21.1二次根式(1)学案
第二十一章二次根式
教材内容
1．本单元教学的主要内容：
二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．
2．本单元在教材中的地位和作用：
二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2
a≥0）是一个非负数，
2=a（a≥0）
（a≥0）．
（3
a≥0，b≥0）
a≥0，b>0）
a≥0，b>0）．
（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点
1
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2
八年级数学下二次根式导学案.doc
16． 1 《二次根式 (1) 》学案 班级 :姓名：小组： 学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标： 1、理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 学习过程 一、自主学习 (1) 16 的平方根是； (2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h(单 位：米 ) 满足关系式h 5t 2。如果用含h的式子表示t，则t= ； (3) 圆的面积为 S，则圆的半径是； (4) 正方形的面积为 b 3 ，则边长为。 思考： 16 ，h ，s , b 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 5 定义 : 一般地我们把形如 a （a 0 ）叫做二次根式， a 叫做_____________。读作。 二、应用举例 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、3 3 、1 、 x（x>0）、x 0、42、- 2 、 1 、 x y （x≥0，y?≥0）． x y 解：二次根式有：；不是二次根式的有：。 例 2．当x是多少时，3x 1 在实数范围内有意义？ 解：由得：。当时，3x 1 在实数范围内有意义．
注意： 1、形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2、利用“ a （a≥0）”解决具体问题 3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 例 3．当x是多少时，2x 3 在实数范围内有意义？ 例 4若 a 1 +b 1 =0，求a2004+b2004的值．(答案:2 ) 5 四、巩固练习 教材练习． 五、课堂检测 （ 1）、简答题 1．下列式子中，哪些是二次根式，那些不是二次根式？ -7 3 7x x4168 1 x （ 2）、填空题 1．形如 ________的式子叫做二次根式． 2．面积为 5 的正方形的边长为________． （ 3）、综合提高题 1．二次根式 a 1 中，字母a的取值范围是（） A、 a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1 2．已知x 3 0 则x的值为 A 、 x>-3 B、x<-3C、x=-3 D、x的值不能确定 六、课后记
二次根式培优习题
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ； . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 培优专题：二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
二次根式复习学案公开课
例3、 在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。 例1、比较35与53的大小。 （2）、平方法
① 1a a b b >?>； ② 1a a b b b>0，a+b=6ab ，则a b a b -+的值为（ ）A ．22 B ．2 C ．2 D ．12 例5、甲、乙两个同学化简 时，分别作了如下变形： 甲：==；
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解
基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=
二次根式的性质专题学案
二次根式的性质专题 班级 姓名 学习目标： 1、加深理解二次根式的有关概念； 2、熟练掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的性质，并能利用其进行有关的计算。 学习重点：二次根式的性质的运用 学习难点：利用二次根式的性质进行有关的计算 课堂讲授： 一、二次根式的性质 性质1：0a ≥()0a ≥ 双重非负性 性质2：()2 a = 性质3：2a = 题组1： ①下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A.5- B.3x C.x D. 21x + ②若二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x 3 B .x 3 C. x 3 D. x 3 ③2 4= ()23- ） A.-3 B. 3或-3 C. 9 D. 3 二、利用二次根式的性质解题 例1：实数x,y 在数轴上对应点的位置如图所示，求222x y x y xy ++- 变式1：实数a ()()22411a a --= 。 2：若2294315y x x x x =+--+--x y 的值。 变式2：若4422 x x y --= -，则()2x y += 。 三、试试中考题 题组2: ①：（2016·四川内江）使代数式34 x x --有意义的x 的取值范围是 。 05a 10
②：（2016·广东汕头）若实数a ，b 满足20a +=，则2 a b = 。 ③：（2016·江苏泰州）实数a,b 22440a ab b ++=，则a b 的值为（ ） A.2 B.12 C.2- D.12 - ④：（2017·山东枣庄）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如下图所示，则化简a 的结果是（ ） A.2a b -+ B.2a b - C.b - D.b ⑤：（2015·四川攀枝花）若2y = ，求y x . ⑥：（20172210b b ++=，求221a b a + -的值. 四、巩固练习 A 组 1a 的值是（ ） A.0a ≥ B.0a ≤ C.0a = D.0a ≠ 2、下列说法错误的是（ ） A.当4x < B. 当4x =0= C. 当4x >0> D. 3、若1a <=（ ） A. 1a - B.1a - C. a D.a - 4、当3x ≥的结果为 5、已知()220a -=，则a b += 6、已知25x <<= 。 B 组 1 有意义，那么x 的取值范围是（ ）
八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二次根式 二次根式的定义学案(新版)新人教版
二次根式的定义学习目标： 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0 ）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 一、自主学习 （一）温故知新 问题1：已知反比例函数y=3 x，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是 ___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8.7.9.9.7.8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． （二）探索新知 很明显3、10、4 6，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 二、学习过程
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、 42、-2、1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1x +在实数范围内有意义？ 例4.(1)已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值． (2)若1a ++1b -=0，求a2004+b2004的值． 三、巩固练习 教材P5练习1.2.3． 四、学后记 本节课要掌握： 1a （a ≥0 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 1．教材P8复习巩固1.综合应用5． 五、课时训练 一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（）
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试 4. . ab 、1 . a 3b ' 次根式?…（ 3 xF b 简二次根式后再判断.［答案】". = _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性 12a 3 质的运用. 8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是 (a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a + 9 .当 1
二次根式教学案
二次根式教学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2 a≥0 2=a（a≥0 （a ≥0）． （3 a≥0，b≥0 ； a≥0，b>0 a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． 2
（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1 a≥0 a≥0 ）2 ＝a（a≥0 （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1 a≥0 2＝a（a≥0 ）及（a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 3
(完整版)培优专题：二次根式
二次根式培优 一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中 a 0- a 0 。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0 ，由此我们判断下列式子有 意义的条件： ____ ____ ____ 1 / x 1 (1 八 x 1 \1 x ; (2) 、 -- 2 ； 2 V x (3) <1—T J —2； (4) —-; (5) V3—r (x 竺 x 1 Vx 2 (1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a ⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------ ⑥ 计算：J ( 4研&妬5 )2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 教科书中给出： 一般地，根据算术平方根的意义可知：' a a(a 0) ，在此我们可将其拓展为: 2、也2的化简 a(a 0) a(a 0) ②化简求值 : 1 其中a= 5 ③已知, 3 ,化简 2m 4m 2 m 1 .m 2 6m 9 1 2 a
m J 2m m2 1,求m的取值范围 ①若 ②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________ ③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值； ④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。 .二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0 ②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x 应满足( ). J2x 1 1 11 1 A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 3 2 2 2 2 例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ . (2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为() (A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . 例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为() A. 2 B. 0 C. —2 D.以上都不是 ⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①訂，②(a "Ja
2019版中考数学专题复习 专题一 数与式(3)二次根式学案
2019版中考数学专题复习 专题一 数与式（3）二次根式学案 【学习目标】 1．能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简； 2．能够比较熟练进行二次根式的运算； 3．会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题． 【重点难点】 重点：二次根式的性质应用及运算． 难点：二次根式的应用． 【知识回顾】 1.函数y= 中自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥－ B.x ≥ C .x ≤－ D.x ≤ 2.下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3.下列运算正确的是（ ） A. B. 326 C.23131 D.225353 4.计算 123 5.若实数x,y 满足22(4)0x y ，则xy 的值是 。 6.计算 2 332 18438222 【综合运用】 1.下列根式属最简二次根式的是（ ） A. 21a B.12 C. 8 D.27 2.下列计算正确的是（ ） A.234265 842 C.27 3＝3 233 21 x -12121212 28621 a -325 =
3.函数31x y x 中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥3 B.x ≤3 C.x ≤3且x ≠1 D.x ＜3且x ≠1 4.化简 1018 23 5.计算(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 【直击中考】 1. 若211a a , 则a 的取值范围（ ） A.a ＞1 B.a ≥1 C.a ＜0 D.a ≤1 2. 下列根式中能与3合并的二次根式为（ ） A. 32 B.24 C.12 D.18 3. 已知52,52a b ，则227a b 的值为 。 4.计算：（3＋2－5)(3―2―5) 5.若－3≤x ≤2时，试化简│x －2│＋(x ＋3)2 ＋x 2 －10x ＋25 【总结提升】 1. 请你画出本节课的知识结构图。
最新二次根式化简练习题含答案(培优)
基础巩固： 1、二次根式的性质 ①二次根式.a中被开方数一定是非负数，并且二次根式a_0 ; ②(柘 f =a(a^0)； a(a 色0) ③+'a = |a| = 0(a = 0) -a(a 乞0) 2、最简二次根式与同类二次根式： 一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式(simplest quadratic radical ). 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 3、移因式到根号内、外的方法： ①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时，把负号留在根号外面，然后把这个数的平方移到根号内，即 a.b二- a2b (a<0)；当根号外的数是正 数时，直接把它平方后移到根号内，即 b = a 2b (a>0); ②把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即a2b二a b (a>0)；当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号，即,a2b = -a b (a<0). 4、a2与 a $的联系与区别 ①存，(需2都是非负数； a(a 色0) ②Q a j =a(a 王0)，M a2=|a| = 0(a = 0)结果不同； —a(a 兰0) ③、.a中a的取值范围是a 一0，a2中a的取值范围是全体实数.
练习： 1、有这样一类题目：将詐±2扁化简，如果你能找到两个数m n, 使m2 且mn = . b ,则将将变成m+n2士2mn,即变成(m± n)2开方, 从而使得a二2 .. b化简. 请根据提示化简下列根式： (1) Q-2.6 ⑵.4 23 2、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 3、计算: _ 1 0.25 2 2 -3 厂一j.-3 2 2什気一』2 ° 4、已知m是2的小数部分，则.m2-2m ■ 1的值是(). 5、对任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下：b二'a+ b a - b 则代※4= _____ . 答案与解析：
二次根式学案(含解析版)
二次根式知识点 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4、二次根式的性质： 1 )0a ≥的最小值是0 )0a ≥ )0a ≥。 （2 ）()20a a =≥； （3()()() 0000a a a a a a >??===??-0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 ）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x -- +315；（2）22)-(x
例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-， 最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a(word完整版)八年级数学二次根式提高培优
二次根式典型习题训练 一、概念 （一）二次根式 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式 、1x x>0）1x y +x ≥0，y?≥0）． （二）最简二次根式 1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．（x ≥0） 3．_________． 4. 已知?xy 0，化简二次根式_________． （三）同类二次根式 1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2是同类二次根式的有______ （四） “分母有理化”与“有理化因式” 1.的有理化因式是________； _________． _______． 2.把下列各式的分母有理化 （1 （2； （3； （4．
二、二次根式有意义的条件： 1．（1）当x 在实数范围内有意义？ （2）当x是多少时， 1 1 x+ 在实数范围内有意义？ （3）当x 是多少时， x +x2在实数范围内有意义？ （4）当__________ 2. 有意义的未知数x有（）个． 3. A．0 B．1 C．2 D．无数 3．已知 y= ，求 x y 的值． 4 ． 5. 1 1 m+ 有意义，则m的取值范围是。 6．要是下列式子有意义求字母的取值范围 （1 (2) (3) (4) (5) (6)
三、二次根式的非负数性 1 ，求a 2004+b 2004的值． 2 ，求x y 的 3. 2440y y -+=，求xy 的值。 四、?????-==a a a a 2 的应用 1． a ≥0 ）． A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求 甲的解答为：原式（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a │=a ，求a-19952的值． 4. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│ a ≥0 a ＜0
二次根式复习学案
八年级(下)数学期末复习学案 二次根式 一、知识梳理 1．当x___________时，式子 【知识点：二次根式概念 】 2.()=232- ； ()23π-= ． 【知识点：二次根式的性质 】 3. = ， = ． 【知识点：最简二次根式】 4．a ＝________． 【知识点：同类二次根式】 5.计算：._____1882=++ ； ； 2)＝_________． 【知识点：二次根式运算】 6．对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b = b a b a -+，如 3※=8※12= ． 【知识点：二次根式的简单运用】 二、错误辨析 1．（1）2(4＝ （2） 123 （32 (4)若0a <，则1=a a （5）333n m n m -=- 2．有一道练习题是：对于式子2a a 解法如下：2a 2a =2(2)a a --=2a +2.
三、方法归纳 【例1】计算 （1）32 －3 21+2 （2）12＋8×6 （3） （4） （5） 【例2】计算 （1）22)2332()2332(--+ ()(()20,0a b -≥≥ （3） ）＞，＞00(b a 【例3】如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简
【例4】阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a +b =（m +n ）2（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a +b =m 2+2n 2+2mn ． ∴a =m 2+2n 2，b =2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +b 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1） 当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b =，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + =（ + ）2； （3）若a +4=，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？ 四、课后作业 1. 要使式子 a 有意义，则a 的取值范围为__________________． 2.计算：______832=y x ，=______，12×3=________，()()=+-2525 . 3.观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，6，3，23，15，32，…… 那么第10个数据应是 . 4．化简：77 7-= ；若3x =-，则1= . 5.已知x 、y 为实数，且1y ，求x y += ． 6.已知x =3+2，y =3－2，则x 2 －2xy +y 2 = ． 7. 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=+b a ）（3 。 8. 下列式子为最简二次根式的是( )． A. 5 B. 12 C. a 2 D. 1a
中考数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-= C ．() 2 23 6 = D ． 1515533 == 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ．53－23=3 B ．22×32=6 C ．33÷3=3 D ．23＋32=55 3．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-= B ．633-= C ．222 ()33 - =- D ．2332-= 4．下列计算正确的是（ ） A ．42=± B ． () 2 33-=- C ．() 2 5 5-= D ．() 2 33 -=- 5．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-= 6．若 1 x +有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2 C ．x≥1且x ＝2 D ．.x≥-1且x ≠2 7．若a ＝ 3 235 ++，b ＝2+610-，则a b 的值为（ ） A ．1 2 B ．14 C ．321 + D ．610 + 8．已知a 为实数，则代数式227122a a -+的最小值为( ) A ．0 B ．3 C ．33 D ．9 9．将1、 、 、 按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．6
10．如果实数x，y满足23 x y xy y =-，那么点(),x y在（） A．第一象限B．第二象限C．第一象限或坐标轴上D．第二象限或坐标轴上 二、填空题 11．能力拓展： 1:21 21 A-= +；2:32 32 A-= + ；3:43 43 A-= + ； 4:54 A-=________． … n A：________． ()1请观察1A，2A，3A的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A和2A ∵32 +________21 + ∴ 32 +________ 21 + ∴32 -________21 - ()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43 -________32 -； 76 -________54 -；1 n n +-________1 n n -- 12．（1）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简 ()222 144 a a a b b +--+=_____________； （2）已知正整数p，q32016 p q=() p q，的个数是 _______________； （3）△ABC中,∠A=50°,高BE、CF所在的直线交于点O,∠BOC的度数__________. 13．当x3x2﹣4x+2017=________． 14．甲容器中装有浓度为a40kg，乙容器中装有浓度为b90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________． 15．已知函数 1 x f x x ，那么21 f_____． 16．已知|a﹣20072008 a-=a，则a﹣20072的值是_____． 17．已知x，y为实数，y= 22 991 3 x x x -- - 求5x+6y的值________.
二次根式导学案
第二十一章 二次根式 21.1(1) 二次根式 【学习目标】： 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式 2、理解二次根式有意义的条件，会判断被开方数中字母的取值范围。 【重点难点】：二次根式有意义的条件 【预习指导】 我们已经学习了平方根的意义,知道了式子16、2、a 的含义。同样地，我们也能理解2c 、 π S 、 g 2h 等式子的实际意义。这些式子有什么共同特征？ 【基本概念】 1、已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 2、式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 3、一般地，式子)0(0≥≥a a 叫做 ，a 叫做 。 4、计算 ： (1) 2 )4( = (2) =（3）2)5.0( = （4）2 )3 1( = 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 5、当a 为正数时 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只 有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才 有意义。 【典型例题】 例1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，345-)0(3≥a a ，12 +x 例2、x 是怎样的实数时，式子5-x 在实数范围内有意义？ 【课堂练习】 2)3(________)(2 =a
1、x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）5x + （2）4x 3- （3）1x 5+ （4）x 101- （5）1x 2 + （6）2 x - 2、计算： （1） 2 13）（ （2） 2 7 3）（ （3）2 8）（+2 2）（ （4）2 22b a ） （+ 【知识梳理】 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 2．式子)0(≥a a 的取值是非负数。 【课后练习】 1、下列各式中，正确的是（ ）。 A. B C D 2、下列计算中，不正确的是 （ ）。 A 、3= 2 )3( B 、0.5=2 )5.0( C 、 2 )3.0(=0.3 D 、2 )75(=35 3、计算： （1） 2 19 3）（= （2） 2 32）（= 第二十一章 二次根式 21.1(2) 二次根式 【学习目标】： 1、掌握二次根式的基本性质：a a =2 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 【重点难点】：重点：二次根式的性质a a =2 ． 4949+=+4994?=?2424-=-6 5 3625=
- 八年级数学上册二次根式教学案
- 二次根式的性质专题学案
- 21.1二次根式(1)学案
- 八年级数学下二次根式复习学案(复习题)
- 二次根式导学案教案
- 二次根式的加减法教学案
- 2019版中考数学专题复习 专题一 数与式(3)二次根式学案
- 二次根式学案2
- 八年级数学下册 16.1 二次根式学案2(新版)新人教版
- 第一节 二次根式学案
- 二次根式复习学案公开课
- 八年级数学二次根式教学设计
- 二次根式导学案
- 《二次根式》导学案
- 二次根式学案人教版
- 二次根式习题课教学设计Word版
- 二次根式教学案
- (完整版)人教版八年级数学下册二次根式教学设计
- 八年级数学下册16二次根式学案新版沪科版
- 新人教版八年级数学下册学案：二次根式的概念导学案