最新南通市、扬州市、泰州市、淮安市届高三第三次调研测试(十八)

南通市、扬州市、泰州市、淮安市2016届高三第三次调研测试(十八

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参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2

＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1

n i ＝1

n x i .

柱体的体积V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

甲 乙 9 8 8 7 9 2 1 0 9 0 1 3 (第3题)

1. 已知集合U ＝{－1，0，1，2}，A ＝{－1，1，2}，则?U A ＝________．

2. 已知复数z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为________．

3. 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为__________．

(第4题)

4. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值为__________．

5. 已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为 b.若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．

6. 将一枚骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m ，n ，则点P(m ，n)在直线y ＝1

2

x 下方的概率为__________．

7. 函数f(x)＝1

lgx

－2的定义域为__________．

8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2

a

2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线

的方程为__________．

9. 已知两曲线f(x)＝cosx ，g(x)＝3sinx ，x ∈?

???0，π

2相交于点A ，若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相

交于B ，C 两点，则线段BC 的长为__________．

(第10题)

10. 如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →

＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为__________．

11. 设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则k ＝1

100(a k a k ＋1)的值为__________．

12. 已知函数f(x)＝x 2＋ax(a ∈R)，g(x)＝ (f′(x)为f(x)的导函数)．若方程g(f(x))＝0有四个

不等的实根，则a 的取值范围是__________．

(第13题)

13. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点C ，D 在函数y ＝x ＋1

x (x ＞0)的图象上．记AB ＝m ，BC ＝n ，

则m

n

2的最大值为__________． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2.若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)

已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝????cos ????A ＋π3，sin ?

???A ＋π

3，n ＝(cosB ，sinB)，且m ⊥n .

(1) 求A －B 的值；

(2) 若cosB ＝3

5

，AC ＝8，求BC 的长．

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2BC ，M ，N 分别是棱PA ，CD 的中点．求证：

(1) PC ∥平面BMN ；

(2) 平面BMN ⊥平面PAC.

17. (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2

，长轴长为4.过椭圆的左顶

点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.

(1) 若直线l 的斜率为12，求AP

AQ

的值；

(2) 若PQ →＝λAP →

，求实数λ的取值范围．

18. (本小题满分16分)

某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．

(1) 若窗口ABCD 为正方形，且面积大于1

4

m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；

(2) 若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值．

19. (本小题满分16分)

已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *)．

(1) 若a 1＝1，b n ＝n

2

，求a 4的值；

(2) 若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列；

(3) 若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.

20. (本小题满分16分)

设函数f(x)＝xe x －asinxcosx(a ∈R ，其中e 是自然对数的底数)． (1) 当a ＝0时，求f(x)的极值；

(2) 若对于任意的x ∈?

???0，π

2，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围；

(3) 是否存在实数a ，使得函数f(x)在区间?

???0，π

2上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，

请说明理由.

1. {0} 解析：?U A ＝{0}．本题主要考查补集的概念．本题属于容易题．

2. 3＋4i 解析：z ＝3－4i ，则z 的共轭复数为3＋4i.本题主要考查共轭复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．

3. 2 解析：通过数据发现乙同学的数据波动大，即方差大，则成绩较稳定(方差较小)的是甲，他的平均成绩为90，方差为2.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．

4. 3 解析：由流程图知循环体执行3次，第1次循环S ＝11，n ＝3；第2次循环S ＝8，n ＝5；第3次循环S ＝3，n ＝7.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．

5. π∶3 解析：由正三棱柱的体积为34a 3，圆柱的体积为πb 34，34a 3＝πb 3

4

，则a 3∶b 3的值为π∶ 3.

本题考查了圆柱与棱柱的体积公式．本题属于容易题．

6. 16 解析：一枚骰子连续抛掷2次的基本事件数为36种，点P(m ，n)在直线y ＝12x 下方，即y ＜1

2

x ，当y ＝1时，x ＝3，4，5，6；当y ＝2时，x ＝5，6；共有6种基本事件，所求的概率为1

6

.本题考查古典概型，属于

容易题．

7. (1，10] 解析：由1lgx ≥2，即0

2

，1

义域，对数不等式的解法，属于容易题．

8. y ＝±24x 解析：抛物线y 2

＝－12x 的焦点坐标为(－3，0)，双曲线x 2

a

2－y 2＝1中c ＝3，a 2＋1＝9，a 2＝8，

则双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±2

4

x.本题考查了抛物线方程、双曲线方程的结构特征，以及双曲线的渐近

线的方程．本题属于容易题．

9. 433 解析：由cosx ＝3sinx ，x ∈?

???0，π2，则x ＝π6，A(π6，32)，k 1＝－sin π6＝－1

2，k 2＝3cos π6＝32.

两条切线方程分别为y －32＝－12????x －π6，y －32＝32????x －π6.它们与x 轴交点的横坐标分别为π6＋3、π6－3

3.

则线段BC 的长为π6＋3－????π

6－33＝433

.本题考查了三角函数的图象与性质，导数的几何意义以及直线方

程．本题属于中等题．

10. －16 解析：由AP →＝AQ →－PQ →，PQ →·CB →＝0，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →－PQ →)·CB →＝2AQ →·CB →

＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB → 2－AC → 2＝9－25＝－16.本题考查了向量线性分解、向量数量积的运算．本题属于中等题．

11. 100101 解析：由(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1得1a n ＋1－1a n ＝1，则a n ＝1n ，原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋

1100×101＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1100－1101＝1－1101＝100

101.本题考查了等差数列的定义、通项公式，以及裂项法．本题

属于中等题．

12. a ＜0或a ＞2 解析：g(x)＝?

????x 2＋ax ，x ≥0，

2x ＋a ，x<0.

当a ＝0时，显然不成立； 当a>0时，g(x)的图象如图①.

图①

g(t)＝0有2个不等实根t 1＝0，t 2＝－a 2，则t 1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t 2＝f(x)＝－a

2

需有2个不等实根，

f(x)的图象如图②.

图②

只要－a 2>－a 2

4

，即a>2；

当a<0时，g(x)的图象如图③.

图③

g(t)＝0有2个不等实根t 1＝0，t 2＝－a ，则t 1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t 2＝f(x)＝－a 需有2个不等实根，f(x)的图象如图④.

图④

只要－a>－a 2

4

即a<0即可．

综上a<0或a>2.

本题考查了二次函数的性质、分段函数，函数的导数以及数形结合思想和分类讨论思想．本题属于难题．

13. 14 解析：设D(x 1，n)，C(x 2，n)(0

－nx ＋1＝0，解之得x 1＝n －n 2－42，x 2

＝n ＋n 2－42，则m ＝x 2－x 1＝n 2－4，即n 2＝m 2＋4，∴ m n 2＝m m 2＋4＝1m ＋

4m

≤14

，当且仅当m ＝2时取“＝”，

∴ m n 2的最大值为1

4

.本题考查了数形结合思想和基本不等式的运用．本题属于难题． 14. [1，3＋23] 解析：如图，设∠APC 1＝θ，则AP ＝2

tan θ

.

∴ S △ABP ＝12AP 2sin2θ＝12·2

tan 2θ·sin2θ＝2cos 3θ

sin θ＝1，即1－tan 2θ1＋tan 2θ

＝tan θ－1.

∵ θ∈?

???0，π

2，∴ tan θ＝1，即θ＝π4，此时PC 1＝2.则点P 在圆C 1′：(x －1)2＋y 2＝4上，又点P 在圆

C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2上，∴ 圆C 1′与圆C 2

有交点，即|2－m|≤C 1′C 2≤2＋m ，解之得1≤m ≤3＋23，∴ 正数m 的取值范围时[1，3＋23]．本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件．本题属于难题．

15. 解：(1) 因为m ⊥n ，

所以m·n ＝cos ????A ＋π3cosB ＋sin ?

???A ＋π

3sinB

＝cos ???

?A ＋π

3－B ＝0.(3分)

又A ，B ∈????0，π2，所以A ＋π3－B ∈????

－π6

，5π6，(5分)

所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π

6

.(7分)

(2) 因为cosB ＝35，B ∈?

???0，π2，所以sinB ＝4

5.(9分)

所以sinA ＝sin ?

???B ＋π

6＝sinBcos π6＋cosBsin π6

＝45·32＋35·12＝43＋310

.(12分) 由正弦定理，得BC ＝sinA

sinB ·AC ＝43＋3104

5

×8＝43＋3.(14分)

16. 证明：(1) 设AC ∩BN ＝O ，连结MO ，AN.

因为AB ＝1

2

CD ，AB ∥CD ，N 为CD 的中点，

所以AB ＝CN ，AB ∥CN ，

所以四边形ABCN 为平行四边形，(2分) 所以O 为AC 的中点．

又M 为PA 的中点，所以MO ∥PC.(4分) 因为MO ?平面BMN ，PC ? 平面BMN ， 所以PC ∥平面BMN.(6分)

(2) (方法1)因为PC ⊥平面PDA ，AD ?平面PDA ， 所以PC ⊥AD.

由(1)同理可得，四边形ABND 为平行四边形， 所以AD ∥BN ，所以BN ⊥PC.(8分) 因为BC ＝AB ，

所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN ⊥AC.(10分) 因为PC ∩AC ＝C ，AC ?平面PAC ，PC ?平面PAC ， 所以BN ⊥平面PAC.(12分)

因为BN ?平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC.(14分) (方法2)连结PN.

因为PC ⊥平面PDA ，PA ?平面PDA ，所以PC ⊥PA. 因为PC ∥MO ，所以PA ⊥MO.(8分)

因为PC ⊥平面PDA ，PD ?平面PDA ，所以PC ⊥PD.

因为N 为CD 的中点，所以PN ＝1

2

CD.