云南省中考数学压轴题及答案
题目篇
(2014年昆明) 23. （本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标。
（2013年昆明）23.（本小题9
点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 在BC 边上，且抛物线经过O 、A （1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；
（3）若点M 在抛物线上，点N 在x （2012年昆明）23.（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线123
y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ，抛物线21
2
y x bx c =-++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于A 、B 两点.
⑴ 求抛物线的解析式（关系式）；
⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；
⑶除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB
?是直角三角形若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
（2011年昆明）25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BC M得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
（2010年昆明）25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A
（4，0）、B（3，
23
3
-）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
（云南省2010年）24.（本小题12分）如图，在平面直角示系中，A、B两点的坐标分别是A（-1,0）、B（4,0），点C在y轴的负半轴上，且∠ACB＝90°
2
42
F
P
E
D
-4-2
-1A B
C
4y x
O
（1）求点C 的坐标；
（2）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（3）直线l⊥x 轴，若直线l 由点A 开始沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t （0≤t≤5）秒，运动过程中直线l 在△ABC 中所扫
（云南省2013年）23．（9分）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，下底AB 在x 轴上，点D 在y 轴上，直线AC 与y 轴交于点E （0，1），点C 的坐标为（2，3）．
（1）求A 、D 两点的坐标；
（2）求经过A 、D 、C 三点的抛物线的函数关系式； （3）在y 轴上是否在点P ，使△ACP 是等腰三角形若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（云南省2014年）23.（9分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，矩形ABCO 的顶点分别为A （3,0）、B （3,4）、C （0,4），点D 在y 轴上，且点D 的坐标为（0，-5），点P 是直线AC 上的一个动点。
（1）当点P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式；
（2）当点P 沿直线AC 移动时，过点D 、P 的直线与x 轴交于点M 。问：在x 轴的正半轴上，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、R （R ＞0为半径长画圆，得到的圆称为动圆P 。若设动圆P
的半径长2
1
AC ，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E 、F 。请探求在动圆P 中，是否存在面
积最小的四边形DEPF若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由。
答案篇
(2014年昆明) 23.
（2013年昆明）23
23．（9分）（2013?昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC 交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线
AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，
DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可
确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形
N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，
确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．
解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：，
解得：，
故直线AC解析式为y=﹣x+3，
与抛物线解析式联立得：，
解得：或，
则点D 坐标为（1，）；
（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M 在x 轴上方时，如答图1所示： 四边形ADMN 为平行四边形，DM∥AN，DM=AN ， 由对称性得到M （3，），即DM=2，故AN=2，
∴N 1（2，0），N 2（6，0）；
②当点M 在x 轴下方时，如答图2所示：
过点D 作DQ⊥x 轴于点Q ，过点M 作MP⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3，
将y M =﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x 2
+3x ，
解得：x M =2﹣或x M =2+， ∴x N =x M ﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）．
综上所述，满足条件的点N 有四个：N 1（2，0），N 2（6，0），N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）． 点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函
数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．
（2012年昆明）23.
[答案] ⑴21
3222y x x =-++；⑵2(,0)3
C -； ⑶7(0,)9
、或1165(
,0)6-、或1165(,0)6+、或92
(,0)27
⑴如图，因为一次函数1
23
y x =-+交y 轴于点A ，所以，
0A x =，2A y ∴=，即(0,2)A .
交x 轴于点P ，所以，0P y =，6P x ∴=，即(6,0)P .
由(0,2)A 、(1,0)E -是抛物线
21
2
y x bx c =-++的图象上的点，
所以，抛物线的解析式是：213222
y x x =-++
⑵ 如图，
()AC AB P ⊥、OA OP ⊥
∴ 在Rt CAP ?中， ∴点C 的坐标：2(,0)3
C -
⑶设除点C 外，在坐标轴上还存在点M ，使得
MAB ?是直角三角形
Ⅰ.在Rt MAB ?中，若AMB Rt ∠=∠，那么M 是以AB 为直径的圆与坐标轴的交点，
ⅰ.若交点在y 上（如图），设(0,)M m ，
则有，
7
9
m ∴=
，此时7(0,)9
M
ⅱ.若交点在x 上（如图），设(,0)M n ，此
时过B 作BD 垂直x 于点D ，则有AOM MDB ??，
于是：
117()239
n n ∴-=?， 1211651165,n n -+?==，此时， 1165(
,0)M -或1165(,0)M + Ⅱ.在Rt MAB ?中，若ABM Rt ∠=∠，如图，设
(,0)M t ，同样过B 作BD 垂直x 于点D ，则在
Rt PBM ?中，有
27111192()(
)(6)93327t t ∴=--?=
，此时，92
(,0)27
M 综上所述，除点C 外，在坐标轴上还存在点M ，使得MAB ?是直角三角
形，满足条件的点M 的坐标是：7(0,)9
、或1165(
6-、或1165
(,0)6
+、或92
(,0)27
. （2011年昆明）25
答案：解：（1）设AC=4x ，BC=3x ，在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2， 即：（4x ）2+（3x ）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm ； （2）①当点Q 在边BC 上运动时，过点Q 作QH⊥AB 于H ， ∵AP=x，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB∽△ACB， ∴
QH QB AC AB =
，∴QH=85x ，y=12BP?QH=12（10﹣x ）?85x=﹣4
5
x 2+8x （0＜x≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH′⊥AB 于H′， ∵AP=x，
∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH′∽△ABC，
∴'AQ QH AB BC =，即：'14106x QH -=，解得：QH′=3
5
（14﹣x ）， ∴y=12PB?QH′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=
310x 2﹣36
5
x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2
248(03)5
33642(37)10
5x x x x x x ?-+<≤????-+<
（3）∵AP=x，AQ=14﹣x ， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴
AP AQ PQ AC AB BC ==，即：148106
x x PQ
-==，
解得：x=569，PQ=143，∴PB=10﹣x=349，∴14
21334179
PQ BC
PB AC ==≠
， ∴当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC 不相似； （4）存在．
理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ 是△ABC 的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
∴PQ 是AC 的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M 与P 重合时，△BCM 的周长最小，
∴△BCM 的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM 的周长最小值为16．
（2010年昆明）25．
25．(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠
由题意得：01640
93?
?=?
?++=??
?++=??
c a b c a b c
……………1分
解得：
,099
a b c =
=-= ………………2分
∴抛物线的解析式为：
299
y x x =
- ………………3分 （2）存在
………………4分
抛物线22383y x x =
-的顶点坐标是83
(2,)-，作抛物线和⊙M （如图），
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M相切于点C
连接MC ，过C 作CD⊥ x 轴于D
∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, C M⊥BC
∴∠BCM = 90° ，∠BM C = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴D M = 1, CD =
22
CM DM -=3 ∴ C (1, 3)
设切线 l 的解析式为:(0)y
kx
b k
，点B 、C 在 l 上，可得：
3
20
k b k b ?+=??
-+=?? 解得： 323,33k b == ∴切线BC 的解析式为：32333
y x =
+ ∵点P 为抛物线与切线的交点
由22383
32333
y x x y x ?
=-????=+??
解得：11
1232x y ?=-????=?? 22683x y =???=??
∴点P 的坐标为：113
(,
)22
P -， 283
(6,
)P ………………8分 ∵ 抛物线22383
y x x =
-的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M都与直线2=x 成轴对称图形
l ′
于是作切线l 关于直线2=x的对称直线l′(如图)
得到B、C关于直线2
=
x的对称点B1、C1
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线2=x的对称点：
3
93 (, 22
P，
4
83 (
P-即为所求的点.
∴这样的点P共有4个：
1
13 (,
22
P-，
2
83 (6,
3
P，
3
93 (, 22
P，
4
83 (2,
3
P- (12)
分
（本题其它解法参照此标准给分）
（云南省2010年）24.
分析：（1）根据A、B的坐标，可求得OA、OB的长，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理即可求得OC的值，从而得到C点的坐标．
（2）已知了抛物线上的三点坐标，可利用待定系数法求得抛物线的解析式．
（3）此题应分段考虑：
①当0≤t≤1时，直线l扫过△ABC的部分是个直角三角形，设直线l与AC、AB的交点为M、N，易证得△AMN∽△ACO，根据相似三角形所得比例线段即可求得MN的值，从而利用三角形的面积公式求得S、t的函数关系式；
②当1＜t≤5时，直线l扫过△ABC的部分是个多边形，设直线l与BC、AB的交点为M、N，同①可求得MN的长，即可得到△BMN的面积表达式，那么△ACB、△BMN的面积差即为直线l扫过部分的面积，由此求得S、t的函数关系式．
解答：解：（1）已知A（-1，0），B（4，0），则OA=1，OB=4；
在Rt△ABC中，CO⊥AB，
由射影定理得：OC2=OA?OB=4，
即OC=2，
故C（0，-2）．
（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），
依题意有：a（0+1）（0-4）=-2，a= ，
故抛物线的解析式为：y= （x+1）（x-4）= x2- x-2．（3）①当0≤t≤1时，由题意知：AM=t；
∵直线l∥OC，且OC=2OA，
∴MN=2AM=2t；
故S= t?2t=t2；
②当1＜t≤5时，由于AM=t，AB=5，则BM=5-t；
∵直线l∥OC，且OB=2OC，
∴MN= BM= ，
故S= ×5×2- × =- t2+ t- ；
综上可知：S、t的函数关系式为：
S= - t2+ t- ；
点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识；（3）题中，一定要根据直线l的不同位置来分类讨论，以免漏解．
（云南省2013年）23
解答：解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：
，解得，
∴y=x+1，
当y=0时，x=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴点D的坐标为（0，3）．
（2）设过A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
，解得，
∴抛物线的关系式为：y=x2﹣2x+3．
（3）存在．
①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P1，交AC于点F．
∵OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP1=∠AEO=45°，∴△FEP1为等腰直角三角形．
∵A（﹣1，0），C（2，3），点F为AC中点，
∴F（，），
∴等腰直角三角形△FEP1斜边上的高为，
∴EP1=1，
∴P1（0，2）；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P2，P3．
可求得圆的半径长AP2=AC=3．
连接AP2，则在Rt△AOP2中，
OP2===，
∴P2（0，）．
∵点P3与点P2关于x轴对称，∴P3（0，﹣）；
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P4，P5，则圆的半径长CP4=CA=3，在Rt△CDP4中，CP4=3，CD=2，
∴DP4===，
∴OP4=OD+DP4=3+，
∴P4（0，3+）；
同理，可求得：P5（0，3﹣）．
综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P1（0，2），P2（0，），P3（0，﹣），
P4（0，3+），P5（0，3﹣）．
（云南省2014年）23.
考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：综合题；存在型；分类讨论．
分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF 的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵点P是AC中点，
∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴=．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE?DE=PE?DE=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴=．
∴DP=．
∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．
∴DE=，
∴S四边形DEPF=DE=．
∴四边形DEPF面积的最小值为．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．