当前位置：文档库 › 2020-2021初中数学方程与不等式之二元二次方程组单元汇编含答案解析(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之二元二次方程组单元汇编含答案解析(1)

一、选择题

1．解方程组：2226691x y x xy y +=??-+=?

．【答案】14

11x y =?=??，2216575x y ?=????=??

．【解析】

【分析】

先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=??-=?

，2631,x y x y +=??-=-?

最后分别解这两个方程组即可．【详解】

解：2226691,x y x xy y +=?

?-+=?①② 由②得：(x-3y)2=1，

x-3y=1或x-3y=-1，

所以原方程组变为：2631x y x y +=??-=?，2631,x y x y +=??-=-?

解这两个方程组得：41x y =??=?，16575x y ?=????=??

所以原方程组的解为14

11x y =?=??，2216575x y ?=????=??

．【点睛】

此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．

2．解方程组：22229024x y x xy y ?-=?-+=?

【答案】113212x y ?=????=-??，223212x y ?=-????=??

，3331x y =??=?，4431x y =-??=-? 【解析】

【分析】

将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ?-+??---+??

＝＝，所以有3020x y x y -??--?＝＝，3020x y x y -??-+?＝＝，3020x y x y +??--?＝＝，3020x y x y +??-+?

＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．

【详解】

原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ?-+??---+??

＝＝，原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -??--?＝＝，3020x y x y -??-+?＝＝，3020

x y x y +??--?＝＝，3020

x y x y +??-+?＝＝，解这四个方程组为：113212x y ?=????=-??，223212x y ?=-????=??

，3331x y =??=?，4431x y =-??=-?. 故答案为113212x y ?=????=-??，223212x y ?=-????=??

，3331x y =??=?，4431x y =-??=-?.

3．解方程组221444y x x xy y =+??-+=?

【答案】1143x y =-??

=-?，2201x y =??=? 【解析】

【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.

【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+??-+=?

由②得，()224x y -= ③，

把①代入③，得

()2

214x x ??-+=??，

即：()224x +=，

所以，x+2=2或x+2=-2

所以，x 1=-4,x 2=0,

把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.

所以，方程组的解是 1143x y =-??=-?，22

01x y =??=? 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.

4．解方程组

【答案】原方程组的解为：，【解析】

【分析】

把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.

【详解】解：

把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，

x 2+4x =0，

解得：x =-4或x =0，

当x =-4时，y =-3，

当x =0时，y =1，所以原方程组的解为：，．故答案为：，．【点睛】

本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.

5．解方程组：222920x xy y x y ?++=?--=?

．【答案】5212x y ?=????=??或1252x x ?=-????=-??

【解析】

【分析】

先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．

【详解】

22291202x xy y x y （）（）?++=?--=?

，由（1）得出x+y=3，x+y=-3，

故有32x y I x y +=??-=?或x+y=-3II x-y=2???

解得：5212x y ?=????=??或1252x x ?=-????=-??

原方程组的解是5212x y ?=????=??或1252x x ?=-????=-??

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．

6．222102520x y x xy y +-=??-+=?

【答案】111412x y ?=????=??，222515x y ?=????=??

. 【解析】

【分析】

首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.

【详解】

222102520x y x xy y +-=??-+=?

①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=

∴方程组可化为两个新方程组：

21020x y x y +-=??-=?，21020x y x y +-=??-=?

∴方程组的解为：

111412x y ?=????=??，222515x y ?=????=??

. 【点睛】

此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.

7．解方程组：2263100x y x xy y -=??+-=?

【答案】11126x y =??=?，11

51x y =??=-? 【解析】

【分析】

先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．

【详解】

解：226

3100x y x xy y -=??+-=?

由②得：()()250x y x y -+=

原方程组可化为620x y x y -=??-=?或650x y x y -=??+=?

，解得：11126x y =??=?，11

51x y =??=-?． ∴原方程组的解为11126x y =??

=?，11

51x y =??=-?. 【点睛】

本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．

8．解方程:22310x y x y ?-=-?++=?

【答案】12x y =??=-?

【解析】

【分析】

本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．

【详解】

解：()()

2231102x y x y ?-=-??++=?? 由（2）得：1x y =--（3）

把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-

∴2y =-

∴1x =

原方程组的解是12x y =??=-?

【点睛】

本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．

9．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?

【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元

【解析】

【分析】

根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．

【详解】

解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.

根据题意，可列方程组

()()4001012000120004000x y xy ?-+=?=+?

解得：1212

800800,2020x x y y ==-????==-??(舍去)，答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．

【点睛】

本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

10．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.

【答案】12cm 、16cm 、20cm.

【解析】

【分析】

设两直角边为a 、b

+1=962

a b ab ?????求解即可．

【详解】

设该直角三角形的两条直角边为a 、b

+1=962

a b ab ????? 解得=12=16a b ???或=16=12a b ???

，经检验，=12=16a b ???和=16=12

a b ???

cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.

【点睛】此题运用三角形面积表示出1=962

11．解方程组：

222(1)20

(2)x y x xy y -=??--=? 【答案】1212

14,12x x y y ==???

?=-=?? 【解析】

【分析】先由②得x ＋y ＝0或x?2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=?

，然后解这两个方程组即可．

【详解】

222(1)20(2)x y x xy y -=??--=?

，由②得：（x ＋y ）（x?2y ）＝0，

x ＋y ＝0或x?2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=?

，解得：1212

1412x x y y ==????=-=??，.

【点睛】

此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．

12．解方程组： 2223412916

x y x xy y -=??-+=?．【答案】121

2117,210x x y y ?=-=-????=-=-??? 【解析】

【分析】

根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可

【详解】

2223412916x y x xy y -=??-+=?

①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，

2x ﹣3y ＝±4，

即原方程组化为23234x y x y -=??-=?和23234

x y x y -=??-=-?，解得： 121

2117,210x x y y ?=-=-????=-=-???，即原方程组的解为：121

2117,210x x y y ?=-=-????=-=-???．【点睛】

本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组

13．已知()22

221(0)0,0x y a b a b x my n m n ?+=>>?????=+≠≠???

①② 求证：()()

2222222220a b m y mnb y n a b +++-=．【答案】详见解析

【解析】

【分析】

先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．

【详解】

证明：把②代入①，得

22()1my n y a b

++=， ()

222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，

222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()

2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．

【点睛】

本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．

14．(

)()22244922120x xy y x y x y ?-+=??+-+-=?? 【答案】117214x y ?=????=??，22032x y =???=-??，331274x y ?=????=??

，4430x y =-??=? 【解析】

【分析】

由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．

【详解】

解：()()22244922120x xy y x y x y ?-+=??+-+-=??①

②

将①因式分解得：2(2)9x y -=，

∴23x y -=或23x y -=-

将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=

∴240x y +-=或230x y ++=

∴原方程化为：23240x y x y -=??+-=?或23230x y x y -=??++=?或23240x y x y -=-??+-=?或23230x y x y -=-??++=?

解上述方程组得：117214x y ?=????=??，22032x y =???=-??，331274x y ?=????=??

，4430x y =-??=? ∴原方程组的解为：117214x y ?=????=??，22032x y =???=-??，331274x y ?=????=??

，4430x y =-??=?

【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．

15．解方程组：226,320.

x y x xy y +=??-+=? 【答案】114,2;

x y =??=?22

3,3.x y =??=? 【解析】

【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．

【详解】

将方程22

320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=??-=?或6,0.x y x y +=??-=?

解这两个方程组得114,2;x y =??=? 22

3,3.x y =??=? 所以原方程组的解是114,2;x y =??=? 22

3,3.x y =??=? 【点睛】

本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．

16．解方程组22()()08x y x y x y +-=??+=?

【答案】1122x y =??=-?; 2222x y =-??=?；33

22x y =??=?；4422x y =??=?. 【解析】

试题分析：方程整理为：2208x y x y +=??+=? 或2208x y x y -=??+=?

解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=??+=? 或2208x y x y -=??+=?

解得1122x y =??=-?，2222x y =-??=? ，33

22x y =??=?，4422x y =-??=-?.

17．（探究证明）

(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，

H.，求证：=EF AD GH AB ；（结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM

；（联系拓展）

(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM

的值．

【答案】（1）证明见解析；(2)11 15；（3）

45. 【解析】

分析：(1)过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ，根据矩形的性质证明△PDA ∽△QAB ；(2)根据(1)的结论可得BN AM

；(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于R ，交BC 的延长线与S ，SC ＝x ，DS ＝y ，在Rt △CSD ，Rt △ARD 中，用勾股定理列方程组求出AR ，AB ，结合(1)的结论求解.

详解：(1)如图1，过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ．

∴四边形AEFP ，四边形BHGQ 都是平行四边形，

∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．

又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠QAT ＋∠AQT ＝90°．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠DAB ＝∠D ＝90°，∴∠DAP ＋∠DPA ＝90°，

∴∠AQT ＝∠DPA .∴△PDA ∽△QAB .

∴AP AD BQ AB ＝，∴EF AD GH AB

＝.

(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，

∴由(1)的结论可得EF AD

GH AB

＝，

BN AD

＝，

∴

BN EF

AM GH

＝＝.

(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC＝90°，∴?ABSR是矩形，

∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．

∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得

DN AR

AM AB

＝．

设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，

在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，

由②﹣①得x＝2y﹣5③，

2225

x y

＋＝

＝

，解得

＝

，

＝

(舍)，

所以AR＝5＋x＝8，则

105

DN AR

AM AB

＝＝＝.

点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.

18．解方程组：

444

{

x xy y

x y

-+=

++=

①

②

．

【答案】1

{

，

{

．

【解析】

试题分析：由①得出x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．

试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．

原方程可化为：22

{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-．解得，原方程的解是110

{1x y ==-，2243{13x y =-=．

考点：高次方程．

19．解方程：

【答案】

【解析】解：原方程组即为

···································· （2分）

由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分）

解得，

························································ （2分）代人得

20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②

【答案】11613

13x y =

,221{1

x y ==. 【解析】

【分析】

先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.

【详解】

解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0

得x+6y=0或x ﹣y=0

将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=??-=?或（Ⅱ）021

x y x y -=??-=? 解方程组（Ⅰ）613113x y ?=????=-??

，解方程组（Ⅱ）11x y =??=?，所以原方程组的解是11613113x y ?=????=-??

,2211x y =??=?．故答案为11613113x y ?=????=-??

,2211

x y =??=?. 【点睛】

此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.

二元一次方程组计算题50道(答案)

.. 中考真题 50 道中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知，则a+b 等于（） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x ≤1，则1≤y ≤4．其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江）请写出一个二元一次方程组，使它的解是． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 1 ．

7．（2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在第象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为． 9.（2012?广州）解方程组． 10．（2012广东）解方程组：． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：???==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是 A ．0 12 x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．11x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法二次方程组的基本思想和方法方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。程组的解法元法（即代入法）二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；元二次方程，求得一个未知数的值；的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。与系数的关系二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。

程组的解法中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。析：例1．解方程组观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。

初中数学中的解方程.doc

代数部分第三章：方程和方程组基础知识点：一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程 1、一元一次方程（ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0）（ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0）（ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。（ 4）一元一次方程有唯一的一个解。例题：.解方程：（ 1） 1 x 1 x 2 x 1 x x 3 3 （ 2） 3 2 2 解：解：（ 3）【05 湘潭】关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m= 。 2、一元二次方程（）一般形式： 2 bx c 0 a 1 ax （ 2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式 ax 2 bx c 0 a 0 x bb 2 4ac b 2 4ac 0 2a 错误 !未找到引用源。、解下列方程：（ 1） x 2 －2x ＝ 0；（2）45－x 2＝0；（ 3） (1－3x)2＝1；（ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0；（6）x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2 －6x －3＝0；（8）3（x － 5） 2 ＝2（5－x ）解：错误 !未找到引用源。填空：（ 1） x 2 ＋6x ＋（）＝（ x ＋）2 ；（ 2） x 2 －8x ＋（）＝（ x －）2 ；（ 3） x 2 ＋ 3 x ＋（）＝（＋）2 x 2

人教版初中数学方程与不等式之无理方程知识点复习

人教版初中数学方程与不等式之无理方程知识点复习一、选择题 1．方程20x x -=的解是___________。【答案】x=0或x=4 【解析】【分析】将原式两边开方再求解即可. 【详解】移项得2x x =，两边平方得24x x =，解得x=0或x=4，检验知x=0或x=4. 【点睛】本题考查了无理方程，利用平方将方程转化整式方程. 2．方程的解为．【答案】3．【解析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值．解：两边平方得：2x+3=x 2 ∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解．故答案为3． 3．方程2 =x ﹣6的根是______．【答案】x=12．【解析】两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x ﹣3≥0验证得出答案即可．解：2=x ﹣6 4（x ﹣3）=x 2﹣12x+36 整理得x 2﹣16x+48=0 解得：x 1=4，x 2=12 代入x ﹣3＞0，当x=4时，等式右边为负数，所以原方程的解为x=12．故答案为：x=12． 4．方程1x -______．【答案】1x = 【解析】

【分析】两边平方解答即可．【详解】原方程可化为：（x-1）2=1-x，解得：x1=0，x2=1，经检验，x=0不是原方程的解， x=1是原方程的解 x=．故答案为1 【点睛】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验． 5．0 =的解是_______________ 【答案】x=2 【解析】【分析】由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案. 【详解】 =， =， ∴x=3或x=2，检验：当x=3时，2-x<0x=3舍去， ∴x=2，故答案为x=2. 【点睛】本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 6．x =-的解________ x=- 【答案】2 【解析】【分析】两边平方后解此无理方程可得. 【详解】解：两边同时平方可得：2-x=x2, 解得：x1=-2，x2=1，检验得x2=1不是方程的根， a=-，故1 a=- 故答案为1 【点睛】

【初中】初中数学方程的解法及应用

【关键字】初中第7讲方程组的解法及应用 ◆考点链接 1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义． 2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组． 3．会解简单的三元一次方程组．＊4．会解简单的二元二次方程组． 5．能利用方程组解应用题．注：标有“＊”号的是选讲内容． ◆典例精析【例题1】已知的解，求a，b的值．解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．答案：a=2，b=－3 【例题2】解方程组：（1）解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x．答案：（1）【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．解：由原方程组得，解得

4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：?已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的．问：（1）公司共改装了多少辆出租车？?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键．解：设公司第一次改装了y辆出租车，?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．（2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125．答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本．【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，?请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得040时，由题意，得（不合题意，舍去）（3）当20

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练一、选择题 1．如果关于x 的不等式组232x a x a >+?? <-?无解，则a 的取值范围是（） A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．a≥2 D ．a≤2 【答案】D 【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可．【详解】 ∵不等式组232x a x a +?? -?＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2．故选D ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键． 2．若a b <，则下列变形错误的是（） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴1122 a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误，故选：D. 【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8

二元一次不等式(组)和平面区域讲课教案

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域董燕【教学目标】 1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域. 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。【教学重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式（组）表示的平面区域。【教学难点】如何确定不等式0( Ax By C ++>或<0)表示0 Ax By C ++=的哪一侧区域. 【教学过程】一．创设情境，引出问题在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。（板书课题）现看一个实际例子：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？ 2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？ 3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？把实际问题转化数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言转化符号语言）（资金总数为25 000 000元）?25000000 x y +≤ （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y30000 ≥即12103000000 x y +≥ （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?0,0 x y ≥≥ （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： 25000000 12103000000 0,0 x y x y x y +≤ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? 二．新课解读（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集: 1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。 2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法: 1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？是数轴上的区间。 2.探究: 问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？

初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案

初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案一、选择题 1．有一下式子：①0x =；②325+=；③14x =；④29x =；⑤23=x x ；⑥34x -；⑦2(1)2x +=；⑧20x y +=．其中是一元一次方程的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】【分析】我们将只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程称之为一元一次方程，据此进一步判断即可. 【详解】 ①0x =，满足定义，是一元一次方程； ②325+=，未含有未知数，故不是一元一次方程； ③14x =，分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ④29x =，未知数次数为2，故不是一元一次方程； ⑤23=x x ，满足定义，故是一元一次方程； ⑥34x -，不是等式，故不是一元一次方程； ⑦2(1)2x +=，满足定义，故是一元一次方程； ⑧20x y +=，含有两个未知数，故不是一元一次方程；综上所述，一共有3个一元一次方程，故选：B. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的判断，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．方程2﹣24736 x x --=-去分母得（） A ．2﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） B ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣x ﹣7 C ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） D ．以上答案均不对【答案】C 【解析】【分析】两边同时乘以6即可得解. 【详解】解方程：247236 x x --- =- 去分母得：122(24)(7)x x --=--.

故选C. 【点睛】本题考查了解一元一次方程的去分母，两边乘以同一个数时要注意整数也要乘以这个数. 3．某书店推出一种优惠卡，每张卡售价为50元，凭卡购书可享受8折优惠，小明同学到该书店购书，他先买购书卡再凭卡付款，结果省了10元。若此次小明不买卡直接购书，则他需要付款（） A．380元B．360元C．340元D．300元【答案】D 【解析】【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．【详解】解：设小明同学不买卡直接购书需付款是x元，则有：50+0.8x=x-10 解得：x=300 即：小明同学不凭卡购书要付款300元．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 4．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（） A．4x－5=3(x－5) B．4x+5=3(x+5) C．3x+5=4(x+5) D．3x－5=4(x－5) 【答案】D 【解析】【分析】设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，根据5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得： 3x﹣5=4（x﹣5）．故选D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

二元一次不等式(组)与简单线性规划问题教案

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课标要求与教材分析： 1．课标要求： ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．教材分析：本单元包含两节，3.3.1主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集，3.3.2主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。其中 3.3.1是解决二元线性规划问题的基础，应作为本单元的重点要求所有学生掌握。学情分析：在初中，学生已学过一元一次不等式组的的解法，学生普遍具有利用不等式组解决问题的思想，能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题，这用利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等式组解法。在必修2中，学生已学习了直线方程的有关知识，多数学生能画出二元一次方程表示的直线，这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集，也有利于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。教案目标： 1．.知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想，数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标：通过解决线性规划实际问题，使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作用，增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教案目标: 1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。教案重点与难点: 重点：求二元一次不等式表示的平面区域。难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。教案方法与手段:

初中数学中的解方程

基础知识点：一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程 1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。（4）一元一次方程有唯一的一个解。例题：.解方程：（1）（2）（3）关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。 2、一元二次方程（1）一般形式：（2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法求根公式、解下列方程：（1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0 (7 )2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系当时有两个不相等的实数根，当时有两个相等的实数根当时没有实数根。当△≥0时有两个实数根 1、解下列方程：（1）；（2）；（3） 2、解下列方程：（1）；（2） 3．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足 ( ) A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1 4.关于的一元二次方程根的情况是（）（A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情况无法判定 5.已知关于x的方程：有两个相等的实数根，求p的值。

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案一、选择题 1．若关于x 的不等式组21x x a -?无解，则a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a <- C ．3a > D ．3a ≥ 【答案】D 【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a -? 无解， ∴a-1≥2, ∴a ≥3. 故选:D. 【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】 2x + ∴被开方数x+2为非负数， ∴x+2≥0，解得：x≥-2. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.

3．若关于x 的不等式6234 x x a x x +<+???+>??有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．15＜a ≤18 B ．5＜a ≤6 C ．15≤a ＜18 D ．15≤a ≤18 【答案】A 【解析】【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可．【详解】解不等式组得：23x a x >???

初中数学知识点总结：方程与不等式

初中数学知识点总结：方程与不等式 1、方程与方程组一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解