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《改造我们的学习》学案

《改造我们的学习》学案
《改造我们的学习》学案

《改造我们的学习》学案

一、学习目标

1、理解文章是怎样围绕观点选用材料进行逻辑论证的,了解议论文的要素特征

2、明确理论与实践相结合是马列主义的基本原则,树立实事求是的学风。

3、学会筛选信息,积累文中成语。

二、学习重点

1、清晰的思路,典型的例证

2、准确、鲜明、生动的语言

三、学习方法

采用整体感知、勾画关键语句、精读重点语段的阅读方法

四、教学时数:两教时

第一课时

学习要点:整体感知文章思路,研读第一部分。

学习步骤:

1、导入:学生回忆已读的毛泽东的诗文,进入感知这一篇论辩色彩强烈的议论文。

2、在预读课文的基础上,自测《课课练》识别记忆应掌握的成语的含义:

(1)、前仆后继

(2)、生吞活剥

(3)、等闲视之

(4)、有的放矢

(5)、哗众取宠

(6)、徒有虚名

(7)、若明若暗

(8)、粗枝大叶

(9)、夸夸其谈

(10)、谬种流传

(11)、华而不实

(12)、可歌可泣

3、根据单元学习重点和课文学习重点,要求筛选主要观点及其论据,筛选重要语句。同学们速读全文,整体感知文章思路

4、带着以下问题通读全文

(1)、部分与部分之间、段落与段落之间都是有机联系的,文章少不了相应的关键句,请注意这些词语的筛选。请首先画出显示文章思路的语句。

(2)、围绕文章题目,全文是如何展开的,段落与段落之间的逻辑关系是怎样的?议论问一般有提出问题、分析问题、解决问题的过程。本文符合这样的过程吗?具体说明。

(3)、回应题目,整体感知全文思路,把握文章大意。(结合课后练习一)

5、研读课文第一部分

方法:抓住关键语句、捕捉重要信息。

问题1、第一部分的中心句是哪句?

中心句的关键词是哪一个?

注意体会关键词的统领作用。

问题2、段落中对应性的语句有何等肤浅,何等贫乏深刻得多,丰富得多。理解对应性词语分别是从什么样的角度来认识的?

问题3、中国共产党倡导者、宣传者、组织者。这句中倡导者、宣传者、组织者的语序能否颠倒,为什么?注意后面部分还有类似的逻辑性极强、语序严密、组织紧凑的句子,将他们画出来。

6、完成《课课练》P45中对本段文字设计的相关练习

7、本堂课内容小结

8、作业布置

(1)、课后练习四

(2)、阅读读本第10课《人的正确思想是从哪里来的?》

第二课时

学习要点:重点研读第三部分,学会筛选信息,把握要点的方法。

学习步骤:

1、自查上堂课作业,有两处必须掌握和了解。

(1)、练习四:解释加点字

(2)、延安整风运动三大文献:本文和《整顿党的作风》、《反对党八股》。

2、学习理清第二部分的行文脉络。

方法:联系上下文,把握相关信息。

注意:一是对应性(明晰)

二是逻辑性(严密)

3、重点研读第三部分

讨论以下问题:

(1)、开头一句的作用是什么?

(2)、将两种态度进行对比,分别是从哪些方面进行对比的。

方法:运用比较法,准确筛选出相关信息。

比较:一是要同类,二是要对应,三是要抓重点

(3)、这部分文字极其典型地体现出毛泽东历来倡导的语言风格:准确、鲜明、生动。

所谓准确:主要表现在用词的恰当上。

鲜明:主要表现在态度上不含糊。爱憎、对错、肯定与否定非常分明。

生动:大量使用成语、口语、俗语,活泼风趣,灵活运用一些文言词语,做到古为今用。多处运用比喻、排比、对偶等修辞手法

请划出本部分能够体现准确、鲜明、生动语言风格的句子,并说说这样用的好处。

4、穿插练习:课课练P34

5、简读文章第四部分、总结全文。

(1)、文章处处充满对比:

除了第三部分重点对比外,如第一部分与第二部分也是一种对比(一、成绩;二、缺点)论证改造我们学习的重要性。

小而言之,句子中亦充满对比色彩:不以为耻,反以为荣等等。因此对比即是一种修辞格,同时也是一种手法,而本文更是一种对比论证。

(2)、多种论证方法的综合运用。

A、例证法

B、引证法

C、对比法

请分别举例说明。

6、研究性学习:课文练习二第2题简答如下:

(《我爱这土地》《乡愁》)学案

自主预习

(1)诗人为何不用“珠圆玉润”之类的词而用“嘶哑”形容鸟儿唱的歌喉?从中你可体会到什么?

(2)鸟儿歌唱的内容中,“土地”“河流”“风”“黎明”有哪些深刻的含义.结合时代特征,说说它们有哪些象征意蕴?

(3)诗句“然后我死了,连羽毛也腐烂在土地里面.”有何深意?

(4)诗歌的第二节与第一节有着怎样的联系?把第二节去掉,诗歌主题的表达将会受到怎样的影响?

(5)概括本诗的主旨.

乡愁

自主预习2

诗人所抒写的“乡愁”是怎样随着时间的推移而加深、升华的?

这四种对象前表修饰、限制的形容词和数量词有什么特点?它们共同突出了这四样东西的什么特征?在诗中有什么表达效果?

③诗歌的第四节对诗意的拓展有怎样的重要作用?

拓展延伸

1、台湾当代女诗人席慕蓉的《乡愁》(详见课本P5)也是抒写乡愁的,说说它与课文在表达上各有什么特点?

2.语言运用.

余光中说乡愁是“浅浅的海峡”,席慕蓉说是“没有年轮的树”,那么,如果有一天走出家门,你心中最惦记的是什么?请发挥想象,仿照课文,用漂亮的比喻句尽现你的感觉.

乡愁是;乡愁是;

乡愁是;乡愁是;

3、小结

同学们,“乡愁”是我国传统文学历久常新的主题,像唐代诗人李白的名作《静夜思》:“.”王湾《次北固山下》:“

”崔颢《黄鹤楼》:“”余光中的首这《乡愁》诗,无论是内容还是形式,都映射着中国古典诗词的神韵和魅力.吟诵这深情的恋歌,我们掂量出了诗人思想中中国意识的分量.

教学后记:

定积分的简单应用求体积

定积分的简单应用求体 积 Document number:BGCG-0857-BTDO-0089-2022

定积分的简单应用(二) 复习: (1) 求曲边梯形面积的方法是什么 (2) 定积分的几何意义是什么 (3) 微积分基本定理是什么 引入: 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题:设由连续曲线()y f x =和直线x a =,x b =及x 轴围成的平面图形(如图甲) 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ,如何求V 分析: 在区间[,]a b 内插入1n -个分点,使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把曲线()y f x =(a x b ≤≤)分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”,如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-,1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片,如图乙所示。当i x ?很小时,第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此,第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和:

2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题,则有: 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳: 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =,x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成,则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 (1) 找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数 (2) 分清端点 (3) 确定几何体的构造 (4) 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y ,其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一:求简单几何体的体积 例1:给定一个边长为a 的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积 思路: 由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。 解:以正方形的一个顶点为原点,两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为: 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?

《定积分》教学设计与反思

《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. 教学重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 教学难点:了解微积分基本定理的含义. 一、自主学习: 1.定积分的定义:, 2.定积分记号: 思想与步骤 几何意义. 3.用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1:微积分基本定理: 背景:我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算,其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 探究问题1:变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)(), 则物体在时间间隔内经过的位移记为,则 一方面:用速度函数v(t)在时间间隔求积分,可把位移= 另一方面:通过位移函数S(t)在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2: 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示:我们找到了用的原函数(即满足)的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数,则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1.计算下列定积分: 新知2:用定积分几何意义求下列各式定积分: 若求 新知3:用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么? 教学反思 本课的教学设计,是在新课程标准理念指导下,根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看,整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中,教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌,而是借用学生已有的知识经验和生活实际,有效地理解了微积分的基本定理,具体反思如下: 1、改变定理的表述形式,丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点,我在教学过程中,出示例题、习题时,呈现形式力求多样、新颖,让学生多种感官一起参与,以吸引学生的注意力,培养对数学的兴趣。本课的教学中,我大胆地改变了教材中实例分析顺序,重组和创设了这样一个情境,从而引入速度关于时间的定积分背景,即切合学生的生活实际,又让学生发现了定理的实际意义,理解了定理的本质,激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值,培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出,要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念,例题中涉及路程和速度,让学生感受到数学与生活的密切联系,通过自己的探究,运用数学的思维方式解决问题,又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题,,培养了学生的应用意识。

勾股定理的逆定理专题练习

勾股定理的逆定理 专题训练 1.给出下列几组数:①111,,345 ;②8,15,16;③n 2-1,2n ,n 2+1;④m 2-n 2,2mn ,m 2+n 2(m>n>0).其中—定能组成直角三角形三边长的是( ). A .①② B .③④ C .①③④ D .④ 2.下列各组数能构成直角三角形三边长的是( ).A .1,2,3 B .4,5,6 C .12,13,14 D .9,40,41 3.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是( ).A .8 B .10 C .11 个D .12个 4.如果一个三角形一边的平方为2(m 2+1),其余两边分别为m -1,m + l ,那么 这个三角形是( ); A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 5.ABC ?的两边分别为5,12,另—边c 为奇数,且a + b + c 是3的倍数,则c 应为_________,此三角形为________. 6.三角形中两条较短的边为a + b ,a - b (a>b ),则当第三条边为_______时,此三角形为直角三角形. 7.若A B C ?的三边a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a +8b +l0c ,则此三角形是_______三角形,面积为______. 8.已知在ABC ?中,BC =6,BC 边上的高为7,若AC =5,则AC 边上的高为 _________. 9.已知一个三角形的三边分别为3k ,4k ,5k (k 为自然数),则这个三角形为______,理由是_______. 10.一个三角形的三边分别为7cm ,24 cm ,25 cm ,则此三角形的面积为_________。 11.如图18-2-5,在ABC ?中,D 为BC 上的一点,若AC =l7,AD =8,CD=15,AB =10,求ABC ?的周长和面积. 12.已知ABC ?中,AB =17 cm ,BC =30 cm ,BC 上的中线AD =8 cm ,请你判断ABC ?的形状,并说明理由 .

§1.7定积分的简单应用

定积分的简单应用 一:教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法; 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 4、 体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功)。 过程与方法 情感态度与价值观 二:教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三:教学过程: 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么? 2、定积分的几何意义是什么? 3、微积分基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例1.计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解:2 01y x x x y x ?=??==? =??及,所以两曲线的交点为 (0,0)、(1,1),面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?,所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O

巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2.计算由直线4y x =-,曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析:首先画出草图(图1.7 一2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2.为了确定出被积函数和积分的上、下限,需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标, 直线4y x =-与 x 轴的交点. 解:作出直线4y x =-,曲线2y x =的草图,所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积. 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为(8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图, 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。

勾股定理及其逆定理的综合应用教案教学设计导学案

知识点:勾股定理及其逆定理的综合运用 问题情境1:运用勾股定理和逆定理求面积 问题模型:已知一含有直角的四边形的边长,综合运用定理和逆定理求面积 求解模型: 【例题】 【分析】由于∠B 是直角,因此连接AC 将问题转化为直角三角形问题加以解决;求出AC 的长,再在三角形ACD 中用逆定理判定其为直角三角形,再求面积。 【答案】 练习 1.已知:如图,四边形ABCD ,AB=1,BC=43,CD=413,AD=3,且AB ⊥BC 。 求:四边形ABCD 的面积。 在已知直角三角形中运用定理求出对角线长 连对角线将四边形分为两个三角形,其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形 求四边形的面积 D A B C A D C B

【答案】 连接AC ,在Rt △ABC 中用勾股定理求出AC= 4 5 ,在 △ACD 中由AD 、CD 的长结合AC 的长,运用逆定理判定它为直角三角形,求出两直角三角形面积再求和,得四边形的面积为 4 9。 【答案】 3.在△ABC 中,AB =15,AC =13,D 是BC 边上一点,AD =12,BD =9,则△ABC 的面积 为 . 【答案】84 4.如图,已知CD =6m ,AD =8m ,∠ADC =90°,BC =24m ,AB =26m .求图中阴影部分的面 积. 【答案】96cm 2 问题情境2:运用勾股定理和逆定理求四边形的角度 问题模型:已知一含一直角的四边形的边长,综合运用定理和逆定理求角度 求解模型: 在已知直角三角形中运 用定理求出对角线长 连对角线将四边形分为两个三角形,其中一个为直角三角形 运用逆定理判定另一三角形为直角三角形 用特殊角求角度 A C B D (第4题)

初中数学教师资格面试《勾股定理的逆定理》教案

初中数学教师资格面试《勾股定理的逆定理》教案: 课题:勾股定理的逆定理 课型:新授课 课时安排:1课时 教学目的: 一、知识与技能目标 通过对一些典型题目的思考、练习,能正确、熟练的进行勾股定理有关计算,深入对勾股定理的理解。 二、过程与方法目标 通过对一些题目的探讨,以达到掌握知识的目的。 三、情感、态度与价值观目标 感受数学在生活中的应用,感受数学定理的美。 教学重点:勾股定理的应用。 教学难点:勾股定理的灵活应用。

课前准备:圆规、直尺。 教学过程: (一)导入 1、创设情境 据说,几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后,用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,如图。这样围成的三角形中,最长边所对的角就是直角。知道为什么吗? 这节课我们一起来探讨这个问题,相信同学们会感兴趣的。 2、动手操作 用圆规、直尺作△ABC,使AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,如图,量一量∠C,它是90°吗?

例1:根据下列三角形的三边的值,判断三角形是不是直角三角形。如果是,指出哪条边所对的角是直角?3、抛出问题 为什么用上面的三条线段围成的三角形,就一定是直角三角形呢?它们的三边有怎样的关系? (二)新授 1、小组合作 如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的关系,那么这个三角形是直角三角形吗? 通过讨论和证明可以得到如下定理:勾股定理的逆定理——如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 2、进一步检验 例2已知:在△ABC中,三条边长分别为,,。求证:△ABC为直角三角形。

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)精讲

第3章《勾股定理》: 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1.你听说过亡羊补牢的故事吗如图,为了防止羊的再次丢次,小明爸爸要在高0.9m,宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板,这条木板需 m 长. (第1题)(第2题)(第3题)2.如图,将一根长24cm的筷子,底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是 cm. 3.如图所示的一只玻璃杯,最高为8cm,将一根筷子插入其中,杯外最长4厘米,最短2厘米,那么这只玻璃杯的内径是厘米. 4.如图,一架10米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,梯子下滑到了B′处,下滑后,两次梯脚间的距离为2米,则梯顶离路灯米. (第4题)(第5题)(第6题) 5.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!,高为2,若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路程是.(结果保留根号) 6.如图,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 m.(结果不取近似值)7.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=20m,点E在CD上,CE=2m,一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离约为 m.(边缘部分的厚度忽略不计,结果保留整数)

(第7题)(第8题)(第9题) 8.如图,有一圆柱,其高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁,它想得到上底面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为 cm.(π取3) 9.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是. 10.如图是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米,A,B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米. (第10题)(第11题)(第12题)11.在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且>AD,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C处需要走的最短路程是米.(精确到0.01米)12.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸,A 和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度是寸. 13.观察下列一组数: 列举:3、4、5,猜想:32=4+5; 列举:5、12、13,猜想:52=12+13; 列举:7、24、25,猜想:72=24+25; … 列举:13、b、c,猜想:132=b+c; 请你分析上述数据的规律,结合相关知识求得b= ,c= . 解答题 14.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论; (2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.

定积分的简单应用(6)

§1.7 定积分的简单应用(一) 一:教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法; 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 4、 体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功)。 二:教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三:教学过程: 定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例1.计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解:201y x x x y x ?=??==?=??及,所以两曲线的交点为(0,0)、(1,1),面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?,所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2.计算由直线4y x =-,曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解:作出直线4y x =-,曲线2y x =的草图,所求面积为图阴影部分的面积. 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为(8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案: 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin = 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案:3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S (-+(= 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M (0,-3) 2 x y =y x = A B C D O

勾股定理的逆定理说课稿 人教版(精美教案)

《勾股定理的逆定理》说课稿 一、教材分析 (一)、本节课在教材中的地位作用 “勾股定理的逆定理”一节,是在上节“勾股定理”之后,继续学习的一个直角三角形的判断定理,它是前面知识的继续和深化,勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一,是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一,在以后的解题中,将有十分广泛的应用,同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想,为将来学习解析几何埋下了伏笔,所以本节也是本章的重要内容之一。课标要求学生必须掌握。 (二)、教学目标:根据数学课标的要求和教材的具体内容,结合学生实际我确定了本节课的教学目标。 知识技能: 、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。 、掌握勾股定理的逆定理,并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形 过程与方法: 、通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识的发生、发展与形成的过程 、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形结合方法的应用 、通过勾股定理的逆定理的证明,体会数与形结合方法在问题解决中的作用,并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。 情感态度: 、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系 、在探究勾股定理的逆定理的活动中,通过一系列富有探究性的问题,渗透与他人交流、合作的意识和探究精神 (三)、学情分析 尽管已到初二下学期学生知识增多,能力增强,但思维的局限性还很大,能力也有差距,而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到,它要求根据已知条件构造一个直角三角形,根据学生的智能状况,学生不容易想到,因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点,这样如何添辅助线就是解决它的关键,这样就确定了本节课的重点、难点和关键。 重点:勾股定理逆定理的应用 难点:勾股定理逆定理的证明 关键:辅助线的添法探索 二、教学过程 本节课的设计原则是:使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中,通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道,进而达到完善学生的数学认识结构的目的。 (一)、复习回顾: 复习回顾与勾股定理有关的内容,建立新旧知识之间的联系。 (二)、创设问题情境 一开课我就提出了与本节课关系密切、学生用现有的知识可探索却又解决不好的问题,去提示本节课的探究宗旨。(演示)古代埃及人把一根长绳打上等距离的个结,然后用桩钉如图那样的三角形,便得到一个直角三角形。这是为什么?……。这个问题一出现马上激起学生已有知识与待研究知识的认识冲突,引起了学生的重视,激发了学生的兴趣,因而全身心地投入到学习中来,创造了我要学的气氛,同时也说明了几何知识来源于实践,不失时机

定积分教学设计

定积分的简单应用 一、教学目标 1、 知识与技能目标: (1)应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题; (2)学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、 过程与方法目标: 通过体验解决问题的过程,体现定积分的使用价值,加强观察能力和归纳能力,强化数形结合和化归思想的思维意识,达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、 情感态度与价值观目标: 通过教学过程中的观察、思考、总结,养成自主学习的良好学习习惯,培养数学知识运用于生活的意识。 二、 教学重点与难点 1、重点:应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点:将实际问题化归为定积分的问题,正确计算。 三、教学过程 (一)创设问题情境: 复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么? 2、定积分的几何意义是什么? 3、微积分基本定理是什么? 引入:.计算 dx x ? --2 2 2 4 2.计算 ?-22 sin π πdx x 思考:用定积分表示阴影部分面积 选择X 为积分变量,曲边梯形面积为 (二)研究开发新结论 1计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成图形的面积S. 2计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成的图形的面积S. 总结解题步骤:1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形,做出辅助线. dx x f dx x f s b a b a ??-=)()(21

3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分. (三)巩固应用结论 例1.计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析:两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得 到。 解:2 01y x x y x ?=??==?=??及,所以两曲线的交点为(0,0)、 (1,1),面积 S=1 20 x dx = -? ? ,所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象; 2.求交点; 3.用定积分表示所求的面积; 4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2.计算由直线4y x =- ,曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析:首先画出草图(图1.7 一2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2.为了确定出被积函数和积分的上、下限,需要求出直线4y x =- 与曲线y =的横坐标,直线4y x =-与 x 轴的交点. 解:作出直线4y x =-,曲线y = 的草图,所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积. 解方程组4 y y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线y =8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为S=S 1+S 28 4 4 [(4)]x dx = +--? ? ? -1

初中数学_勾股定理的逆定理教学设计学情分析教材分析课后反思

《勾股定理的逆定理》教学设计 课题 勾股定理的逆定理 课型 新授课 课时 1 学习目标 1.了解逆命题、逆定理的概念;探索并掌握勾股定理的逆定理,会用勾股定理的逆定理判断直角三角形。 2.经历“探索-发现-猜想-证明”的探究过程,体会用“构造法”证明数学命题的方法,发展推理能力。 3.通过对勾股定理的逆定理的探索,培养学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度。 学习过程 环节与内容 师生互动 设计意图 (一) 创设情境,引入新课 古埃及人制作直角 问题:据说古埃及人用下图的方 法画直角:把一根长蝇打上等距 离的13个结,然后以3个结,4 个结、5个结的长度为边长,用 木桩钉成一个三角形,其中一个 角便是直角。 教师将准备好的绳结给学生,让学生实际的操作感受 通过古埃及人制作直角的方法,提出让学生动手操作,进而使学生产生好奇心:“这样就能确定直角吗”,激发学生的求知欲,点燃其学习的激情,充分调动学生的学习积极性 (二)普度求是 ?探究活动1: 1.小试牛刀: (1)动手画一画:以3,4,5为边作 △ABC 。(回忆用“SSS ”作三角形的方法) 5 4 3 (2)大胆猜一猜:得到的△ABC 是个 什么三角形?怎样验证你的猜 想? 2. 合作探究: (1)画一画:分别以①2.5,6,6.5; ②4,5,6;③6,8,10为三角形的三边 长,作三角形。 ① 以2.5,6,6.5为边作△ABC 。 学生实际动手画图,量角,验证 教师以平等身份参与到学生活动中来,对其实践活动予以指 学生在三组线段为边画出三角形,猜测验证出其形状 学生进一步以小组为单位,按给出的三组数作出三角形(1)这 让学生如实再现情境,在自己充分操作、认知的情况下进行猜想与归纳,体验数学思考的魅力和知识创造的乐趣,使学生真正成为主动学习者。 同时回忆作图方法为后面的多组验证做好铺垫。

勾股定理的逆定理的应用 公开课获奖教案

第2课时 勾股定理的逆定理的应用 1.进一步理解勾股定理的逆定理;(重点) 2.灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.(难点) 一、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上,“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口,各自沿一固定的方向航行,“远望号”每小时航行16海里,“海天号”每小时航行12海里,它们离开港口1个半小时后相距30海里,如果知道“远望号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗? 二、合作探究 探究点:勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度 如图,已知点P 是等边△ABC 内 一点,P A =3,PB =4,PC =5,求∠APB 的度数. 解析:将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ,连接EP ,判断△APE 为直角三角形,且∠APE =90°,即可得到∠APB 的度数. 解:∵△ABC 为等边三角形,∴BA =BC .可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ,连EP ,∴BE =BP =4,AE =PC =5,∠PBE =60°,∴△BPE 为等边三角形,∴PE =PB =4,∠BPE =60°.在△AEP 中,AE =5,AP =3,PE =4,∴AE 2=PE 2+P A 2,∴△APE 为直角三角形,且∠APE =90°,∴∠APB =90°+60°=150°. 方法总结:本题考查了等边三角形的判 定与性质以及勾股定理的逆定理.解决问题 的关键是根据题意构造△APE 为直角三角形. 【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长 在△ABC 中,D 为BC 边上的点, AB =13,AD =12,CD =9,AC =15,求BD 的长. 解析:根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD 为直角三角形,即∠ADC =∠ADB =90°.在Rt △ABD 中利用勾股定理可得出BD 的长度. 解:∵在△ADC 中,AD =12,CD =9,AC =15,∴AC 2=AD 2+CD 2,∴△ADC 是直角三角形,∠ADC =∠ADB =90°,∴△ADB 是直角三角形.在Rt △ADB 中,∵AD =12,AB =13,∴BD =AB 2-AD 2=5,∴BD 的长为5. 方法总结:解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形,然后再进行转化,最后求解,这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中. 【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图,是一农民建房时挖地基的 平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB =DC =8m ,AD =BC =6m ,AC =9m ,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格? 解析:把实际问题转化成数学问题来解决,运用直角三角形的判别条件,验证它是

高中数学选修2-2优质学案:§1.5 定积分的概念

[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程,了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分. 知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示). (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些________,对每个__________“以直代曲”,即用__________的面积近似代替__________的面积,得到每个小曲边梯形面积的________,对这些近似值______,就得到曲边梯形面积的________(如图②所示). (3)求曲边梯形面积的步骤:①________,②________,③________,④________. 2.求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动,速度函数v=v(t),那么也可以采用________,________,________,________的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 思考(1)如何计算下列两图形的面积?

(2)求曲边梯形面积时,对曲边梯形进行“以直代曲”,怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差? 知识点二 定积分的概念 如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

定积分的简单应用

定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章1.7的内容。从题目中可以看出,这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念,计算,几何意义的基础上,掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法,在学习过程中了解导数与积分的工具性作用,从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中,这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标(以教材为背景,根据课标要求,设计了本节课的教学目标) 1、知识与技能目标: (1)应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题; (2)学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标: 通过体验解决问题的过程,体现定积分的使用价值,加强观察能力和归纳能力,强化数形结合和化归思想的思维意识,达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标: 通过教学过程中的观察、思考、总结,养成自主学习的良好学习习惯,培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点:应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点:将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具:多媒体 五、教学设计

教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例: 实例1:国家大剧院的主题构造 类似半球的构造,如何计算建造时中间玻璃段的使用面积? 边缘的玻璃形状属于曲边梯形,要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2:一辆做变速直线运动的汽车,我们如何计算它行驶的 路程? 2、复习回顾: 如何计算曲边梯形的面积? 3、引入课题: 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师:启 发,引导 学生:思 考,回 忆。 学生:疑 惑,思 考,感 受。 教师:启 发,引 导。 学生:复 习,回忆 老师:引 入课题 数学源于生活,又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察,创设问题情境,体 验数学在现实生活中的 无处不在,激发学生的学 习热情,引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来,训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下,引导学生把所学知识 与实际问题联系起来,回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀,里程表坏了,你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (

勾股定理的逆定理(一)导学案

图18.2-2 通海中学勾股定理的逆定理(一)导学案 班级: 姓名: 学号: 学习目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点:掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点:勾股定理的逆定理的证明。 一.预习新知(阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习) 1.三边长度分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三角形与以3 cm 、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的? 2.你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗? 3.如图18.2-2,若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,试证明△ABC 是直角三 角形,请简要地写出证明过程. 4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系? (1)什么叫互为逆命题 (2)什么叫互为逆定理 (3)任何一个命题都有 _____,但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗? (1) 两直线平行,内错角相等; (2) 如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3) 全等三角形的对应角相等; (4) 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 二.课堂展示 例1:判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形: (1)17,8,15===c b a ; (2)15,14,13===c b a . (3)25,24,7===c b a ; (4)5.2,2,5.1===c b a ; 三.随堂练习

《勾股定理的逆定理》教案

勾股定理的逆定理 (1)教案

图18.2-2 [活动2] 建立模型 1.你能证明以2.5cm 、6cm 、6.5cm 为三边长的三角形是直角三角形吗? 2.如图18.2-2,若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,试证明△是直角三角形,请简要地写出证明过程. [活动3]理论释意 任意三角形的三边长a 、b 、c ,只要满足222c b a =+,一定可以得到此三角形为直角三角形。 1.教材75页练习第1题. 学生结合活动1的体验,独立思考问题1,通过小组交流、讨论,完成问题2.在此基础上,说出问题2的证明思路. 教师提出问题,并适时诱导,指导学生完成问题2的证明.之后,归纳得出勾股定理的逆定理.在此基础上,类比定理与逆定理的关系,介绍逆命题(定理)的概念,并与学生一起完成问题. 在活动2中教师应关注: (1)学生能否联想到了“‘全等’,进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键; (2)学生在问题2中,所表现出来的构造直角三角形的意识; (3)是否真正地理解了AB =A /B / (如图18.2-2);数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法; 在活动3中 (1)利用几何画板,从理论上改变三角形三边的大小,度量∠BAC 是否为直角.从实践上去检验命题的正确性,加深学生对勾股逆定理的理解; 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程,把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生,让他们在不断的尝试、探究的过程中,亲身体验参与发现的愉悦. 利用几何画板去验证勾股定理的逆定理,让理论上释意形象生动,可强化学生的记忆,使学生对定理的理解更深刻. [活动4] 拓展应用 1.例1:判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形: (1)17,8,15===c b a ; (2)15,14,13===c b a . 小试牛刀 1.教材76页习题18.2第1题(1)、(3). 2. 在下列长度的四组线段中,不能组成直角三角形的是( ). A.a =5,b =12,c =13 B .25,5===c b a C.a =9,b =40,c =41 D .15,12,11===c b a 在活动4中 学生说出问题(1)的判断思路,部分学生演板问题2,剩下的学生在课堂作业本上完成. 教师板书问题1的详细解答过程,并纠正学生在练习中出现的问题,最后向学生介绍勾股数的概念. 在活动4中教师应重点关注: (1)学生的解题过程是否规范; (2)是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较; (3)活动4中的练习可视课堂情形而定,如果时间不允许,可处理部分. 进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用,理解勾股数的概念,突出本节的教学重 点.

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案:第四章 章末小结 知识整合与阶段检测

[对应学生用书P44] 一、定积分 1.定积分的概念: ??a b f (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分. 2.定积分的几何意义: 当f (x )≥0时,??a b f (x )d x 表示的是 y =f (x )与直线x =a ,x =b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积. 3.定积分的性质: (1)∫b a 1d x =b -a . (2)??a b kf (x )d x =k ??a b f (x )d x . (3)??a b [f (x )±g (x )]d x =??a b f (x )d x ±??a b g (x )d x . (4)??a b f (x )d x =??a c f (x )d x +??c b f (x )d x . 定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型,多用于被积函数的原函数不易求,且被积函数是熟知的图形. 二、微积分基本定理 1.如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数,即f (x )=F ′(x ),则??a b f (x )d x =F (x )| b a =F (b )-F (a ). 2.利用微积分基本定理求定积分,其关键是找出被积函数的一个原函数.求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,因此,应熟练掌握一些常见函数的导数公式. 三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积,解题步骤为: ①画出图形.②确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分上、下限.③确定被积函数.④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式.⑤运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积或旋转几何体的体积.

勾股定理及其逆定理 一

勾股定理及其逆定理 一、知识点 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2) 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 22c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 二、典型题型 1、求线段的长度题型 2、判断直角三角形题型 3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法. 例1已知 △ABC 中,∠ACB =90°,AB =5㎝.BC =3㎝,CD ⊥AB 于点D ,求CD 的长. (2)构造法.例8、已知:如图,在△ABC 中,AB =15,BC =14,AC =13.求△ABC 的面积. (3)分类讨论思想.(易错题) 例3在Rt △ABC 中,已知两边长为3、4,则第三边的长为 . 例4. 在△ABC 中,AB=15,AC=20,BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 例5、在△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高等于8,则△ABC 的周长为 . 练习: 1、在Rt △ABC 中,已知两边长为5、12,则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12,则周长为________,底边上的高是________,面积是_________。

(5)方程思想. 例6如图4,AB 为一棵大树,在树上距地面10米的D 处有两只猴子,它们同时发现C 处有一筐苹果,一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处,另一只猴子从D 滑到B ,再由B 跑到C .已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB 的高度. 例题7、如图,已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ,求CE 的长. 例9. 如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,且AB=10,BC=8,求CD 的长。 练习: 1、如图,把矩形ABCD 纸片折叠,使点B 落在点D 处,点C 落在C ’处,折痕EF 与BD 交于点O ,已知AB=16,AD=12,求折痕EF 的长。 C ' F E O D C B A 图4 C A

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