2019年湖南省怀化市中考数学试卷及答案解析
湖南省怀化市2019年初中学业水平考试
数 学
（本试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的。） 1.下列实数中，哪个数是负数
（ ）
A ．0
B ．3
C
D ．1- 2.单项式5ab -的系数是
（ ）
A ．5
B ．5-
C ．2
D ．2-
3.怀化位于湖南西南部，区域面积约为27 600平方公里，将27 600用科学记数法表示为
（ ） A ．3
27.610?
B ．3
2.7610?
C.42.7610
?
D.5
2.7610?
4.抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159.则这组数据的众数是
（ ）
A.152
B.160
C.165
D.170 5.与30?的角互为余角的角的度数是
（ ）
A.30?
B.60?
C.70?
D.90? 6.一元一次方程20x -=的解是
（ ）
A.2x =
B.2x =-
C.0x =
D.1x =
7.怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A
B
C D
8.已知α∠为锐角，且1
sin 2
α=，则α∠=
（ ）
A.30?
B.45?
C.60?
D.90?
9.一元二次方程2210x x ++=的解是 （ ）
A.11x =，21x =-
B.121x x ==
C.121x x ==-
D.11x =-，22x =
10.为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共是多少只
（ ） A.55
B.72
C.83
D.89
二、填空题（每小题4分，共24分；） 11.合并同类项：22246a a a +-=________.
12.因式分解：22a b -=________. 13.计算：
1
11
x x x -=--________. 14.若等腰三角形的一个底角为72?，则这个等腰三角形的顶角为________. 15.当1a =-，3b =时，代数式2a b -的值等于________.
16.探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是________.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无
--------------------
----------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
三、解答题（本大题共7小题，共86分）
17.（8分）计算：0(π2019)4sin 60
12|3|?-+-+-
18.（8分）解二元一次方组：37
31x y x y +=??-=?
19.（10分）已知：如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足. （1）求证：ABE CDF △≌△； （2）求证：四边形AECF 是矩形.
20.（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60?方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东60?30°方向，试计算此段河面的宽度.
21.（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10 李明
8
9
8
9
8
8
9
8
10
8
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
王方10次射箭得分情况
环数 6
7
8
9
10
频数 ________ ________ ________ ________ ________ 频率
________ ________ ________ ________ ________
李明10次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10 频数 ________ ________ ________ ________ ________ 频率
________
________
________
________
________
（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.
22.（12分）如图，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的5等分点，连接AC 、CE 、EB 、BD 、
DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH .
（1）计算CAD ∠的度数；
（2）连接AE ，证明：AE ME =； （3）求证：2ME BM BE =?.
23.（14分）如图，在直角坐标系中有Rt AOB △，O 为坐标原点，1OB =，tan ∠ABO=3，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90?，得到Rt COD △，二次函数2y x bx c =-++的
图象刚好经过A ，B ，C 三点.
（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）过定点Q 的直线3l y kx k =-+：与二次函数图象相交于M ，N 两点.
①若S △PMN=2，求k 的值；
②证明：无论k 为何值，PMN △恒为直角三角形；
③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN △外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.
湖南省怀化市2019年初中学业水平考试
数学答案解析
一、选择题
1．【答案】D
【解析】A.0既不是正数也不是负数，故A 错误；
B.3是正实数，故B 错误；
是正实数，故C 错误；
D.1-是负实数，故D 正确；
故选：D ．
【考点】实数
2．【答案】B
【解析】单项式5ab -的系数是5-，
故选：B ．
【考点】单项式
3．【答案】D
【解析】将27 600用科学记数法表示为：5
2.7610?．
故选：D ．
【考点】科学记数法 4．【答案】B
【解析】数据160出现了4次为最多，故众数是160， 故选：B ． 【考点】众数
5．【答案】B
【解析】与30?的角互为余角的角的度数是：60?． 故选：B ．
【考点】互为余角的定义 6．【答案】A
【解析】20x -=，
解得：2x =．
故选：A ．
【考点】一元一次方程
7．【答案】C
【解析】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C ．
【考点】轴对称图形.中心对称图形
8．【答案】A
【考点】特殊角的三角函数值．
【解析】Q α∠为锐角，且1
sin 2
α=
， ∴30α∠=?．故选：A ．
【能力考查】特殊角的三角函数值． 9．【答案】C
【解析】Q 2210x x ++=，
∴210x +=（），
则10x +=， 解得121x x ==-， 故选：C ．
【考点】完全平方公式
10．【答案】C
【解析】设该村共有x 户，则母羊共有517x +（）
只， 由题意知5177(1)05177(1)3x x x x +--≥??+--?
＜，
解得：
21
122
x ＜＜， Q x 为整数，∴11x =，
则这批种羊共有115111783+?+=（只）， 故选：C ．
【考点】一元一次不等式组
二、填空题
11．【答案】2
9a
【解析】原式224619a a =+-=（）， 故答案为：29a ． 【考点】合并同类项法则 12．【答案】()()a b a b +- 【解析】()()22a b a b a b -=+-． 故答案为：()()a b a b +-． 【考点】平方差公式 13．【答案】1 【解析】原式1
1
x x -=
- 1=．
故答案为：1． 【考点】分式的加减法 14．【答案】36?
【解析】Q 等腰三角形的一个底角为72?，
∴等腰三角形的顶角1807272=?-?-?，
36=?
故答案为：36?． 【考点】等腰三角形 15．【答案】5-
【解析】当1a =-，3b =时，22135a b -=?--=-（），
故答案为：5-．
【考点】代数式
16．【答案】1n -
【解析】由题意“分数墙”的总面积1111
2341234n n n
=?
+?+?++?=-L ， 故答案为1n -． 【考点】规律 三、解答题 17．【答案】4
【解析】原式143=+-
13=+
4=．
【考点】实数的运算
18．【答案】4
1x y =??=?
【解析】3731x y x y +=??-=?①
②，
+①②得：28x =，
解得：4x =， 则431y -=， 解得：1y =，
故方程组的解为：4
1x y =??=?
．
【考点】二元一次方程组
19．【答案】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
∴B D ∠=∠，AB CD =，AD BC ∥， Q AE BC ⊥，CF AD ⊥，
∴90AEB AEC CFD AFC ∠=∠=∠=∠=?，
在ABE △和CDF △中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠??
∠=∠??=?，
∴ABE CDF AAS △≌△（）
； （2）证明：Q AD BC ∥，
∴90EAF AEB ∠=∠=?， ∴90EAF AEC AFC ∠=∠=∠=?， ∴四边形AECF 是矩形．
【考点】矩形的判定.平行四边形的性质.全等三角形的判定与性质 20．【答案】如图，作AD ⊥于BC 于D ．
由题意可知： 1.54060BC =?=米，30ABD ∠=?，60ACD ∠=?，
∴30BAC ACD ABC ∠=∠-∠=?，
∴ABC BAC ∠=∠，∴60BC AC ==米．
在Rt ACD △
中，AD AC sin 6060=??==．
答：这条河的宽度为
【考点】解直角三角形-方向角 21．【答案】（1）
环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 1 3 3 频率
0.1
0.2
0.1
0.3
0.3
李明10次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10 频数 0 0 6 3 1 频率
0.6
0.3
0.1
（2）王方的平均数1
614827308.510
=++++=（）；
李明的平均数14827108.510=++=（）；
（3）Q 222222
68.5278.588.5398.531=108.5 1.85[]10
S -+-+-+-+-=王方（）（）（）（）（）；
2222
688.5398.5108.50.31=[510
S -+-+-=李明（）（）（）；
Q 22S S 王方李明＞
∴应选派李明参加比赛合适．
【考点】方差
22．【答案】（1）Q A.B.C.D.E 是O e 上的5等分点，
∴?CD
的度数3605?
= 72?=
∴70COD ∠=? Q 2COD CAD ∠=∠ ∴36CAD ∠=?
（2）连接AE
Q A.B.C.D.E 是⊙O 上的5等分点，
∴?????AB DE AE CD BC ==== ∴36CAD DAE AEB ∠=∠=∠=?
∴72CAE ∠=?，且36AEB ∠=?；∴72AME ∠=? ∴AME CAE ∠=∠；∴AE ME =
（3）连接AB
Q ?????AB DE AE CD
BC ==== ∴ABE DAE ∠=∠，且AEB AEB ∠=∠
∴AEN BEA △∽△ ∴AE NE BE AE
= ∴2AE BE NE =?，且AE ME = ∴2ME BE NE =?
Q ?????AB DE AE CD
BC ==== ∴AE AB =，36CAB CAD DAE BEA ABE ∠=∠=∠=∠=∠=? ∴72BAD BNA ∠=∠=?；∴BA BN =，且AE ME = ∴BN ME =；∴BM NE =
2ME BE NE BM BE ∴=?=?
【考点】圆．
23．【答案】（1）1OB =，tan 3ABO ∠=，则3OA =，3OC =，
即点A.B.C 的坐标分别为0,3（）
.()1,0-.()3,0， 则二次函数表达式为：()()()
23123y a x x a x x =-+=--， 即：33a -=，解得：1a =-， 故函数表达式为：223y x x =-++， 点()1,4P ；
（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：
220x k x k ---=（），
设点M .N 的坐标为()11,x y .()22x y ,， 则122x x k +=-，12x x k =-，
则：21212266y y k x x k k +=+-+=-（
）， 同理：21294y y k =-，
①3y kx k =-+，当1x =时，3y =，即点()1,3Q ，
()PMN 211
S 22
PQ x x ==?-△，则214x x -=，
21||x x -=
解得：k =±
②点M .N 的坐标为()11,x y .()22,x y .点()1,4P ，
则直线PM 表达式中的1k 值为：1141y x --，直线PN 表达式中的2k 值为：224
1
y x --，
为：
()()12121212112122416
4411141
y y y y k y y x x x x k x x -++--===---+， 故PM PN ⊥，即：PMN △恒为直角三角形； ③取MN 的中点H ，则点H 是PMN △外接圆圆心，
设点H 坐标为(),x y ， 则121
122
x x x k +=
=-，()()21211622y y y k =+=-，
整理得：2241y x x =-++，
即：该抛物线的表达式为：2241y x x =-
++． 【考点】二次函数综合运用．