力学基本模型_轻绳、轻杆和轻弹簧综合练习题

年级

高一学科物理编稿老师张晓春

课程标题力学基本模型——轻绳、轻杆和轻弹簧

一校黄楠二校林卉审核薛海燕

、考点突破

绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每

年高考必考的。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B 级，而对其能量特征的要求为A 级。本讲将重点针对弹簧模型进行研究。

、重难点提示

1. 掌握三种模型的特点和区别。

2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。

3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。

在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。

1. 轻绳（或细绳）中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征：①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等；

②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子；

③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。

2. 轻杆轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征：①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等；

②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向；③轻杆不能伸长或压

缩。

3. 轻弹簧中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征：①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等；

②轻弹簧既能承受拉力也能承受压力，其受力方向与弹簧的形变方向相反；

③轻弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。 当题目中出现弹簧时， 要注意弹 力的大小与方向时刻要与当时弹簧的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变入手分析， 先确定弹簧原长位置， 现长位置， 找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系， 分析形变 所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

④因轻弹簧 （尤其是软质弹簧） 其形变发生改变过程需要一段时间， 则在瞬间内的形变 量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不发生 突变。

能力提升类

例 1 如图所示，斜面与水平面间的夹角 30 ，物体 A 和 B 的质量分别为 m A 10kg 、 m B 5kg 。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：

（1）如 A 和 B 对斜面的动摩擦因数分别为 A

0.6 ， B 0.2 时，两物体的加速度

各为多少？绳的张力为多少？

（ 2）如果把 A 和 B 位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？ （3）如果斜面光滑，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？

一点通 ：解答该题的关键在于对物体进行受力分析， 连接物体的绳子中是否存在拉力是 分析的难点所在， 所以首先必须对物体的运动过程进行分析， 判断 A 、B 两物体的运动快慢， 当 A 运动的速度大于 B 时，则两物体有共同的速度，绳子绷紧且有张力，反之则绳子松弛， 绳子中的张力为 0。

解答：（ 1）设绳子的张力为 F T ，物体 A 和B 沿斜面下滑的加速度分别为 a A 和a B ，根 据牛顿第二定律：

对于 A 有 m A gsin F T A m A gcos m A a A ① 对于 B 有 m B g sin

F T

B

m B gcos m B a B ②

设 F T 0 ，即假设绳子中没有张力， 联立①②式求解得 gcos （ A B ） a B a A ，

因

A B

，故

a B a

A

说明物体 B 运动得比物体 A 快，绳松弛，所以 F T 0 的假设成立。故有， a A g （sin A cos ） 0.196

m / s 2 ，因与实际不符，则 A 静止。

a B g （sin B cos ） 3.27m/ s 2

(2)如 B 与 A 互换位置，则 gcos ( A

B

) a B a A 0，即 B 物体运动得比 A

快 ， 所 以 A 、 B 之 间 有 拉 力 且 共 速 ， 用 整 体 法 可 得 m A gsin m B g sin A m A gcos B m B gcos (m A m B )a 代入数据求出

2

a 0.96m / s 2 ，用隔离法对 B 进行分析，可得： m B g sin B m B gcos F T m B a ， 代入数据求出 F T 11.5N

( 3)如斜面光滑不计摩擦，则 A 和B 沿斜面的加速度均为a gsin 5m/ s2，故

两物体间无作用力。

例2 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为，在斜杆下端固定有一质量为m 的小球，下列关于杆对球的作用力 F 的判断中，正确的是( )

A. 小车静止时，F mgsin ，方向沿杆向上

B. 小车静止时，F mgcos ，方向垂直杆向上

C. 小车向右以加速度a 运动时，一定有F ma/ sin

D. 小车向左以加速度a 运动时，F (ma)2 (mg)2，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为arctan(a / g)

答案：D

一点通：对物体进行受力分析的过程中，确定杆的弹力的方向是难点，它可以是沿杆的方向，也可以不沿杆方向，所以首先计算出弹力沿着杆的方向时所对应的临界加速度，再来比较运动时间和临界加速度的关系。

解答：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向为竖直向上，且大小等于球的重力

mg 。

小车向右以加速度a 运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为，如下图所示，根据牛顿第二定律有：F sin ma，F cos mg ，两式相除得：tan a/ g 。

只有当球的加速度a gtan 且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有

F ma/sin 。

小车向左以加速度a 运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg 和杆对球的作用力F 22

的合力大小为ma ，方向水平向左。根据力的合成知F (ma)2 (mg) 2，方向斜向左上

方，与竖直方向的夹角为：arctan(a / g) 。

例3 如图所示，a 中的A 、B 用轻绳相连系于天花板上；b 中的C 、D 用轻杆相连置于水平面上；c中的E 、F用轻弹簧相连置于水平面上；d中的G、H 用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在剪断a中系于天花板的绳；在b、c中撤掉支持面；剪断d 中系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？

一点通：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。只要抓住绳、杆、弹簧的特点就可以准确解题。

解答：在a 、b 两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，A、B、C 、D 均做自由落体运动，故有a A a B a C a D g 。

在c 情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能可发生突变，仍为原来的值(这是由于弹簧恢复原状需要时间) ，E受到的合力仍为零，F 受到的合力为2mg，故a E 0，a F 2g 。

在d 情景中，解除外界约束的瞬间，G受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为2mg ，而系于G 、H 之间的弹簧的弹力不可能发生突变，仍为原来的值，则H 受到的合力仍为零，故a G 2g ，a H 0 。

综合运用类

例1 用如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上运动时的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装了一个压力传感器a 和b 。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量m ＝2.0kg 的滑块，滑块可无摩擦滑动；两弹簧的另一端分别压在 a 、b 上，其压力大小可直

接从传感器的液晶显示屏上读出。当弹簧作用在传感器上的力为压力时，示数为正；当弹簧作用在传感器上的力为拉力时，示数为负。现将装置沿汽车运动方向固定在汽车上。汽车静止时，a、b 的示数均为10N (取g ＝10m/s 2)。

⑴若传感器 b 的示数为 14N ， a 的示数应该是多少？ ⑵当汽车以什么样的加速度运动时，传感器 b 的示数为零？

⑶若传感器 b 的示数为－ 5N ，汽车的加速度大小和方向如何？

一点通： 该题以压力传感器为栽体，考查涉及到弹簧弹力的牛顿运动定律的计算。 解答： ⑴由题意知：

F a0 ＝F b0 ＝ kx 0＝10N ， F b ＝k （ x 0＋Δ x ）＝14N 解之得：ΔF b ＝ k Δ x4＝N 代入得： F a ＝k （x 0

－Δx ）＝ 10N －4N ＝6N ⑵传感器 b 的示数为零时，Δ F b ′＝ 10N 则 F a ′＝ F a0 ＋ΔF b ′＝ 10N ＋

10N ＝20N 对m 应用牛顿第二定律得 F a ′＝m a

得 a ＝

F 20

m/s 2

＝

10m/s

2

m 2.0 加速度的方向向左。 ⑶若当 F b ′＝ －5N 时，ΔF b ″＝ 15N 则 F a ″＝ F a0 ＋ΔF b ″＝

10N ＋15N ＝25N

m 受到的合力大小为 F ′＝ F a ″＋ F b ＝25N ＋5N ＝30N ，

此时 m 的加速度为：

例 2 将金属块用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，如图所示， 在箱的上顶板和下底 板安有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以

a ＝ 2.0m/s 2 的加速度做竖直向上的匀 减速

运动时， 上顶板的传感器显示的压力为 6.0N ，下底板的传感器显示的压力为 10.0N （g ＝ 10m/s 2 ）

⑴若上顶板的传感器的示数是下底板的传感器示数的一半，试判断箱的运动情况。 ⑵要使上顶板传感器的示数为 0，箱沿竖直方向的运动可能是怎样的？

一点通 ：该题和例 1 类似， 也是涉及到压力传感器的问题， 其解题要点仍然在于通过对 研究对象的受力分析，应用牛顿运动定律求解其加速度，从而判断箱子的运动情况。

30

m/s 2

2

＝15m/s

方向向左。

解答：（ 1）取向下为正方向，设金属块质量为 m ，由 F 上 F 下 mg ma

将 a ＝ 2.0m/s 2 代入

解得 m ＝ 0.5kg 因上、下传感器都有压力，所以弹簧长度不变，弹簧弹力仍为 10N ，上顶板对金属块

10 压力为 F 上

5N. 根据 F 上 F'下 mg ma 1

上

2 1

解得 a 1＝0 ，即箱子处于静止或做匀速直线运动状态。 （2）要使上顶板无压力，弹簧只能等于或小于目前长度，则下底板压力只能等于或大 于 10N ，即 F 下 mg ma ，F 下≥ 10N

解得 a ≥ 10m/s 2。即箱以 a ≥ 10m/s 2的

加速度向上做匀加速运动或向下做匀减速运动，传感器示数为 0。

思维拓展类

例 1 （全国理综 III · 2如4 ）图所示， 在倾角为 θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连 的物块 A 、

B ，它们的质量分别为 m A 、m B ，弹簧的劲度系数为 k ，

C 为一固定挡板。系统 处于静止状态。现开始用一

恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动，求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此时，物块 A 的位移 d 。

一点通： 分析该题的难点在于物体运动过程分析，首先要注意，初始情况下物体静止，

对于 A 有： F m A g sin

kx 1 m A a ，解得

F (m A m B )g sin

a

m A

刚开始运动时， A 的受力情况如图所示

则弹簧处于压缩状态，随着

的形变进行求解。

B 离开挡板则弹簧必定拉长，所以 A 物体的位移可以通过弹簧

解答： B 刚离开 C 时， A 、B 受力情况如图所示：

N 1

A

kx 1

B kx 1

m A g

对于 B 有： kx 1 m B g m B g

sin

kx 2 m A g sin

从开始到 B 离开 C ，A 的位移为

m B g sin m A g sin (m A m B )g sin 例 2 如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体 P 处于静止。 P 的质量为 12kg ，弹簧的劲度系数 k ＝800N/m 。现给 P 施加一个竖直向上的力 F ，使 P 从静止开始向上做匀加速运动。已知在前

0.2s 内 F 是变化的，在 0.2s 以后 F 是恒

力，则 F 的最小值是多少，最大值是多少？

一点通： 该题求解时最容易犯的错误在于对题且所叙述的过程不理解。 通过运动过程分 析找出题目的隐含条件， 0.2s 是外力变化的转折点， 0～0.2s 内 F 是变力，物体做匀加速直 线运动， 0.2s 后 F 是恒力，物体脱离秤盘，此时拉力为最大值。

解答： 以物体 P 为研究对象。物体 P 静止时受重力 G 、秤盘给的支持力 N 。 因为物体静止，∑ 0 F ＝

则 N ＝G ＝ 0 ①

N ＝kx 0②

设物体向上做匀加速直线运动的加速度为 据牛顿第二定律有： F ＋ N ′－G ＝ ma ③

当 0.2s 后物体所受拉力 F 为恒力，即为 P 与盘脱离，即弹簧无形变，由 0～ 0.2s 内物 体的位移为

x 0。物体由静止开始运动，则

将式①，②中解得的 x 0＝ 0.15m 代入式④解得 a ＝ 7.5m/s F 的最小值由式③可以看出，即为 N ′最大时，即初始时刻 N ′＝ N ＝ kx 。 代入③式得

kx 2

d x 1

x 2

k k k

此时物体 P 受力情况如图所示，其受重力

G ，拉力 F 和支持力 N ′作用

a 。