第二章 二阶线性偏微分方程的分类
1.把下列方程化为标准形式:
(1)02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解:因为
02
22112
12=?-=-a a a a a a
所以该方程是抛物型方程,其特征方程为
12
2
=-±
=a
a a a dx
dy 。
它只有一族实的特征线
c
x y =-
在这种情况下,我们设x y -=ξ,x =η(或令y =η,总之,此处η是与ξ无关的任一函数,当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η)。
方法一:用抛物型方程的标准形式
][12122
F Cu u B u B A +++-
=ηξηηη
先算出:
?
???
?
?
??
?
?
?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112
2122121112
221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1
u bu u c b a
u +++--=ηξηη
即
01=+
+
-+
u a u a b u a
b c u ηξηη
方法二:应用特征方程,作自变量变换,求出
???
??=+-=+-=+--==+-=
,2
,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy
xx y x 代入原方程得,0)(=++-+u bu u b c au ηξξη
(2)06232=++--y x yy xy xx u u u u u ,
解:因为0422112
12>=-a a a ,所以该方程是双曲型的其特征方程为
?
??-=+±
-=
31
1
3
11dx
dy , 特征线为1c y x =-和23c y x =+。
故可令y x -=ξ,y x +=3η,在双曲型方程的标准型式,
][212112
F cu u B u B A u +++-
=ηξξη
中,先算出,
???
?
?????===++++=-=++++==++=?--+?-+?-+??=+++=0,0 122B 42B
8323 1)1)(3(]3)1(11)[1(311 )(21221211221221211122121112F C b b a a a b b a a a a a a A y x yy xy xx y
x yy xy xx y y x y y x x x ηηηξηξξξξξηξηξηξηξ
∴]124[16
1ηξξηu u u +--
=
即
34=+-ηξξηu u u ,
(3)0254=++++y x yy xy xx u u u u u 解:因为
0122112
12<-=-a a a
所以该方程是椭圆型的,其特征方程为
i dx
dy ±=-±
=21
5222
特征线为:1)2(c y x i =-+和2)2(c y x i =--, 故可令
y x i -+=)2(ξ,y x i --=)2(η
为计算方便,又令
??
???=-=-=+=x
i y x )(212)(21ηξβηξα 在椭圆型方程的标准形式:
]2)()[(1122112
F cu u B B i u B B A u u a aa ++-++-
=+βββ
中,先算出,
??????
?==-=++++==++++==+++=
0,02
22)(21221211221221211122121112F C i b b a a a B i b b a a a B a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x y y x x x ηηηηξξξξξξηξηξηξηξ ∴])2([2
1
βββu i i u u aa --=+
即
0=++βββu u u aa 。
改变自变量α、β的记号为ξ、η,则0=++ηηηξξu u u (4)0=+yy xx yu u
解:y a a a -=-22112
12
(i )如0
其特征方程为:
y
dx
dy -=,和
y
dx
dy --=
其特征线为:12c y x =-+和22c y x =-- 故可令:y x -+=2ξ,y x --=2η 在双曲型方程的标准形式
][212112
F cu u B u B A u +++-
=ηξξη
中,先算出
??
?
???
??
???
?
??
?==-=-=++++=-=--=++++==---++=+++=
0 0 2
212 2212 2)1
)(1(01)(21221211221221211122121112F C y b b a a a B y b b a a a B y y y a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x y y x x x ηξηηηηηηξξξξξξηξηξηξηξ 所以原方程化为
)(2
1)(=-+
-ηξξηηξu u u
(ii )如0>y ,则022112
12<-=-y a a a ,该方程为椭圆型。
其特征方程为
i y dx
dy =
和
i y dx
dy -
=
特征线为
12c i y x =+和22c i y x =-
故可令
i y x 2+=ξ,i y x 2-=η
为方便计,又令
x
=+=
)(2
1ηξα,y
i
2)(21=-=
ηξβ或4
2
β=
y
则
aa
xx u u =,y
u u y 1β
=,y
u u y
u yy 1212
/3ββ
β+-
=,
原方程为
02
1=-
+βββααu y
u u ,
即
01
=-
+βββααβ
u u u 。
把符号α,换成ηξ,,就有01
=-
+ηηηξξη
u u u 。
(5)0=+yy xx xu u 。
解:x a a a -=-22112
12,所以特征方程为
x
dx
dy -=。
(i )如0
特征线:()12
/33
2C x y =-+和()22
/33
2C x y =-- 或改写为
()12
/32
3C x y =-+及
()
22
/32
3C x y =--
令
()2
/32
3x y -+=ξ, (1) ()
2
/32
3x y --=
η, (2)
[]F
cu u B u
B A u +++-
=ηξ
ξη211221,
x x
x x A 2
923232
32
312=?+-?
--
=,
x B -?
=
14
31,x
B -?
-
=14
32,
)(43
91
ηξξηu u x
x u ---
=
)()
(1212
/3ηξu u x --=
(3)
将(1)减(2)式得
2
/3)
(2x -=-ηξ
∴)(6)(122/3ηξ-=-x
代入(3)就代成标准形
0)()
(61=---
ηξξηηξu u u 。
(ii )如0>x ,则0<-x ,则022112
12
<-=-x a a a , 则此方程为椭圆型。 特征方程为:
i x dx
dy ±
=,
特征线为:12
/32
3C ix
y =+和
22
/32
3C ix
y =-
令y
23=
ξ,2/3x -=η
则ξ
ξξu u u y y 23=
=,ξξ
u u yy 4
9=
,
21
21
2
3)23(x u x u u x ηη-
=-
=, x
u x u u xx 41
4
1η
ηη-??=,
方程为
0434
949=-+
x
u xu xu η
ξξηη,
312
/3=-+ηηηξξu x
u u
即
031=+
+ηηηξξη
u u u 。
(6)022=+yy xx u x u y 。
解:02
22211212<-=-y x a a a 故方
特征方程:
y
x i
y
y x dx
dy ±=-±=
2
2
2,
特征线为:122C ix y =+,222C ix y =-, 令
2
2
,x y ==ηξ
则有
x u u x 2?=η,ηηηu u x u xx 242+=, y
u u y 2?=ξ,ξξξu u y u yy 242+=,
原方程变为
024242
22222=+++ξξξηηηu x u x y u y u y x 021212
2
=+
+
+ηξηηξξu x
u y
u u ,
02121=+
+
+ηξηηξξη
ξ
u u u u 。
(7)044222=--x yy x xx u y u e u y 。
解:04222211212>=-x
e y a a a ,故方程为双曲型。
特征方程:
y
e
y
e y dx
dy x
x
2442
22±
=±=
,
特征线:12C e y x =+,22C e y x =-。
令 x e y +=2ξ, (1)
x
e y -=2η, (2)
则 ()()ηξηξu u e e u e u u x x x x -=-+=,
()(
)[]x
x x
x
x
x
xx e
u e u
e
u e u e u u e u ηηηξ
ξηξξηξ+--++-=
()()ηηξηξξηξu u u e u u e x x +-+-=22,
()ηξηξu u y y u y u u y +=?+?=222,
()()y u y u y u y u y u u u yy 222222?+?+?+?++=ηηηξξηξξηξ,
()()ηηξηξξηξu u u y u u 2422+++= 方程成为
(
)(
)η
ξ
ξηu
e
e
y u
e
yc u e y x
x
x
x x
222222
242416+--+-()242
=--ηξu u e y x
,
即
022162
22
=---ηξξηu e u e u e y x
x
,
082=++ηξξηu u u y (3)
(1)+(2)有
()
ηξηξ+=∴+=48222
y y
代入(1)由
()04=+++ηξξηηξu u u
2.简化下列常系数方程:
(1)0=++++u u u u u y x yy xx γβα。
解:试作函数变换()y x e y x y x u μλν+=),(,,其中λ和μ是待定常数,于是
????
??
???++=+++=++=+=+=+++++)2()
()2()()(2
2
v v v e u v v v v e u v v v e
u v v e u v v e u y yy y x yy x
y xy y x xy
x xx y x xx y y
x y x y
x x μμλμμλλλμλμλμλμλμλμλ 以此代入原方程,约去公共因子y x e μλ+后得:
0)()2()2(2
2
=++++++++++v v v v v y x yy xx γβμαλμλβμαλ
令2
α
λ-=,2
β
μ-
=,即v
e
u y
x a 2
2
β
-
-
=,则一阶偏导数x v 和y v 的项消去,方
程简化为:
0)4
4
(2
2
=-
-
++v v v yy xx β
α
γ
(2)x y xx u u u u βαα
++=
2
1
解:与(1)题一样,试作函数变换y x ve u μλ+=,并以x u ,y u ,xx u ,及u 代入原方程,约去公共因子y x e μλ+后得:
)(1
)2(2
2
2
=---
+-
-+v v v v y x xx λβαα
μλα
βλ
如令2
β
λ=
则x v 项被消去,如要v 项也被消去,则必须
02
2
=---
λβαα
μλ,
即)4
(2
2β
ααμ+
-=,即y
x ve u )4
(2
2
2
β
ααβ
+
-=,即该常微分方程简化为
012
=-
y xx v a
v
(3)0
=++
-+
u u a
b u a
b c u y x yy
解:作函数变换y x ve u μλ+=,并以x u ,y u ,yy u 及u 代入原方程,约去公共因
子y x e μλ+后得
0]1[)2(2
=++
-+++
+-+
v a
b a
b c v a
b v a
b c v y x yy μλ
μμ
如令a
b 2-
=μ,则y v 项消失;如要v 项也消去,则必须
01)(
2
=++
-+μλμa
b a
b c ,即)
(442
2
c b a b
a --=
λ才可能。
所以,作出函数变换x
c b a b
a y a
b ve
u )
(4422
2
--+
-
=后,方程简化为
0=-+
x yy v a
b c v
(4)0243=+++u u u u y x xy 。
解:作函数变换y x ve u μλ+=,并以x u ,y u ,xy u 及u 代入原方程,约去公共因子y x e μλ+后得:
0]243[)4()3(=++++++++v v u v y x xy μλλμλμ
如令4-=λ,3-=μ,即y x ve u 34--=则方程简化为
010=-v v xy
(5)02222=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx
解:如直接作函数变换,该方程不能化简,所以,必须先作自变量的变换先消去xy u 项,然后再作函数变换,消去x u ,y u 项才行。
(i )因为02
2211212<-=-a a a a ,该方程为椭圆型,其特征方程是:
2/2
1222
2i a
a a a dx
dy ±=
-±=
,
即i
dx
dy +=12
和i dx
dy -=12
特征线为:1)1(C x i y =++,2
)1(2
1C x i y =--
令2
x y -=ξ,2
x =
η,ηξ+=y ,
则)(21ξηu u u x -=
,ηη
ξξηηu u u u xx 2141-
-
=
ξξ
ηξu u u xy 2
12
1-
=
,ξu u y =,ξξu u yy =
方程成为
ξξξξξηξξηξηηu a u u a u u u a ?+-++-?)()2(2
10
2)(=++-+u cu u u b ξη
即022)24(=++-++u bu u b c au au ηξηηξξ。 (ii )对上式作进一步化简,令μη
λξ
+=ve u ,
)(v v e
u λξμη
λξξ+=+,)2(2
v v v e
u λλξξξμη
λξξξ++=+,
)(v v e
u μημη
λξη+=+,)2(2
v v v e
u μμηηημη
λξηη++=+,
ηξηηξξμλv a b v a b c v v ]22[
]2)
2(2[
+++-++
0]22)
2(2[2
2
=+
+
-+
++v a
a
b a b
c μλμλ
取a
b c --
=2λ,a
b -
=μ代入上式,则原方程简化为:
0)122(22
2
=+--++v a
c b bc a v v ηη
ξξ, 其中η
ξa
b
a
c b ve
u --=2,
代回原来变量
2
)2
(22x a b x y a c b a
b a
c b --
-=
-
-ηξ
y
a
c
b x a b b
c 222-+
--=
y a
c b x a b c 2-+-=
∴ y
a
c b x a
b
c ve u 2-+
-=
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级:交土01班 姓名:高云 学号:1201110102 微分方程的类型有很多种,解题时先判断微分方程是哪种类型,可以帮助我们更快解题,所以我们有必要归纳整理一下各类型(主要是一阶和二阶)的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边,解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 (1))(x y f dx dy = (2) )(c by ax f dx dy ++=(a ,b 均不等于0) 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的,其中f u c b b a a a ,,,,,,,21221211都是自变量y x ,的已知函数,假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续,而且221211a a a ,,不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点,考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数,而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理,在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=,y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后,方程的阶数不会升高,由变换的可逆性,方程的阶数也不会降低,所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明,在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内,不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是: C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程: 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=,11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时,方程可以化为
第十三章二阶线性偏微分方程 的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论,这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.
13.1 基本概念 (1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程,如 22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y ??????????????=??????其中(,,)u x y ???是未知多元函数,而,,x y ???是未知变量;,,u u x y ???????为u 的偏导数. 有时为了书
写方便,通常记 2 2,,,,x y xx u u u u u u x y x ???==???=??????(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶.(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数.
(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的,就称为线性方程,高于一次以上的方程称为非线性方程. (5)准线性方程一个偏微分方程,如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的,则称方程为准线性方程. (6)自由项在偏微分方程中,不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项.
例13.1.2:方程的通解和特解概念 二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =?的通解为 2 21(,)()()2u x y xy x y F x G y =?++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数.因为方程为 例13.1.1:偏微分方程的分类(具体见课本P268)
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1) 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X (7.1) 的方程,称为一阶线性齐次偏微分方程,其中n x x x ,,,21 是自变量,u 是n x x x ,,,21 的未知函数,n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数,并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2) 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? (7.2) 的方程,称为一阶拟线性偏微分方程,其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的,以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3) 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 (7.3) 称为一阶线性齐次偏微分方程(7.1)的特征方程组。 常微分方程组
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程(A.1),则称其为常微分方程(A.1)在 I 上的一个解。,()f x 称为方程(A.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程(A.1)称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的,我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解,而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈,. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, (A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于 而()'ln 'y y y =,从而(A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4) 对于非齐次一阶线性常微分方程(A.2),在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续,则一阶线性非齐次常微分方程(A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ (A.5) 其中C 是任意常数。 观察(A.4)式和(A.5)式,我们发现一阶线性非齐次常微分方程(A.1)的解等于 一阶线性齐次常微分方程( A.2)的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证,*()y x 是方程(A.1)的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=,,由(A.5)式,解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈,, (A.6) 称为二阶线性常微分方程,其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈,, (A.7) 为与(A.6)相伴的齐次方程. A .2.1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程(A.7)解的结构。
第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程(一阶线性偏微分方程)解的特征线方法。 典型的偏微分方程:扩散方程t xx u ku =,t u k u =?;波动方程2tt xx u c u =,2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 (刚性污染流的方程) 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t (即x 处在时刻t 的污染物的密度) 。如果流速是c ,问题:(,)u x t 满足什么样的方程? 解 如图,在[,]x x x +?内的流体,经过时间t ?,一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同,即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? , 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?, 从而, 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 (扩散方程) 假设水流静止,在t ?时间内,流经x 处的污染物质(不计高阶无穷小)与该处浓度的方向导数(浓度变化)成正比,比例系数为k : ()x u dm t k dt ku dt x ?==?, 所以,在时间段12[,]t t 内,通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ,在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ,由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ,2t 的任意性,
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程(A.1),则称其为常微分方程(A.1)在 I 上的一个解。,()f x 称为方程(A.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程(A.1)称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的,我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解,而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈,. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, (A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于 '()y p x y =-
而()'ln 'y y y =,从而(A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4) 对于非齐次一阶线性常微分方程(A.2),在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续,则一阶线性非齐次常微分方程(A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ (A.5) 其中C 是任意常数。 观察(A.4)式和(A.5)式,我们发现一阶线性非齐次常微分方程(A.1) 的解等于一阶线性齐次常微分方程(A.2)的通解()d p x x Ce -?加上函数
第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1.把下列方程化为标准形式: (1)02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解:因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程,其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下,我们设x y -=ξ,x =η(或令y =η,总之,此处η是与ξ无关的任一函数,当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η)。 方法一:用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出: ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二:应用特征方程,作自变量变换,求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得,0)(=++-+u bu u b c au ηξξη
第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分,其中C B A ,,为互不 相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-, 即有 0=---ydy A C B xdx C B A , 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-, 即有 0=---zdz B A C ydy A C B , 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于,雅可比矩阵 ? ???? ?????------=????? ???? ????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2,这两个首次积分相互独立,于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。
评注:借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分,n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 () () ???????-+--=-+-=11d 222 2y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(2 2 2 2 2 2 -++-=+ 这个方程关于变量t 和2 2 y x +是可以分离的,因此易求得它的通积分为 122 2221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组,得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-, 即有 1arctan -=?? ? ?? x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于,雅可比矩阵为 ()( ) ???? ? ?????? ?++-++=????????? ????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?2222 222 222 2222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ,
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1.解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
二阶线性偏微分方程的分类与小结
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的,其中 f u c b b a a a ,,,,,,,21221211都是自变量y x ,的已知函数, 假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续,而且 221211a a a ,,不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点,考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数,而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理,在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=,y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后,方程的阶数不会升高,由变换的可逆性,方程的阶数也不会降低,所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明,在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内,不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是: C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程: 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=,11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时,方程可以化为
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L (A.1) I 上满A.1)的) 当f ) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于 而()'ln 'y y y =,从而(A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4) 对于非齐次一阶线性常微分方程(A.2),在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理 A.1 假设()()p x f x I 和在上连续,则一阶线性非齐次常微分方程(A.1)的通解 阶函数y ) 称为二阶线性常微分方程,其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈,, (A.7) 为与(A.6)相伴的齐次方程. A .2.1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程(A.7)解的结构。
定理 A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程(A.7)的两个解,则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解,其中12,c c 是任意的常数。 定理1 说明齐次线性常微分方程(A.7)的解如果存在的话,一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程(A.7)通解的结构,首先给出函数线性无关的定义。 定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数,如果存在n 个 不全为零的常数12,,n k k k L , ,使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立, (,a (A.7)。 则y 其基础解系。 关于二阶线性非齐次常微分方程(A.6)的通解,有如下结论 定理A.5 若函*()y x 是方程(A.6)的一个特解,()Y x 是方程(A.6)相伴的齐次方程的通解,则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程(A.6)的通解。 从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程(A.6)的通解的一般步骤: (1)求解与(A.6)相伴的齐次方程(A.7)的线性无关的两个特解12()()y x y x 与,得该
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法,因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题,所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 首次积分的定义 从第三章我们知道,n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y Λ, ( ) 在变换 ()1'12,,,,n n y y y y y y -===L ( ) 之下,等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=??L L M M M M L ( ) 在第三章中,已经介绍过方程组( )通解的概念和求法。但是除了常系 数线性方程组外,求一般的( )的解是极其困难的。然而在某些情况下,可以使用所谓“可积组合”法求通积分,下面先通过例子说明“可积组合”法,然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质,以及用首次积分方法来求解方程组( )的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221, 1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- ( ) 解:将第一式的两端同乘x ,第二式的两端同乘y ,然后相加,得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x , ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离,因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+, ( ) 1C 为积分常数。( )叫做( )的首次积分。
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的 连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1.解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,
第七章一阶线性偏微分方程 7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。 dx dt dy dt 空2z dt 解之得 所以,方程组的通积分为 1 1 2t 1(t,x, y ) (x y -t -)e G , 2 4 z C 1e 2t 即得一个首次积分为 1 (t, x, y) (x 1t 2 1 y 2t 1 4)e 2t C 1。 方程组的两式相减,得 d (x y ) dt 解之得另一个首次积分为 2(t, x, y ) 1 t 1 2 2 C 2。 易验证det x det 0。 因此,1(t,x, y) C 1和 2 (t,x, y ) C 2是两个独立的首次积分, 1) 2) 3) dx dt dy dt dx 1) 2y dy x z ,当 t 0 时,x y 1 dz d(x y) dt x y ,上方程化为一阶线性方程 方程组的两式相加,得 2(x y ) t 。
从中可解得通解为 即 i (t,x,y) (x y)2 y 2 C ;。 给方程组第一式乘以 y ,第二式乘以x ,再相减得 yx yy xy yy 2 2 (x y) y yx yy xy yy 1 1 (x y) y 两边积分,得另一个首次积分为 y 2 (t,x, y) arctan t C 2, x y 2 易验证 i (t,x, y) C i 和 2(t,x,y) C 2是两个独立的首次积分, 222 y 所以,方程组的通积分为 (x y) y C i ,arctan t C 2, x y x (C 2 CJcost (C 2 C i )si nt ,其中 C I C i si nc 2,C 2 C 1 cosC 2。 y C 1 cost C 2 si nt C 2 1 2 1 1 t -t — 4 4 8 C 2 1 2 1 1 -t -t 4 4 8 dx x 2y dy x y 2ydy ydx xdy 0, x C i e 2t y C i e 2t 2)方程组的两式相比,得 变形得恰当方程 xdx 容易得满足t 0时,x y 1的解为 x cost sint y cost 3) 三个分式相加,得 d(x y z) dy x z dz y x 解之得一个首次积分为 2 2 x 2y 2xy C 1, yx xy (x 2 2y 2 2xy) [(x y)2 y 2], 通解为
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级:交土 01班 姓名:高云 学号:1201110102 微分方程的类型有很多种,解题时先判断微分方程是哪种类型,可以帮助我 们更快解题,所以我们有必要归纳整理一下各类型(主要是一阶和二阶)的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法1可.分离变量的方程 dy g ( y )dy?f (x )dx ,或 ?f (x )g (y ) dx 其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边,解法关键是把变量分离后两边积分。 例 1.求微分方程 dx?xyd?y 2 dx?ydy 的通解 . 解 2 先合并 dx 及 dy 的各项 ,得 y (x 1)dy ( y 1)dx ?? ? 设 2 1 0, 1 0, y dy? 1 dx y ? ? x ? ? 分离变量得 2 x?1 y ?1 两端积分 y dy? 1 dx 得 1 ln | 2 1| ln | 1| ln | | 2 x? 1 y ?1 2 2 2 ( x?1) 2 2 2 ?C ( x?1) 2 . 于是 y ?1 ??C 记 C??C , 则得到题设方程的通解y ?1 1 1 2.齐次方程 dy y (1) ?f ( ) dx x dy (2) ?f (ax?by?c )(a ,b 均不等于 0) dx 例 2 求解微分方程 dx dy . 2 2 ? 2 x ?xy?y 2 y ?xy y 2 y ? ?? dy 2 2? ? 解 原方程变形为 2y ?xy ? x x , ? 2 2 ? ? 2 dx x ?xy?y y y ? ? 1? ?? ? x x ? ? y dy du 2 du 2u ?u , 令 u? , 则 ?u?x , 方程化为 u?x ? 2 x dx dx dx 1 ?u?u ?1 ? 1 1 ? 2 1 ? dx 分离变量 得 ? ? ? ?? ? ?du? , ?2 ?u?2 u? u?2 u?1? x 两边积分得
创作编号: BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1.解的叠加性 定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则 2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y
将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 , ,,,21n k k k 使得当在该区间内有 02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关, 否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法
目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词:微分方程,特解,通解, 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根,则相应的方程 (1)有如 下2个解: 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数,则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解,而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根,则因方程的系数是实系数,复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根,则i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应,方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+
(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±,我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ (2)特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根,对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t -。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++ =。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t , t ; ;,t , t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况,譬如假设i λαβ=+是k 重特征根,则i λαβ=-也是k 重特征根,可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin , ,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根,均是单根,故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根, 均是单根,故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+