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常考常新的11种递推数列类型

高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版

最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版类型1 ) (1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。变式1.1:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 解：Θk k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a …… ……k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得1)1(21321112--+?=++k k k a ， 1)1(2 1 321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132 1)(1)1(21321222 1 21为偶数为奇数n n a n n n n n 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-= + )1(≥n ，求n a 。解：12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437526331348531n n n n n --= ????=---L 。变式2.1:（2004，全国I,理15）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1 ___ n a ?=? ? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得

文科数学2010-2018高考真题分类专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 1．C 【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】【法1】有题设知 21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9， 76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=， …… ∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…， ∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1 1521581615142 ?+?+???=1830. 【法2】可证明： 14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514 1010151618302 b a a a a S ?=+++=?=?+ ?= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====???=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得 601830S = 3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+=???=+=，故1210a a a ++???+=3515?=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

排列组合二项式递推数列求通项常见

排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。一.特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法1 :（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A种站法，故站法共有：A4-A5 = 48o（种）解法2:（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A：种，故站法共有：A A4 = 480 （种）二.相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 6 3 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A6种，然后女生内部再进行排列，有A3种，所以排法共有：A6 A3 ^4320 （种）。三?相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 种，所以排法共有：此A =1440 （种）四.定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有A^种， m（m空n）个元素的全排列有A；种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有虫种排列方法。 A m

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

数列题型及解题方法归纳总结99067

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

必修5--数列知识点总结及题型归纳

数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… （3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2 a b A +=

高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。一. 定义法常见形式：已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数）定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。二. 迭代法常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*，将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…，这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。如：④的具体例子：例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*，所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*

高中数列题型大全

高中数列题型大全Newly compiled on November 23, 2020

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

2020版高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案(理)

第2讲递推数列及数列求和的综合问题考点1 由递推关系式求通项公式 (1)累加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (2)累积法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (3)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (4)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． [例1] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝ n －1 n a n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 【解析】 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1) 2＋1. 又a 1＝2＝1×(1＋1) 2＋1，符合上式，因此a n ＝ n (n ＋1) 2 ＋1. (2)∵a n ＝n －1 n a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝ n －2n －1a n －2，…，a 2＝1 2 a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1 n . 当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

简单数列递推题型

简单的递推数列类型一 )(1n f a a n n +=+ 把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用迭加法求解 1.已知数列{}n a 中，* 111,3,1N n a a a n n n ∈+==-+，则n a = 2.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = 类型二 n n a n f a ?=+)(1 把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解 1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，则n a = 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，则n a = 类型三周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期 1.已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则2014a =（） A ．0 B ．3- C ．3 D ． 2 3 2.已知数列}{n a 满足=??-+==+52012111,11,2a a a a a a a n n n Λ则类型四. q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，)0)1((≠-p pq 1．已知数列{}n a 中，11=a ，231+=+n n a a ，则n a = 2.在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则n a = 3.已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈则n a =

（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 10a >且 659 11 a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 （辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设等差数列{}n a 满足 27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 0>最大的自然数n 是（） A ．9 B.10 C.11 D.12 （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________. （新疆乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）等差数列{}n a 中， 365,S 36,a ==则9S = （） A. 17 B. 19 C. 81 D. 100 （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足21 =346 n n n S a a +-（），则=n a . (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知数列{a n }是递增等比数列，a 2=2，a 4﹣a 3=4，则此数列的公比q=（） A ．﹣1 B ．2 C ．﹣1或2 D ．﹣2或1 （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L A ．5 B ．9 C ．3log 45 D ．10

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

数列题型与解题方法归纳总结

.下载可编辑. 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ????????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+… +（a n -a n-1）

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和） ????→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。解析： 121(2)n n a a n n --=-≥ ∴21324311 3 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-?? 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】 1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。 2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。 3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。 5、已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满足11,a =()1 132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？ 7、若数列的递推公式为1* 113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式 8、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 9、已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．

常见的递推数列

常见的递推数列的求法： (1)形如a n +1=a n +f (n )的一阶递归式，其通项求法为 (累加法)： a n =a 1+∑(a k +1-a k )= a 1+∑f (k ) (2)形如a n +1=f (n )a n 的递归式，其通项求法为(累积法)：a n =a 1·∏ a k +1a k = a 1·∏f (k )∵ (3)形如a n +1=pa n +q (其中p ≠1)的递归式，法一：由a n +1=pa n +q 及a n =pa n -1+q ，两式相减得a n +1-a n =p (a n -a n -1)，可得：数列{a n +1-a n }是首项为a 2-a 1，且公比为p 的等比数列，先求出a n +1-a n ，再累加求出a n ；法二：则两边同时加上q p -1，变为a n +1+ q p -1 = p (a n + q p -1)，显然是以a 1+ q p -1 为首项，p 为公比的等比数列，此法叫做特征根法； (4) 形如a n +1=pa n +f (n )(其中p ≠1)的递归式，其中f (n )不是常数，由p ≠1，则两边同时除以p n +1，变形为 a n +1p n +1 = a n p n + f (n )p n +1，令 b n = a n p n ，得b n +1= b n + f (n )p n +1，先累加求出b n ，再求a n ．即利用叠加法易得：a n p n = a 1p + ∑f (k )p k +1，从而a n =p n -1(a 1+∑f (k )p k +1)。 (5)形如a n +1=f(n)a n +g (n )(其中p ≠1)的递归式，其中f (n ),g(n)不是常数．（6）特征根法： a n +2=pa n +1+qa n ，特征方程为x 2=px +q ，令其两根为x 1，x 2， ② 当12x x ≠时，则其通项公式为:a n =Ax 1n +Bx 2n ，A 、B 用待定系数法求得； ②当12x x =时，则其通项公式为:1()n n a A Bn x =+，A 、B 用待定系数法求得． (7) 不动点法：当f (x )=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法．