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渗透极限思想优化解题过程

https://www.wendangku.net/doc/5a12714754.html, 山东苟玉德董玉武

1 寻求极限位置实现估算与精算结合

[题1] 过抛物线2

(0)y ax a =>的焦点F 作一直交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别为

，则1

q +

等于

A ，2a

B ，1

2a C ，4a D ，4

a [题2] 已知长方形的四个顶点A （0,0）,B （2,0）, C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB 的中点0

P 沿与AB 夹

角为θ的方向射到BC 上的点1

P 后，依次反射到CD ，

DA 和AB 上的点2

P ，

P 和

P （入射角等于反射角），

设

P 坐标为（

4,0)

x ，若

412

x <<，则tan θ的取值范围是

A ，1

(,1)3 B ，12(,)33 C ，21(,52 D ，22(,53

2 考查极限图形简化计算

[题3] 在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

A ，2(,)n n

ππ- B ，1(

,)n n

ππ- C ，

(0,

2π

D ，

21(

)

n n n

ππ--

3 分析极限状态探索解题思路 [题4] 已知抛物线方程为

2(0)

y px p =>.

求证：在x 轴正方向上必存在一点M ，使得对于抛物线上

任意一条过M 的弦PQ 均有2

M P M Q +

为定值.

4 巧取极限无限与有限的统一

[题5] 设数列{}

n a 满足

11,1,2,3,.

n n n a a na n +=-+=???

（I ）当

a =时，求

234

,,a a a ，并由此猜想出

a 的一个通项公式；

（II ）当

a ≥时，证明对所有的1n ≥，有

（i ）

n a n ≥+；（ii ）

1111112

a a a +

+???+

≤+++.

5 参考答案：

[题1] 将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽然它不能再是抛物线的弦了，但它是弦的一种极限情形，由QF p =O F =

4a ，而,PF q =→+∞所以1

14a

p q

→，故选C.

[题2] 令

x →，不妨令

P 与

P 重合，依据入射角等于反射角，知

123

,,P P P 均为各边

中点，此时

tan 2θ=

，观察四个选项，只能选C.

[题3] 当底面的高0→时，相邻两侧面所成的二面角→π；

当底面的高→+∞时，相邻两侧面所成的二面角→正n 边形的内角

n n

-；故选A. [题4] 当PQ x ⊥轴时，设00000(,0),(,),(,)M x P x y Q x y -，得

1M P M Q +

1121y y y px =

；当点Q 与o 重合，P P ∞

→（假想的无穷远点）时，则

M P →+∞

，2

M P

M Q

1x →

，它应该也是定值，且

px 2

1x =，由此可得

0x p

=，于是可猜想过定点(,0)M p ，下面设法证明之即可.

[题5] 下面只证（II ）中的（ii ），其它留给读者. （ii ）由（II ）（i ）可知

121

k k a a +≥+，即

112(1),1

k k a a k ++≥+≥

所以

11111212

k k

k a a a a +-≤?

≤?

≤

++++.

于是

1 12111 11111111 11112121

a a a a a a

-++???+≤+?+???+?

++++++

111

11121221

(1)lim

122121312

n k

a a a

-→∞

++???+≤?=≤=

++++.

（柯正摘改自《数学通报》2006年第3期）

中值定理解题与求极限方法

例1 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可微，且0)(≠'x g 。证明至少有一点 ()b a ,∈ξ使得： ) () ()()()()(ξξξξg f g b g a f f ''=--。 [分析]：要证的等式即为：)]()()[()()]()([ξξξξg b g f g a f f -'='-，即 0])()()()()()([='--=ξx b g x f x g a f x g x f 记 )()()()()()()(b g x f x g a f x g x f x F --=，则这个)(x F 可用作证明此题的辅助函数。 [证明]：作辅助函数)()()()()()()(b g x f x g a f x g x f x F --=，则 )(),(x g x f 在],[b a 上连续、在),(b a 内可微， )(x F ∴在],[b a 上连续、在),(b a 内可微，且)()()()(b g a f b F a F -==。由Rolle 定理，至少有一点()b a ,∈ξ，使0)(='ξF ，即 0])()()()()()([='--=ξx b g x f x g a f x g x f 0)()()()()()()()(='-'-'+'b g f g a f g f g f ξξξξξξ 0)(≠'x g ，当然有0)(≠'ξg ； ) ()()()()()(ξξξξg f g b g a f f ''=--∴ 例2 设)(x f 在],[b a 上可微)0(b a <<，证明至少存在一点()b a ,∈ξ使得 a b f a f b f ln )()()(ξξ'?=- [分析]：要证的等式即为 ξ ξξξ=''= '?=--x x f f a b a f b f ][ln ) ()(ln ln )()( 只须对用Cauchy 中值定理即可。 [证明]：x x f ln ),( 在],[b a 上可微，且01 )(ln ≠= 'x x ，

高数中求极限的16种方法

高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况 0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！） E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限，q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限） 11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用（一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为

易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，

利用“极限思维法”巧解化学计算题

利用“极限思维法”巧解化学计算题（湖北松滋湖北省松滋市实验中学）极限思维法简称极值法，就是把研究的对象或变化过程假设成某种理想的极限状态进行分析、推理、判断的一种思维方法；是将题设构造为问题的两个极端，然后依据有关化学知识确定所需反应物或生成物的量值进行判断分析求得结果。极值法的特点是“抓两端，定中间”。极值法的优点是将某些复杂的、难于分析清楚的化学问题（如某些混合物的计算、平行反应计算和讨论型计算等）变得单一化、极端化和简单化，使解题过程简洁，解题思路清晰，把问题化繁为简，化难为易，从而提高了解题效率。下面就结合部分试题具体谈谈极值法在化学解题中应用的方法与技巧。一．用极值法确定判断物质的组成例1：某K2CO3样品中含有Na2CO3、KNO3和Ba(NO3)2三种杂质中的一种或两种，现将6.9g 样品溶于足量水中，得到澄清溶液。若再加入过量的CaCl2溶液，得到4.5g沉淀，对样品所含杂质的判断正确的是（） A、肯定有KNO3和Na2CO3，没有Ba(NO3)2 B、肯定有KNO3，没有Ba(NO3)2，还可能有Na2CO3 C、肯定没有Na2CO3和Ba(NO3)2，可能有KNO3 D、无法判断解析：样品溶于水后得到澄清溶液，因此一定没有Ba(NO3)2。对量的关系用“极值法”可快速解答。设样品全为K2CO3，则加入过量的CaCl2溶液可得到沉淀质量为5g，；若6.9g全为Na2CO3则可得到沉淀质量为6.5g。显然，如果只含有碳酸钠一种杂质，产生沉淀的质量将大于5g；如果只含有KNO3，由于KNO3与CaCl2不反应，沉淀的质量将小于5g，可能等于4.5g。综合分析，样品中肯定有KNO3，肯定没有Ba(NO3)2，可能有Na2CO3。故本题选B。【点评】用极值法确定杂质的成分：在确定混合物的杂质成分时，可以将主要成分和杂质极值化考虑（假设物质完是杂质或主要成分），然后与实际比较，即可迅速判断出杂质的成分。二．用极值法确定可逆反应中反应物、生成物的取值范围例2：一定条件下向2L密闭容器中充入3molX气体和1molY气体发生下列反应：2X(g) + Y(g) 3Z(g) +2W(g)，在某一时刻达到化学平衡时，测出下列各生成物浓度的数据肯定错误的是（） A、c(Z)=0.75mol?L-1 B、c(Z)=1.20mol?L-1 C、c(W)=0.80 mol?L-1 D、c(W)=1.00 mol?L-1 解析：用极限思维假设此反应中3molX和1molY能完全反应，求出最大值。1molY完全反应生成3molZ和2molW。所以，0＜c(Z) ＜1.5 mol?L-1；0＜c(W) ＜1 mol?L-1 故答案为D。【点评】由于可逆反应总是不能完全进行到底，故在可逆反应中分析反应物、生成物的量时利用极值法把可逆反应看成向左或向右进行完全的反应，这样可以准确、迅速得出答案。三．利用极值法确定多个平行反应中生成物浓度的范围例3：在标准状况下，将NO2、NO、O2的混合气体充满容器后倒置于水中，气体完全溶解，溶液充满容器。若产物不扩散到容器外，则所得溶液的物质的量浓度为（） A、1/22.4 mol?L-1 B、1/28 mol?L-1 C、1/32 mol?L-1 D、1/40 mol?L-1

高考数学常考知识点之极限

高考数学常考知识点之极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim

求函数极限的方法

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数）上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,

例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：

教三阶魔方你从2分钟到20秒(1)

7L内容：从30秒到25秒的教程（OLL全集，CROSS强化） 8L内容：从25秒到20秒以内的教程（慢拧与手速） 9L内容：后言还有的是，5L~9L的内容，都需要回复才能查看，其一，我发现小站的人其实挺多，但是绝大部分都是游客，我希望来小站观光的游客能够注册帐号，这样有益于小站的发展，并且能够增加小站的人数，高手也会增加，当作做善事，其二就是这篇教材我下的功夫很多，希望各位把帖子能让跟多有需要的人看到，你回复一个顶起来后或许新手就看见了呢~ 另外说一下，你能到魔方小站的论坛来练习，都是渴望能够成为魔方高手的人。所以，一时的艰难不算什么，希望大家能够辛勤果敢，不怕困难地学习魔方，成为高手！但是假如你已经对魔方渐渐冷淡无趣，我相信你是无法进步的。所以，不怕万人阻挡，只怕自己投降！勤奋是高手的另一个名字！还有，对教程不明白的，可以在本帖回复，对于其他魔方知识不明白的私信我，需要经常咨询或者要问的比较多的，可以加我QQ2609047698，下面进入内容，不懂可于本帖提问。

2L内容：从2分钟到1分钟的教程：【前言】（可跳过）三速无法达到1分钟的魔友，多半是练习不够，并且关乎到手法以及魔方的问题，其实进入1分钟相当简单，只要你肯下功夫学习，并且加上对魔方的热情，我相信每一位魔友都可以！这一步大概需要花掉半个月左右。【关于练习】（必读）学习了初级玩法后，必须要加强巩固初级玩法，不然初级玩法都没法掌握，就别说进一步学习新的了，必须要练习到一下几点：1.不用错公式2.不搞乱步骤3.能够独立还原。反正就是练习10遍，一遍都没有失误，发挥出正常水平就可以了，必须要保证这一点，这是很基础的。并且每天除了学习新的内容之外，还要天天都保证30次还原的练习量，有时间可以50次，甚至100次，反正就是尽可能多练习，这样进入1分是没问题的。【关于手法】（必读）手法，其实就是玩魔方的时候，你手指拧的方法。大家可以看到高手拧魔方，手都非常灵活，他们手速快是一方面的原因，其次就是手法问题。手法关系到你玩魔方的手速，所以新手练习手法是很有必要的。大家可以看看FSC（就是手指快捷方法），你也可以直

经典求极限解题方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ

3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。

求函数极限的方法与技巧

求函数极限的方法与技巧《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习. 1基本方法 1.1利用定义法求极限从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的δ. 一般地，证明0 lim ()x x f x A →=的方法为：0ε?>，放大不等式0()f x A x x αε-<<-，若 22111212 2132133213 x x x x x x x x ε---+-=-=<<--++. (限制x ：011x <-<，则211)x +>，取=min{3,1}δε，则当01x δ<-<时，便有 22 112 3 321x x x x ε---<<--. 定义中的正数δ依赖于ε，但不是由ε所唯一确定.一般来说，ε愈小，δ也愈小.用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先要猜测极限值A ，然后再证明，这一般不太容易，所以对于其它方法的研究是十分必要的. 1.2 利用左、右极限求极限 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==. 例2 设tan 3,0()3cos ,0 x x f x x x x ?? 求0 lim ()x f x →.

Gan's F2L OLL PLL魔方快速解法总结

魔方快速解法总结 Gan's F2L OLL PLL手法(三叶虫整理) 1引言随便一个能看见这个页面的人，经过一段时间的练习，都能在一分钟内完成六面，此时叫入门；30秒才叫玩过一段时间魔方；平均20秒的才能叫高手。 2步骤介绍完成方法一共分四步：CROSS→F2L→OLL→PLL （1）CROSS即十字，在底层架好十字；（2）F2L 即First two Layer，分四组完成下两层的边角块；（3）OLL即Orient Last Layer，把最后一层所有的颜色都反上去；（4）PLL 即Position Last Layer，把最后一层所有的棱和角位置都交换好。 3拧法介绍（1）顺时针用字母表示，如U表示上层顺时针旋转90度。（2）逆时针用一撇表示，如U'表示上层逆时针旋转90度。（3）180度用2来表示，如U2表示上层顺时针旋转180度，U'2表示上层逆时针旋转180度。（4）相应的小写字母f、b、l、r、u、d代表转动两层。（5）x(整个魔方以R的方向转动)，y(整个魔方以U的方向转动)，z(整个魔方以F的方向转动)。（6）斜体是用右拇指；下划线用左食指。（7）浅蓝色的是最少步数版本。

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数量关系20秒极限解题法

20秒极限解题法，是教研团队结合行测命题规律，在总结近年来国考和地方考试及各地考试行测真题的基础上，为考生量身打造的一套解题技巧，使广大考生在解答数量关系与资料分析问题中实现“快”、“稳”、“准”的梦想。下面撷取几例，与广大考生分享。极限技巧一：整除法整除法在公务员行测考试中占有非常重要的位置，能够快速提高数量关系的解题速度，有效节省做题时间。运用整除法的关键在于找到题干中隐藏的关键数字信息，结合选项利用数字的整除特性解题。例1：在一次测验中，甲答对4道题，乙答错题目总数的1/6，两人都答对的题目是总数的1/4。那么乙答对了多少题? A.10 B. 8 C. 20 D. 16 ----『2010年河南省选调生录用考试』【答案】A 一般解法：设总量为x，乙答对总题量的5/6，甲答对4道题，又因为两人都答对的题目是总数的1/4，则有x/4<4，x<16。再往下就无从着手了。【20秒极限解题法】整除法，同时代入排除法。由题意知，题目的总数=乙答对的题目数×(6/5)，显然乙答对的题目数是5的倍数，首先排除B、D;将20代入，若乙答对的题目数为20道，则题目的总数为24道，又甲答对4道题，所以两人都答对的题目数最多为4道，4/24≠1/4，所以排除C。故选A。例2：某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人?( ) ----『2011年中央、国家机关公务员录用考试』 A.329 B.350 C.371 D.504 【答案】A 一般解法：因此题计算比较繁琐，一般数学基础好的学生按此方法做题约需要60秒以上。设去年男员工人数为x，女员工为830-x，今年男员工人数为x×(1-6%)，女员工为(830-x)×(1+5%)，今年人数比去年多3人，即x×(1-6%)+(830-x)×(1+5%)=830+3，解方程可求出x，则今年男员工人数为x×(1-6%)=329。【20秒极限解题法】本题可利用整除特性求解。由题知：今年男员工人数是去年的94%，即4750 ，故今年男员工人数可被47整除。结合选项，只有A项符合。故选A。极限技巧二：数字特性法

高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点

第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。（一）、转化(化归)思想解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二）、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

教三阶魔方你从2分钟到20秒1资料全

【教程】教你从2分钟到20秒作者：魔方世纪（魔方小站）前言：首先，世纪写这篇文章的时候，已经sub20，大概avg16的水平了，待在小站答疑那么久，我发现小站新手居多，高手大多潜水，所以小站经常是很多新手问一些很基础的问题，为了新手不再发一些伸手帖，我特写此帖帮助那些新手。当然，这篇教程的幅度很大，不管你是两分钟的新手还是avg25的半高手，或许都适宜阅读，我的成绩是sub20，所以这篇教程为了不误导他人也就写到sub20的部分。假如已经sub20的半高手，请勿喷此帖。这篇文章写得都是关于三阶速拧提高速度的方法，都是我的心得，本帖可能会借鉴一些小站以及魔方吧高手的原创作品，部分会进行修改，都是为了广大魔友，望高手不吝。卖关子是可耻的，还是立刻进入真正内容，需要的魔友可以刻意去看某一楼。 2L内容：从2分钟到1分钟的教程 3L内容：从1分钟到50秒的教程（OLL21~25与PLL1~4） 4L内容：从50秒到40秒的教程（十步CROSS的学习） 5L内容：从40秒到35秒的教程（基础F2L） 6L内容：从35秒到30秒的教程（PLL全集） 7L内容：从30秒到25秒的教程（OLL全集，CROSS强化） 8L内容：从25秒到20秒以内的教程（慢拧与手速） 9L内容：后言还有的是，5L~9L的内容，都需要回复才能查看，其一，我发现小站的人其实挺多，但是绝大部分都是游客，我希望来小站观光的游客能够注册帐号，这样有益于小站的发展，并且能够增加小站的人数，高手也会增加，当作做善事，其二就是这篇教材我下的功夫很多，希望各位把帖子能让跟多有需要的人看到，你回复一个顶起来后或许新手就看见了呢~ 另外说一下，你能到魔方小站的论坛来练习，都是渴望能够成为魔方高手的人。所以，一时的艰难不算什么，希望大家能够辛勤果敢，不怕困难地学习魔方，成为高手！但是假如你已经对魔方渐渐冷淡无趣，我相信你是无法进步的。所以，不怕万人阻挡，只怕自己投降！勤奋是高手的另一个名字！还有，对教程不明白的，可以在本帖回复，对于其他魔方知识不明白的私信我，需要经常咨询或者要问的比较多的，可以加我QQ2609047698，下面进入内容，不懂可于本帖提问。

极限知识点(2020年10月整理).pdf

高中数学第十三章-极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1?=a ，则n n n n a )1(lim lim ?=∞ →∞→不存在当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ②b a b a n n n ?=?∞ →)(lim

魔方20秒快速法入门教程

我的魔方解法----简化的CFOP法魔方快速还原方法中Fridrich的CFOP (Cross+F2L+OLL+PLL魔方吧叫“20秒还原法”)法是很主流的方法，还原速度很快但是有100多个公式要掌握。通过在“魔方吧”的学习，我整理出一个简化的CFOP 方法，这样只需记15个公式就可实现较快的还原魔方。要更快一点，就再多记1个架“十”字公式，本法推荐记16个公式(教程中红色显示)。这比起完整CFOP的（41+57+21=119）个公式来说已大大减轻了负担，本法是一种“中级”的魔方解法，不太适合初学者（初学者还是推荐最简单、公式最少的基本层先法）和只想学会还原的朋友。主要适合学习对象为：1）不愿意记非常多的公式又想还原得快一点的朋友；2）完整CFOP方法的初学者。此法可作为Fridrich方法（CFOP）的入门教程。一、技术路线第一、二层采用基本层先的方法（第二层3个公式），第三层采用CFOP法的棱和角一起翻色（此时采用先架棱“十”字，再后用7个OLL公式来完成顶面翻色），然后调棱位置，再调角位置（由于是简化所以不能同时调角和棱的位置），其实就就是把PLL的角和棱分开来完成。二、具体步骤 1、第一层现在的目标是在顶上完成第一层（顶层），用架好棱十字（要求顶层四棱的相对位置正确，也就是棱块的侧面色要和对应魔方面的中心块的颜色相同如图1）再对好四角的方法。此步的小技巧是：可以将目标棱块和对应的中心块并到一起后再参加架“十”字。加好顶棱十字后再对好四个角（位置和色向都要对）详细方法可见魔方吧“笑面虎”方法中的内容，因为简单可以自己想出来不再多说了。这时就完在了一层。图2 图1图2 附1：架“十”字另一方法是先将四个目标棱块都转上去架起“十”字，再来调节它们的相对位置，这时要用到两个公式中的一个： 1、相对棱对调R’L U2 R L’ 2、相邻棱对调R’U’R U R’ 2、第二层由于中心块已固定，所以第二层只有四个棱块没解决了，现在就来解决它。先将第一步中做好的的魔方倒过来（如图3）一般都会出现下面（图4、5、6）几种情况，（有一种特殊情况是四个中层棱都在不在顶上，而是相对错位，此时只要用图4图5的公式做一次便可出现4、5的情况）用对应的公式来解决它们。图示公式录像

渗透极限思想 优化解题过程