圆锥曲线方程及性质
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座33）—圆锥曲线方程及性质
一．课标要求：
1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；
3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
二．命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲，预测07年：
（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；
（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．要点精讲
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或1
22
22=+b
x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222
c a b =-； ②在22221x y a b +=和22
221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，
只要看2
x 和2y 的分母的大小。例如椭圆
221x y m n
+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程22
221x y a b
+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，
y b =±所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中
心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和
b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =，
2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a c =-；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，
且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦
点重合，图形变为圆，方程为222
x y a +=。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。
注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支（含2F 的一支）；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，
12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。
椭圆和双曲线比较：
椭 圆
双 曲 线
定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>
1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<
方程
22
221x y a b
+= 22
221x y b a
+= 22
221x y a b
-= 22
221y x a b
-= 焦点
(,0)F c ±
(0,)F c ±
(,0)F c ±
(0,)F c ±
注意：如何有方程确定焦点的位置！
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程122
22=-b
y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线
a x ±=的外侧。即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
②对称性：双曲线122
22=-b
y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双
曲线的对称轴，原点是双曲线122
22=-b
y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中
心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，
对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122
22=-b
y a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为
双曲线的渐近线。从图上看，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接
近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2
2
≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。
⑥注意
19
162
2=-y x 与221916y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2
p
,0），它的准线方程是2
p
x -
= ； （2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22
-=，py x 22
=，py x 22
-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p
(,0)2p - (0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性
x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e = 1e =
1e =
1e =
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性
o F x y l o
x y
F l
x y
o
F l
质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。
四．典例解析
题型1：椭圆的概念及标准方程
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35
(,)22
-；
（3）焦点在x 轴上，:2:1a b =，c =
（4）焦点在y 轴上，22
5a b +=，且过点(；
（5）焦距为b ，1a b -=；
（6）椭圆经过两点35(,)22
-，。
解析：（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
∵210a =，4c =，∴222
9b a c =-=，
所以，椭圆的标准方程为
22
1259
x y +=。 （2）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22
221y x a b
+=（0a b >>），
由椭圆的定义知，
2a ===
∴10a =，又∵2c =，∴222
1046b a c =-=-=，
所以，椭圆的标准方程为
22
1106
y x +=。
（3）∵c =
2226a b c -==，①
又由:2:1a b =代入①得2
2
46b b -=， ∴2
2b =，∴2
8a =，又∵焦点在x 轴上，
所以，椭圆的标准方程为22
182x y +=。 （4）设椭圆方程为22
221y x a b
+=，
∴221b =，∴2
2b =，
又∵225a b +=，∴2
3a =，
所以，椭圆的标准方程为22
132
y x +=． （5）∵焦距为6，∴3c =， ∴222
9a b c -==，又∵1a b -=，∴5a =，4b =，
所以，椭圆的标准方程为
2212516x y +=或22
12516y x +=． （6）设椭圆方程为22
1x y m n
+=（,0m n >）， 由2
235()()221351m n m n
?-?+=???+=??得6,10m n ==， 所以，椭圆方程为
22
1106
y x ++=． 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。
例2．（1）（06山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。
（2）（06天津理，8）椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为7
2
x =-
，则这个椭圆的方程是（ ） Ａ．
22
2(1)21213x y -+=
Ｂ．
22
2(1)21213x y ++= Ｃ．
2
2(1)15
x y -+=
Ｄ．
2
2(1)15
x y ++= 解析：（1
）已知22222224
2,161164(b a b c y x a a b c
F =??==????=?+=??-=???-??为所求； （2）椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -
∴ 半焦距2c =，相应于焦点F 的准线方程为7
.2
x =-
∴
252a c =，22
5,1a b ==，则这个椭圆的方程是22(1)15
x y ++=，选D 。 点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。
题型2：椭圆的性质
例3．（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
(A)2 (B)
22 (C) 2
1
(D)42
（2）（1999全国，15）设椭圆22
22b
y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，
若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。
解析：（1）不妨设椭圆方程为22221x y a b +=（a >b >0），则有
22
21b a c a c
=-=，据此求出e ＝
2
2
，选B 。 （2）21
；解析：由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 22，
∴c c a a b -=222，∴c a 12=，∴21=a c ，即e =2
1
。 点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。 例4．（1）（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）
A.
4
3
B.
55
4
C.
35
8
D.
33
4 （2）（1998全国理，2）椭圆3
122
2y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
解析：（1）D ；由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±c
a 2，
∴椭圆中心到准线距离为
3
3
4． （2）A ；不妨设F 1（－3，0），F 2（3，
0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2
147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A 。
点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。
题型3：双曲线的方程
例5．（1）已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；
（2）求与椭圆
22
1255
x y +=
共焦点且过点的双曲线的方程； （3）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为
9
(3,2),(,5)4
-，求双曲线的标准方程。
解析：（1）因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
22
221x y a b
-=(0,0)a b >>， ∵26,210a c ==，∴3,5a c ==，∴222
5316b =-=。
所以所求双曲线的方程为
22
1916
x y -=； （2）椭圆
22
1255
x y +=的焦点
为-，可以设双曲线的方程为22221x y a b
-=，则22
20a b +=。
又∵过点，∴22182
1a b
-=。
综上得，22
20a b =-=
221=。 点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量,,a b c 之间的关系。
（3）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>>①； ∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。
将9(3,,5)4-
分别代入方程①中，得方程组：22
2
2222(319()
2541
a
b a
b ?--=????-=?? 将21a 和21b 看着整体，解得221116
119
a b ?=????=??，
∴2216
9
a b ?=??=??即双曲线的标准方程为221169y x -=。 点评：本题只要解得22
,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的
过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
例6．(06上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.
解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与
虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是22
1916
x y -=； 点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。 题型4：双曲线的性质
例7．（1）（06福建卷）已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且
倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（ ）
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
（2）（06湖南卷）过双曲线M:2
2
21y x b
-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲
线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )
C.
3
D.2
（3）(06陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π
3 ,则双曲线的离心率
为（ ）
A.2
B. 3
C.263
D.23
3
解析：（1）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b
a
， ∴ b
a
≥3，离心率e 2=22222c a b a a +=
≥4，∴ e ≥2，选C 。 （2）过双曲线1:222
=-b y x M 的左顶点A (1，0)作斜率为1的直线l ：y=x －1, 若l 与
双曲线M 的两条渐近线22
20y x b
-=分别相交于点1122(,),(,)B x y C x y , 联立方程组代入
消元得22
(1)210b x x -+-=，
∴ 122
1222111x x b x x b ?
+=??-???=?-?
，x 1+x 2=2x 1x 2，
又||||BC AB =,则B 为AC 中点，2x 1=1+x 2，代入解得1214
12
x x ?=????=-??，
∴ b 2=9，双曲线
M 的离心率e=10c
a
=，选A 。
（3）双曲线22212
x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π
3 ，则23tan 63a π==，∴
a 2=6，双曲线的离心率为23
3
，选D 。
点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现c b a ,,三元素之间的关系。
例8．（1）（06江西卷）P 是双曲线22
x y 1916
－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）
2＋y 2＝4
和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9
（2）（06全国卷I ）双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = A ．14-
B ．4-
C ．4
D ．1
4
（3）（06天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=
，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A ．36
B ．4
C ．2
D ．1 解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B 。
（2）双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为
2214
x y -+=，∴ m=1
4-，选A 。
（3）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=
，
∴ 229
2a b b a
?+=?
?=?
?，解得2236a b ?=?=?，所以它的两条准线间的距离是222a c ?=，选C 。 点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5：抛物线方程
例9．（1）)焦点到准线的距离是2；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程。
解析：（1）y 2
=4x ，y 2
=-4x ，x 2
=4y ，x 2
=-4y ；
方程是x 2
=-8y 。
点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p ，因此只
要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。 题型6：抛物线的性质
例10．（1）（06安徽卷）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4 （2）（浙江卷）抛物线2
8y x =的准线方程是（ ）
(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- （3）（06上海春）抛物线x y 42=的焦点坐标为( )
（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(
解析：（1）椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ；
（2）2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A ；
（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 。应选B 。
点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。
例11．（1）（全国卷I ）抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3 （2）（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。 （3）（2001广东、河南，10）对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是（ ）
A.（－∞，0）
B.（－∞，2]
C.［0，2］
D.（0，2）
能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是 ．（要求填写合适条件的序号） 解析：（1）设抛物线2
y x =-上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4380x y +-=的距离
为2|438|5
m m --，当m=32时，取得最小值为43，选A ；
（2）答案：②，⑤
解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。 （3）答案：B
解析：设点Q 的坐标为（42
y ，y 0），
由 |PQ |≥|a |，得y 02+（4
2
y －a ）2≥a 2.
整理，得：y 02（y 02+16－8a ）≥0， ∵y 02≥0，∴y 02+16－8a ≥0.
即a ≤2+820y 恒成立.而2+8
2
0y
的最小值为2.
∴a ≤2.选B 。
点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。
五．思维总结
在复习过程中抓住以下几点：
（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；
（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；
（3）焦半径公式：抛物线上一点P （x 1，y 1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：
221122112:;2:222:;2:22
p
p y px PF x y px PF x p
p x py PF y x py PF y ==+
=-=-+==+=-=-+