近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)
多所高校近世代数题库
一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ）
5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ）
6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ）
8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ）
9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ）
10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ）
二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）
①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；
③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同；
④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab
b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）
①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。
5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）
①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。
6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ）
①6； ②24； ③10； ④12。
7、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ）
①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元；
③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。
9、下列正确的命题是（ ）
①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；
③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ）
①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；
③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。
三、（2011年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f
1 。 3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。 4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。
5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。
7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。
8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且仅当I 是 。
9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。
10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。
四、（2011年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'
d d =。
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
五、（2011年近世代数）计算题（共15分，每小题分标在小题后）
1、给出下列四个四元置换 ???
?
??=???? ??=???? ??=???? ??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14
131211,,,----ππππ和G 的所有子群。 2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。
3、群G=(a),|a|=7，求出群G 的所有子群。
六、（2011年近世代数）证明题（每小题10分，共40分）
1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。
2、设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。
3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}
2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。
4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。
5、整数环Z 中，证明（3，7）=(1)
6、证明：域是欧式环。
7、证明群同态定理第一条。
8、R[x]条件下，做映射：f ：g(x)=g(0),求证：在f 映射下R[x]与R 同构,并求其核。
多所高校近世代数题库答案
一、（近世代数）判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、（近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④
三、（近世代数）填空题
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。
2、a 。
3、φ。
4、n m 。
5、变换群。
6、()13524。
7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。
8、一个最大理想。
9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。
四、（近世代数）改错题
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。S=I 或S=R
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'
d 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d=d ′。
一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。不都等于零的元
近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ）
A 、满射而非单射
B 、单射而非满射
C 、一一映射
D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说
A 、不是唯一
B 、唯一的
C 、不一定唯一的
D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）
A 、不相等
B 、0
C 、相等
D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）
A 、倍数
B 、次数
C 、约数
D 、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{
}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，??
????=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=，定义m M 中运算“m +”为a
m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。
2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、
3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4
a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得
010=+++n n a a a αα 。 8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
2、设E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E 中的运算，（E ，?）是一个代数系统，问（E ，?）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若
2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a ?b 当且仅当m ︱a –b 。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A 、2阶
B 、3 阶
C 、4 阶
D 、 6 阶
2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A 、4个
B 、5个
C 、6个
D 、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A 、偶数
B 、奇数
C 、4的倍数
D 、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A 、（N,≤）
B 、（Z,≥）
C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））
D 、 (P(A),?)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A 、(1)，(123)，(132)
B 、12)，(13)，(23)
C 、(1)，(123)
D 、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则
()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z 8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果
e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？
3、设有置换)1245)(1345
(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2
a =e 。
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选
均无分。
1.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射
?：x →x ＋2，?x ∈R ，
则?是从A 到B 的（ ）
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S 3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S 3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A.(1)，(123)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)
D.S 3中的所有元素
4.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）
A.整系数多项式全体Z ［x ］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q 上的n 级矩阵全体M n (Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”：?m ， n ∈Z ， m n ＝0
D.整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”：?m ， n ∈Z ， m n ＝1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A 的一个等价关系。
7.设(G ，·)是一个群，那么，对于?a ，b ∈G ，则ab ∈G 也是G 中的可逆元，而且(ab)－1＝
___________。
8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于?a ∈G ，则元素a 的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个不变子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。
11.设Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________。
12.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是___________。
13.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主理想，则(x)＝_____________
___________。
14.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是___________
___________。
15.有理数域Q 上的代数元2+3在Q 上的极小多项式是___________。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z 为整数加群，Z m 为以m 为模的剩余类加群，?是Z 到Z m 的一个映射，其中
? ：k →［k ］
，?k ∈Z ， 验证：?是Z 到Z m 的一个同态满射，并求?的同态核Ker ?。
17.求以6为模的剩余类环Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z 6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）
19.设G ＝{a ，b ，c}，G 的代数运算“ ”
由右边的运算表给出，证明：(G ， )作成一个群。
20.设
,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c b a R ?
?????∈???? ??=??????∈???? ??= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I 是R 的一个子环，但不是理想。
21.设(R ，＋，·)是一个环，如果(R ，＋)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；
2、单位元；
3、交换环；
4、整数环；
5、变换群；
6、同构;
7、零、-a ；
8、S=I 或S=R ；
9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：
)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ
可知σ为奇置换，τ为偶置换。 σ和τ可以写成如下对换的乘积：
)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=。若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。
3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M
中有两个不同的单位元素0和m 。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。
2、证明在F 里
)0,,(11≠∈=
=--b R b a b a a b ab a b c a a b c b b c a c c a b
有意义，作F的子集
)0
,
,
(≠
∈
?
?
?
?
?
?
=
-
b
R
b
a
b
a
Q所有
-
Q显然是R的一个商域证毕。
近世代数模拟试题二参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。
1、C；
2、D；
3、B；
4、B；
5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n乘余类加群；
5、{2}；
6、一一映射；
7、不都等于零的元；
8、右单位元；
9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明设e是群
若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为
[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、C；
2、C；
3、D；
4、D；
5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；
2、a；
3、2；
4、24；
5、；
6、相等；
7、商群；
8、特征；
9、
n m
；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，
因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．
)
56
)(
1243
(
=
στ，)
16524
(
1=
σ
τ-；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义
μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈?=1b b
这就是说μ=R ，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，
所以b=a-1。
近 世 代 数 试 卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ）
5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ）
6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ）
8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ）
9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ）
10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）
①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；
③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同；
④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab
b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）
①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。
5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）
①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1
-。 6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ）
①6； ②24； ③10； ④12。
7、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ）
①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元；
③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。
9、下列正确的命题是（ ）
①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；
③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ）
①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；
③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f
1 。 3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。 4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。
5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。
7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。 8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R
是一个域当且仅当I 是 。 9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。
10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'
d d =。
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）
1、给出下列四个四元置换 ???
? ??=???? ??=???? ??=???? ??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14
131211,,,----ππππ和G 的所有子群。 2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。
六、证明题（每小题10分，共40分）
1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。
2、设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。
3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}
2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。
4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。
近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④
三、填空题
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。
2、a 。
3、φ。
4、n m 。
5、变换群。
6、()13524。
7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。
8、一个最大理想。
9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。
10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。
四、改错题
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
S=I 或S=R
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'
d 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d=d ′。
一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。 不都等于零的元
啊啊 点集拓扑试题样卷A
一、单项选择题 (每小题3分，共30分)
1、设{,,}X a b c =，下列集族中,X 上的拓扑是 ………………… （ ）.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =………………（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
3、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的
非空真子集的个数为 ………………………………………… （ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
4、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是 ………………… （ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R
5、在实数空间中，区间[0,1)的内部是 ……………………… （ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)
6、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =
7、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,
则X 的子空间A 的拓扑为 ………………………………………( )
① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=
8、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.
1P 是X 到1X 的投射，则1P 是………………………………………（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
9、离散空间的任一子集为 ……………………………………… ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
10、在实数空间R 中，下列集合是开集的是…………………………（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '
1、 ②
2、④
3、②
4、④
5、④
6、 ③
7、②
8、④
9、③ 10、④
二、填空题 (每小题4分，共20分)
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为{,}T X φ=；
2、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 可分空间 ；
3、正则的1T 空间称为3T 空间；
4、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ??? 也具有性质P ，则性
质P 称为 有限可积性质；
5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 商映射;
三、名词解释（每小题4分，共20分）
1、序列
是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.
2、1 A 空间
一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.
3、正则空间：
设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭
集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.
4、紧致空间
设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空
间X 是一个紧致空间.
5、同胚映射
设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和
1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
四、证明题（每小题6分，共30分）
1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =? …………………………………………… 3分
于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())
(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------???????=???=
所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----?=?==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 6分
2、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈?,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈? ,使得}{y X V y -?. 于是'
?y V y }{, …………………………………………………3分
由上面的讨论我们知道：
}{}{}{}{y X y y
x X y V y x X -∈-∈'?=
- 因为}{x X -是一个不可数集，而 }{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………6分
3、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞
=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ?=.因1lim i i x y →∞
=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.…………………………………………3分
令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈?，从而U V φ?≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯
一. ………………………………6分
4、证明4T 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集. 证明：设C 是4T 空间X 中的一个连通子集，如果C 不只包含一个点，任意选取,,x y C x y ∈≠.对于4
T 空间X 中的两个无交的闭集{},{}x y ，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射:[0,1]f X →，使得()0f x =和()1f y =.………………………………………3分
由于C 是X 的一个连通子集，从而()f C 连通，由于0,1()f C ∈，
所以()[0,f C =，由于[0,1是一个不可数集，所以C 也是一个不可数
集. ……………………………………………………………6分
5、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，X Y ?.证明：如果A Y A ??,则Y 也是X 的一个
紧致子集.
证明：设A 是任意一个由X 中的开集构成的Y 的覆盖，因此A 也是A 的一个覆盖，由于A 是X 的紧致子集，从而A 有有限个成员n A A ,,1 使得 n
i i A A 1=?. …………………………………3分
由于A 是正则空间的紧致子集，从而A 有一个开邻域U ，使得 n i i A U 1=?,从而有Y A A n
i i ??= 1,
从而A 有有限子覆盖},,{1n A A ，因此Y 是X 的一个紧致子集. ………………6分
点集拓扑试题样卷B
一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共18分)
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中， 是X 上的拓扑.…… （ ）
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T
④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
2、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a 是 ……………… （ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b
3、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[3]}Y =,则Y 的商拓扑是 （ ）
① {,,{[3]},{[2],[3]}}Y φ ② {,,{[3]}}Y φ
③ {,,{[3]},{[1],[2]}}Y φ ④ {,}Y φ
4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 ……………………… （ ）
①连通性 ② 2T ③ 正则 ④正规
5、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是 ………………（ ）
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 3T
6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 …………………… （ ）
① 连通性 ② 紧致性 ③ 正则性 ④ 可分性
1、③
2、②
3、①
4、②③
5、①
6、①②③④
二、简答题（每题4分，共32分）
1、写出同胚映射的定义.
设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和
1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射.
2、什么是不连通空间?
设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个不连通空间.
3、什么是正则空间？
设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.
4、写出紧致空间的定义.
设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称 拓扑空间X 是一个紧致空间.
5、写出可分空间的定义
设X 是一个拓扑空间，若X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间。
6、写出列紧空间的定义.
设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.
7、写出导集的定义.
设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
8、写出Urysohn 引理的内容.
设X 是一个拓扑空间，[,]a b 是一个闭区间. 则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射:[,]f X a b →,使得当x A ∈时()f x a =和当x B ∈时()f x b =.
三 、判断下列各题的正误, 正确的打√，错误的打×，
并说明理由 （每题 5分，其中判断2分，理由3 分，本题共10分）
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 ………… （ √ ）
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,
由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，
则X 是一个不连通空间 ……………………………… （ √ ） 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空间.
四、证明题（共40分).
1、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两
个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?. (7分) 证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的开集.
又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?
2、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.
(7分)
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，
设为V x ,因为X 是有限补空间，因此对x y X y ≠∈?,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈? ,使得}{y X V y -?.
于是'?y
V y }{, 由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'?=
-
因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
3、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一. (7分) 证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞
=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ?=.
因1lim i i x y →∞
=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈?，从而U V φ?≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯一.
4、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集.
(7分)
证明：对于x A '?∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设1()W f U V -=?，
则W 是x 的开邻域，并且x W A '∈?,故A '是开集，
从而A 是闭集.
5、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射.如果X 是一个紧致空间，证明()f X 是Y 的一个
紧致子集. (7分)
证明：设C 是()f X 的一个由Y 中的开集构成的覆盖.对于任意
C ∈C ，1()f
C -是X 中的一个开集，由于c C X ∈? C ,从而有：
111()()(())C C f C f C f f X X ---∈∈=?= C C
所以1()|f C C -∈A={C}是X 的开覆盖.由于X 是紧致空间，所以 A 有一个有限子覆盖，设为111{(),,()}n f C f C -- .………………………4分
因为11111()()()n n f C f C f C C X ---??=??= ，从而1()n C C f X ??? ，即1{,,}n C C 是C 的一个子族并且覆盖()f X ，因此()f X 是Y 的一个紧致子集.
6、设X 为Hausdorff 空间 ,X X f →:是一个连续映射, 且f f f = ．
证明:)(X f 是X 的闭集．
证明：对)(X f X x -∈?，则x x f ≠)(，由于X 是Hausdorff 空间，存在x 和)(x f 的邻域V U ,1，使得Φ=?V U 1.又因为f 连续,故存在x 的邻域2U ,使得V U f ?)(2,令21U U U ?=,则U 是x 的邻域,且)(X f X U -?.
事实上,若存在U z ∈使得)(X f z ∈,即 y X ?∈使得)(y f z =.于是()()()f z f f y f y z === ,而V U f z f ?∈)()(,
这样,Φ=???∈V U V U z 1,矛盾.所以)(X f X U -?,即)(X f 是闭集.
近世代数期末考试试卷及答案Word版
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得
近世代数期末考试试卷与答案
一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。
多所高校近世代数期末考试题库[]
多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法
近世代数期末考试试卷
近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数复习试题2010级
《近世代数》复习试题 一 填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
近世代数期末试题
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
《近世代数》模拟试题1及答案
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
近世代数期末试题
近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
近世代数期末考试题库45962
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
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世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）
近世代数期末考试真题
近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。
近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题
多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分） 1、设A与B都是非空集合，那么A_. B」xx?A且B：。（） 2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f」。（） 4、如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。（） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（） 6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为-g ? G,-h? H;g'Hg H 。（） 7、如果环R的阶_2，那么R的单位元1-0。 （） 8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（） 9、F（x）中满足条件p（「）=0的多项式叫做元［在域F上的极小多项式。（） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%p）同构的子域，这里Z是整数环，（p ）是由素数p生成的主理想。（） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号 内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设A,A2,…，A n和D都是非空集合，而f是A1 A2… A n到D的一个映射，那么（） ①集合A,A2,…，A n,D中两两都不相同；② A1,A2/ , A n的次序不能调换； ③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同； ④一个元a1,a2,…，a n的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z上，a °b = —b；②在有理数集Q上，a°b = Jab ； ab 、 ③在正实数集R*上，a ^b=alnb:④在集合｛n^Zn^。｝上，a"b=a — b。 3、设是整数集Z上的二元运算，其中a ^max：a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a ^a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是（） ①0和-x ；②1和0 ；③k和x-2k ；④-k和-（x 2k）。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」，acx =xac，那么x=（） ① bc J a 4；② c °a '；③ a J bc J；④ b 'ca。 6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH ｝。如果6,那么G的阶G =（） ①6；②24；③10 ；④12。 7、设f ：G1 > G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（） ①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8设f :尺> R2是环同态满射，f（a）二b，那么下列错误的结论为（） ①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（） ①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（） ①E:I = E:I I :F ；② F:E=I:FE:I ； ③ I:…E:FF:I ；④ E:…E:II:F。
近世代数期末复习
m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。 证明，首先是循环环，则的理想就是的子加群。而的子加群都是循环群，是一个元素生成的。所以也是主理想。 0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r a I r b qa I a r b qa I I a I a >∈?<> =<>?∈∈=+≤<=-∈==∈?<>=<> 2、证明：是主理想整环。 显然，是整环。所以我们只证的理想都是主理想。 设，则存在，使得是中元素最小的。显然我们证明，，事实上，对。 由带余除法，存在使得因为是理想，则但根据的选取，必有则所以，则，即的任何理想都是主理想。 22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ?????????=∈=∈???????????????? --???????????∈=∈??????????-??????? ???????=???????? 、设证明是的子环是的理想 证：对，，则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ?+??∈??? ?-???????????∈=∈???????????????????? ???????????∈?∈=∈???????????????????? ??????=∈???????????? 则是的子环。，对，，则是的加法子群，I R 且是左理想和又理想。故是的理想。 4R R I R I I R I R I R I I ?、证明：是主理想整环，是的一个理想，则是域当且仅当是由素元生成的主理想。 证明：是域是的极大理想。而在主理想整环中，极大理想和素元生成的主理想是等价的。 则是域当且仅当是由素元生成的主理想
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WORD 格式整理 世代数模拟试题一 一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 分。 1、设 A ＝B ＝R(实数集 ) ，如果 A 到 B 的映射 ：x →x ＋2， x ∈R ，则 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么， A 与 B 的积集合 A ×B 中含 有（ d ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的 ( 两方程解一样 ) 4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（ c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（ d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、设集合 A 1,0,1 ； B 1,2 ，则有B A 。 2、若有元素 e ∈R 使每 a ∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元 。 3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环 。 4、偶数环是 整数环的子环。 5、一个集合 A 的若干个 -- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全 。 6、每一个有限群都有与一个置换群 同构 。 7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1，元 a 的逆元是 a-1 。 8、设 I 和 S 是环 R 的理想且 I S R ，如果 I 是 R 的最大理想，那么 --------- 。 9、一个除环的中心是一个 - 域----- 。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、设置换 和 分别为： 12345678 ， 12345678 ，判断 和 的奇偶性，并把 和 64173528 23187654 写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇 1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积： (1653)( 247)(8) (123)( 48)(57)(6) 可知 为奇置换， 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积： (13)(15)(16)(24)( 27) (13)(12)(48)(57) B 1 (A A) C 1 (A A)
北航2012抽象代数试卷与答案
班号学号姓名成绩 《抽象代数》期末考试卷 注意事项： 1、请大家仔细审题 2、千万不能违反考场纪律 题目： 一、判断题（每小题2分，共20分）(?) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。 (√) 3、任何群都与一个变换群同构。 (√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 (√) 5、素数阶群必为循环群。 (?) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 (√) 7、环的理想构成其子环。 (?) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 (?) 9、格保序映射必为格同态映射。 (√) 10、设A?S，则< P(A)，? > 是格< P (S)，? > 的子格。 二、填空题（10分） 1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。 2、设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _； 并且 a k = e 当且仅当__n | k 3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。 4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+2 5、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。 对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。 三、计算题（40分，每小题8分） 1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。 解： 所有子群是： <{1}, ?11 > <{1, 3, 4, 5, 9}, ?11 > <{1, 10}, ?11 > < N11—{0}，?11 >