m 2

【考点】解直角三角形的应用,垂径定理,勾股定理,等腰梯形的性质,锐角三角函数定义。

【分析】连接AO 、BO .过点A 作AE⊥DC 于点E ,过点O 作ON⊥DC 于点N ,ON 交⊙O 于点M ,交AB 于点F ,则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF ,再在Rt△AOF 中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB,由勾股定理求出OF ,根据四边形ABCD 是等腰梯形求出AE 的长,再由OAB ABCD OAB S S S S ?=--梯形扇形()阴即可得出结果。

3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 和BD 是它的两条切线,CO 平分∠ACD.

(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若AC=2,BC=3,求AB 的长.

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【答案】(1)证明:过O点作OE⊥CD,垂足为E,

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∵AC是切线,∴OA⊥AC。

∵CO平分∠ACD,OE⊥CD,∴∠ACO=∠ECO,∠CAO=∠CEO,

又∵OC=OC,∴△ACO≌△ECO(AAS)。∴OA=OE。

∴CD是⊙O的切线。

(2)解:过C点作CF⊥BD,垂足为F,

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∵AC,CD,BD都是切线,∴AC=CE=2,BD=DE=3。

∴CD=CE+DE=5。

∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°,∴四边形ABFC是矩形。

∴BF=AC=2,DF=BD﹣BF=1。

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在Rt△CDF中,CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24

【考点】切线的判定与性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,勾股定理。【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E,通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DF⊥BC于点F,根据切线的性质可得出DC的长度,从而在Rt△DFC 中利用勾股定理可得出DF的长,可得出AB的长度。

4. (2012湖北宜昌8分)如图,△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形,圆心O在边AB上,边AD分别与BC,OC交于E,F两点,点C为 AD的中点.

(1)求证:OF∥BD;

(2)若FE1

ED2

,且⊙O的半径R=6cm.

①求证:点F为线段OC的中点;

②求图中阴影部分(弓形)的面积.

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【答案】(1)证明:∵OC 为半径,点C 为 AD

的中点,∴OC⊥AD。 ∵AB 为直径,∴∠BDA=90°,BD⊥AD。∴OF∥BD。

(2)①证明:∵点O 为AB 的中点,点F 为AD 的中点,∴OF=

12BD 。 ∵FC∥BD,∴∠FCE=∠DBE 。

∵∠FEC=∠DEB,∴△ECF∽△EBD, ∴FC FE 1BD ED 2

==,∴FC=12BD 。 ∴FC=FO,即点F 为线段OC 的中点。

②解:∵FC=FO,OC⊥AD,∴AC=AO,

又∵AO=CO,∴△AOC 为等边三角形。

∴根据锐角三角函数定义,得△AOC 的高为2

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∴26061S 63602

ππ??=-??-阴cm 2)。

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答:图中阴影部分(弓形)的面积为6π-2

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【考点】圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,三角形中位线的性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积的计算。

【分析】(1)由垂径定理可知OC⊥AD,由圆周角定理可知BD⊥AD,从而证明OF∥BD。

(2)①由OF∥BD 可证△ECF∽△EBD,利用相似比证明BD=2CF ,再证OF 为△ABD

的中位线,得出BD=2OF ,即CF=OF ,证明点F 为线段OC 的中点;

②根据S 阴=S 扇形AOC ﹣S △AOC ,求面积。

5. (2012湖北恩施12分)如图,AB 是⊙O 的弦,D 为OA 半径的中点,过D 作CD⊥OA 交弦AB 于点E ,交⊙O 于点F ,且CE=CB .

(1)求证:BC 是⊙O 的切线;

(2)连接AF ,BF ,求∠ABF 的度数;

(3)如果CD=15,BE=10,sinA=

5

13

,求⊙O的半径.

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【答案】解:(1)证明:连接OB,

∵OB=OA,CE=CB,

∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA,

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切线。

(2)连接OF,AF,BF,

∵DA=DO,CD⊥OA,

∴△OAF是等边三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF=1

2

∠AOF=30°。

(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,

∴EG=1

2

BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE,

∴sin∠ECG=sin∠A=

5 13

EG5

CE==13

5

sin ECG

13

=

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∴CG12 ==。又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,

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由Rt△ADE∽Rt△CGE 得

AD DE CG GE =,即AD 2125=,解得24AD 5=。 ∴⊙O 的半径为2AD=485

。 【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。

【分析】(1)连接OB ,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC 是⊙O 的切线。

(2)连接OF ,AF ,BF ,首先证明△OAF 是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF 的度数。

(3)过点C 作CG⊥BE 于点G ,由CE=CB ,可求出EG=12

BE=5,由Rt△ADE∽Rt△CGE 和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽Rt△CGE 求出AD 的长,从而求出⊙O 的半径。

6. (2012湖北咸宁9分)如图,AB 是⊙O 的直径,点E 是AB 上的一点,CD 是过E 点的弦,过点B 的切线交AC 的延长线于点F ,BF∥CD,连接BC .

(1)已知AB=18,BC=6,求弦CD 的长;

(2)连接BD ,如果四边形BDCF 为平行四边形,则点E 位于AB 的什么位置?试说明理

由.

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【答案】解:(1)∵BF 与⊙O 相切,∴BF⊥AB。

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又∵BF∥CD,∴CD⊥AB。

又∵AB 是直径,∴CE=ED。

连接CO ,设OE=x ,则BE=9-x 。

由勾股定理得:22222CO OE BC BE CE -=-=,

即22229x 6(9x)-=--,解得x 7=。

∴CD ===

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(2)∵四边形BDCF 为平行四边形,∴BF=CD。 而1CE ED CD 2==,∴1CE BF 2

=。

∵BF∥C D , ∴△AEC∽△ABF。∴AE EC 1AB BF 2

==。∴点E 是AB 的中点。 【考点】切线的性质,垂径定理,勾股定理,平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由BF 与⊙O 相切,根据切线的性质,可得BF⊥AB,又由BF∥CD,易得CD⊥AB,由垂径定理即可求得CE=DE ,然后连接CO ,设OE=x ,则BE=9-x ,由勾股定理即可求得OE 的长,从而求得CD 的长。

(2)由四边形BDCF 为平行四边形,根据平行四边形的性质,即可CD=BF ,又由△AEC∽△ABF,即可求得点E 是AB 的中点。

7. (2012湖北荆州9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图.已知图中ABCD 为等腰梯形(AB∥DC),支点A 与B 相距8m ,罐底最低点到地面CD 距离为1m .设油罐横截面圆心为O ,半径为5m ,∠D=56°,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)

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【答案】解:如图,连接AO 、BO .过点A 作AE⊥DC 于点E ,过点O 作ON⊥DC 于点N ,ON 交⊙O 于点M ,交AB 于点F .则OF⊥AB.

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∵OA=OB=5m ,AB=8m , ∴AF=BF=

12

AB=4(m ),∠AOB=2∠AOF, 在Rt△AOF 中,0AF 4sin AOF===0.8=sin53AO 5∠, ∴∠AOF=53°,∴∠AOB=106°。

∵(m ),由题意得:MN=1m ,∴FN=OM-OF+MN=3

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(m )。

∵四边形ABCD 是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE 。

在Rt△ADE 中,0AE 3tan56=

=DE 2

,∴DE=2m,DC=12m 。 ∴2OAB ABCD OAB 110651S S S S 8123832023602

π???=--=+?--??≈梯形扇形()()()阴(m 2)。 答:U 型槽的横截面积约为20m 2

【考点】解直角三角形的应用,垂径定理,勾股定理,等腰梯形的性质,锐角三角函数定义。

【分析】连接AO 、BO .过点A 作AE⊥DC 于点E ,过点O 作ON⊥DC 于点N ,ON 交⊙O 于点M ,交AB 于点F ,则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF ,再在Rt△AOF 中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB,由勾股定理求出OF ,根据四边形ABCD 是等腰梯形求出AE 的长,再由

OAB ABCD OAB S S S S ?=--梯形扇形()阴即可得出结果。

8. (2012湖北荆州12分)如图甲,四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴

上,顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ,交y 轴于点E ,连接AB 、AE 、BE .已知tan∠CBE=13

,A (3,0),D (﹣1,0),E (0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标;

(2)求证:CB 是△ABE 外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ,使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0<t≤3)时,△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ,求s 与t 之间的函数关系式,并指出t 的取值范围.

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【答案】解:(1)∵抛物线经过点A (3,0),D (﹣1,0),∴设抛物线解析式为y=a (x ﹣3)(x+1)。

将E (0,3)代入上式,解得:a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=-(x ﹣3)(x+1),即y=﹣x 2

+2x+3。

又∵y=-x 2+2x+3=-(x -1)2+4,∴点B (1,4)。

(2)证明:如图1,过点B 作BM⊥y 于点M ,则M (0,4).

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在Rt△AOE 中,OA=OE=3,

∴∠1=∠2=45°,

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在Rt△EMB 中,EM=OM ﹣OE=1=BM ,

∴∠MEB=∠MBE=45°,。

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∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。

∴AB 是△ABE 外接圆的直径。

在Rt△ABE 中,BE 1tan BAE=

==tan CBE AE 3

∠∠,∴∠BAE=∠CBE。

在Rt△ABE 中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°,即

CB⊥AB。

∴CB 是△ABE 外接圆的切线。 (3)存在。点P 的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,﹣13

)。 (4)设直线AB 的解析式为y=kx+b .

将A (3,0),B (1,4)代入,得3k+b=0k+b=4???,解得k=2b=6-???

。 ∴直线AB 的解析式为y=﹣2x+6。

过点E 作射线EF∥x 轴交AB 于点F ,当y=3时,得x=

32,∴F(32,3)。 情况一:如图2,当0<t≤

32时,设△AOE 平移到△DNM 的位置,MD 交AB 于点H ,MN 交AE 于点G 。

则ON=AD=t ,过点H 作LK⊥x 轴于点K ,交EF 于点L . 由△AHD∽△FHM,得AD HK =FM HL ,即t HK =33HK t 2

--,解得HK=2t 。 ∴MND GNA HAD S S S S ???=--阴 =

12×3×3﹣12(3﹣t )2﹣12t?2t=﹣32

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t 2+3t 。 情况二:如图3,当12<t≤3时,设△AOE 平移到△PQR 的位置,PQ 交AB 于点I ,交AE 于点V 。 由△IQA∽△IPF,得AQ IQ =FP IP .即3t IQ =33IQ t 2

---, 解得IQ=2(3﹣t )。

∴IQA VQA S S S ??=-阴 =

12×(3﹣t )×2(3﹣t )﹣12(3﹣t )2=12(3﹣t )2=12t 2﹣3t+92

。 综上所述:2233 t +3t(0t )22s=193 t 3t+ (t 3) 222<

【分析】(1)已知A 、D 、E 三点的坐标,利用待定系数法可确定抛物线的解析式,从而能得到顶点B 的坐标。

(2)过B 作BM⊥y 轴于M ,由A 、B 、E 三点坐标,可判断出△BME、△AOE 都为等腰直角三角形,易证得∠BEA=90°,即△ABE 是直角三角形,而AB 是△ABE 外接圆的直径,因此只需证明AB 与CB 垂直即可.BE 、AE 长易得,能求出tan∠BAE 的值,结合tan∠CBE 的值,可得到∠CBE=∠BAE,由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°,从而得证。

(3)在Rt△ABE 中,∠AEB=90°,tan∠BAE=13

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。 若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,则△DEP 必为直角三角形。

①DE 为斜边时,P 1在x 轴上,此时P 1与O 重合。

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由D (﹣1,0)、E (0,3),得OD=1、OE=3,

即tan∠DEO=13

=tan∠BAE, 即∠DEO=∠BAE,满足△DEO∽△BAE 的条件。

因此 O 点是符合条件的P 1点,坐标为(0,0)。

②DE 为短直角边时,P 2在x 轴上。

若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似

∠DEP 2=∠AEB=90°sin∠DP 2

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。 而

,则DP 2=DE÷sin∠DP 2

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=10,OP 2=DP 2﹣OD=9。 即P 2(9,0)。

③DE 为长直角边时,点P 3在y 轴上。

若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,

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则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3。

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则EP3=DE÷cos∠DEP3÷

10

=

103

,OP3=EP3﹣OE=

1

3

。即P3(0,﹣

1

3

)。

综上所述,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣1

3)。

(4)过E作EF∥x轴交AB于F,当E点运动在EF之间时,△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时,△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

9. (2012湖北黄冈8分)如图,在△ABC 中,BA=BC,以AB 为直径作半圆⊙O,交AC 于点

D.连结DB,

过点D 作DE⊥BC,垂足为点E.

(1)求证:DE 为⊙O 的切线;

(2)求证:DB2=AB·BE.

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【答案】证明:(1)连接OD、BD,则∠ADB=90°(圆周角定理),

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∵BA=BC,∴CD=AD(三线合一)。

又∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线。

∴OD∥BC。

∵∠DEB=90°,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE。

∴DE为⊙O的切线。

(2)∵∠BED=∠BDC =900,∠EBD=∠DBC,

∴△BED∽△BDC,∴BD BE BC BD

=。

又∵AB=BC,∴BD BE

AB BD

=。∴BD2=AB?B E。

【考点】切线的判定和性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形中位线的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD、BD,根据圆周角定理可得∠ADB=90°,从而得出点D是AC中点,判断出OD是△ABC的中位线,利用中位线的性质得出∠ODE=90°,这样可判断出结论。

(2)根据题意可判断△BED∽△BDC,从而可得BD2=BC?BE,将BC替换成AB即可得出