最新辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2012?辽宁）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若?=1，则x=（）A．﹣1 B．
C．D．1
﹣
考点：数量积的坐标表达式．
专题：计算题．
分析：
由题意，=（1，﹣1），=（2，x）．?=1，由数量积公式可得到方程2﹣x=1，解此方程即可得出正确选项
解答：
解：因为向量=（1，﹣1），=（2，x）．?=1
所以2﹣x=1，解得x=1
故选D
点评：本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，本题是基础题，记忆型
2．（5分）（2012?辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（?U A）∩（?U B）=（）
A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（?U A）∩（?U B）
解答：解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，
所以（C U A）∩（C U B）={7，9}
故选B
点评：本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则3．（5分）（2012?辽宁）复数=（）
A．B．C．1﹣i D．1+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题． 分析：
由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项 解答： 解：
故选A
点评：
本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题
4．（5分）（2012?辽宁）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=（ ）
A ． 12
B ． 16
C ． 20
D ． 24
考点：
等差数列的性质． 专题：
计算题． 分析： 利用等差数列的性质可得，a 2+a 10=a 4+a 8，可求结果
解答： 解：由等差数列的性质可得，则a 2+a 10=a 4+a 8=16，
故选B
点评：
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题
5．（5分）（2012?辽宁）已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≥0，则￢p 是（ ）
A ． ?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≤0
B ． ?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）
≤0
C ． ?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0
D ． ?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）
＜0
考点：
命题的否定． 专题：
简易逻辑． 分析：
由题意，命题p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项
解答： 解：命题p ：?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≥0是一个全称命题，其否定
是一个特称命题，
故?p ：?x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0．
故选：C ．
点评：
本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．
6．（5分）（2012?辽宁）已知
，α∈（0，π），则sin2α=（ ） A ． ﹣1 B ．
C ．
D ． 1
考点：
二倍角的正弦． 专题：
三角函数的图像与性质． 分析： 由，两边同时平方，结合同角平方关系可求．
解答： 解：∵，
两边同时平方可得，（sin α﹣cos α）2=2，
∴1﹣2sinαcosα=2，
∴sin2α=﹣1．
故选A．
点评：本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式的应用，属于基础试题．
7．（5分）（2012?辽宁）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）
A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题．
分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．
解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，
可得出圆心坐标为（1，2），
将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；
将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，
则直线x﹣y+1=0将圆平分．
故选C
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．
8．（5分）（2012?辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）
A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：
由y=x2﹣lnx得y′=，由y′≤0即可求得函数y=x2﹣lnx的单调递减区间．
解答：
解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
y′=，
∴由y′≤0得：0＜x≤1，
∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．
故选：B．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．
9．（5分）（2012?辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
解答：
解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z
越大
作直线l：2x+3y=0
把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，
由可得x=5，y=15，此时z=55
故选D
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．
10．（5分）（2012?辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）
A．4B．C．D．﹣1
考点：循环结构．
专题：阅读型．
分析：根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可．
解答：解：第一次运行得：S=﹣1，i=2，满足i＜6，则继续运行
第二次运行得：S=，i=3，满足i＜6，则继续运行
第三次运行得：S=，i=4，满足i＜6，则继续运行
第四次运行得：S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行
第五次运行得：S=﹣1，i=6，不满足i＜6，则停止运行
输出S=﹣1，
故选D．
点评：
本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
11．（5分）（2012?辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）
B．C．D．
A．
考点：几何概型．
专题：
概率与统计．
分析：
设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．
解：设AC=x，则BC=12﹣x（0＜x＜12）
解答：
矩形的面积S=x（12﹣x）＞20
∴x2﹣12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．
故选C．
点评：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题．
12．（5分）（2012?辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）
A．1B．3C．﹣4 D．﹣8
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；压轴题．
分析：首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ 的斜率K AP，K AQ，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐标．
解答：解：∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，∴P（4，8），Q（﹣2，2），
∵x2=2y，
∴y=，
∴y′=x，
∴切线方程AP，AQ的斜率K AP=4，K AQ=﹣2，
∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，
切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，
令，
∴，
∴点A的纵坐标为﹣4．
故选：C．
点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ．
二、填空题（共4小题，满分20分）
13．（5分）（2012?辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12+π．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1．下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1．分别求体积再相加即可．
解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1，体积为π×12×1=π．
下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1，体积为4×3×1=12．
故所求体积等于12+π
故答案为：12+π
点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键
14．（5分）（2012?辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列．若a1＞0，且2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的公比q=2．
考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：
由{a n}为递增数列且a1＞0可知q＞1，由已知可得2（）=5a n q，可求q
解答：解：∵{a n}为递增数列且a1＞0
∴q＞1
∵2（a n+a n+2）=5a n+1，
∴2（）=5a n q
∴2+2q2=5q
∴q=2
故答案为：2
点评：本题主要考查了等比数列的单调性及等比数列通项公式的应用，属于基础试题
15．（5分）（2012?辽宁）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．
解答：解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
点评：本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
16．（5分）（2012?辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为．
考点：直线与平面垂直的性质；球内接多面体．
专题：计算题；压轴题．
分析：可将P，A，B，C，D补全为长方体ANCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球，于是可求得PC的长度，可判断△OAB为等边三角形，从而而求其面积．
解答：解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
∵ABCD是边长为2正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，
∴PC2=AP2+AC2=24+24=48，
∴2R=4，R=OP=2，
∴△OAB为边长是2的等边三角形，
∴S△OAB=×2×2×sin60°
=3．
故答案为：3．
点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2012?辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C 成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
考点：数列与三角函数的综合．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而
可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．
解答：解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴cosB=；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又cosB=，
∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分
（解法二）
由已知b2=ac及cosB=，
根据余弦定理cosB=解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=…12分
点评：本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2012?辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．