代数方程 知识点
1 代数方程
整式方程
举例说明含字母的一元一次方程和一元二次方程
方程中只含有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 经过整理之后的一元整式方程中含未知数的项 最高次数是n ，那么这个方程就叫做一元n 次方程。其中n>2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程
题型：判断是否是整式方程，是一元几次方程？
二项方程，如果一元n 次方程的一边只含有未知数的一项和非零的常数项。另一边是零， 一般形式：0n
ax b +=(0,0)a b ≠≠n 为正整数 解法：当n
当n 为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个根，且他们互为相反数：
如果ab>0，那么方程没有祋根
题型：判断是否是二项方程，解二项方程，
分式方程
解分式方程的一般步骤：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
（1） 考虑去掉方程中各分式的分母，把方程转化为整式方程
（2） 求解
（3） 判断所求的整式方程的根是不是原方程的根 用换元法解方程：例如：2223x x
+=等： 注意解分式方程时要记得检验
无理方程（与根式有关的方程）
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程
整式方程和分式方程统称为有理方程
有理方程和无理方程统称为代数方程
解无理方程的步骤：去根号，解有理方程，检验根
题型：解无理方程
二元二次方程
二元二次方程：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2,的整式方程
它的一般形式：220ax bxy cy dx ey f +++++=（a,b ,c,d,e,f 都是常数，a,b,c,中至少有一个不为零，当b 为0时，a 与d ，c 与e 分别不全为0）
方程组中，仅含有两个未知数，各方程式整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程组叫做二元二次方程组， 能满足二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解，方程组中所含各个方程的公共解叫做这个方程组的解
二元二次方程组的解法：（消元的思想将其转化为一元一次方程）
把一个未知数用另一个未知数的代数式表示----代入消元----解一元一次方程---带回---解出原方程的解，， 还可以利用方程本身的特点来解题！
列方程（组）解应用题
代数方程应用题
2.据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2%—5%之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大。现将4.94KG 的衣服放入最大容量为15KG的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到0.4%，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（一匙洗衣粉约为0.02KG，假设洗衣机以最大容量洗涤） 3.某商品的成本为每件200元，售价比成本高五成，两次打折仍赚43元，则每次打___折。 二、工程问题 1、某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20％，结果 共用了18天完成任务，问：计划每天加工服装多少套？设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为_____________________。 2、为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款。已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两 次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人，则该小区第二次捐款的人数是__________________________。 3、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲 队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成。 （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在70天完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 三、行程问题 1、在四川汶川抗震救灾中，某抢险地段需进行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全 区域，若导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步速度是5米/秒。为保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ）厘米。 2、甲、乙两站相距30千米，根据火车运行时刻表，火车按规定的速度从甲站驶向乙站，当火车行驶到一半路程时，
八年级数学代数方程同步练习题
当n 为偶数时,若ab ≤0,x 1 2＝±n -b a ，若ab ＞0,方程无21.1 一元整式方程 知识归纳 1.整式方程 只含关于未知数的整式的方程称为整式方程. 2.一元整式方程 方程中只含有一个未知数的整式方程. 3.一元高次方程 一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n,若次数n 是大于2的正整数,这样的方程统称为一元高次方程. 疑难解答 怎样准确判断方程是几元几次方程? 一个整式方程的“元”数和“次”数，一般都要在这个方程化为最简形式后才能判定. 关于x 的方程ax=b 的解有三种情况: (1)若a ≠0,方程ax=b 是一元一次方程,得x=b a (2)若a=0,b=0,方程0·x=0,x 可取一切实数 (3)若a=0,b ≠0,方程0·x ≠0,在实数范围内找不到满足等式的x,因此方程无实数根(无解) 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程时,可以把字母系数当成数看,就像解一般的数字系数的整式方程,但用含字母系数的式子去乘或除方程的两边时,这个式子的值不能等于0,在实数范围内对含字母系数的式子开平方时,这个式子的值不能小于0. 21.2 特殊的高次方程的解法 知识归纳 1.二项方程 ( 2.双二项方程:一般地,只含有偶数次项的一元四次方程,称双二项方程) (1)一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,另一边是零,这样的方程称二项方程 (2)关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为: ax n ＋b=0 (a ≠0,b ≠0,n 是正整数) 当n 为奇数时,x=n -b a 21.3 可化为一元二次方程的分式方程 知识归纳 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程 2.解分式方程的基本思路 把分式方程转化为整式方程,即“整式化”的化归数学思想 3.解分式方程的基本方法 换元法和去分母法 一、填空题 1.关于x 的方程(a-1)x=1(a ≠1)的解是__________. ，
代数方程知识点及经典习题
代数方程知识点 一.一元二次方程 1、一元二次方程的一般形式[20（a≠0）] 2、一元二次方程的判定方法 （1）根据定义判定。[即①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高次数是2 ] （2）根据一般形式判定。[即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能化为一元二次方程的一般形式20（a≠0）,那么它就是一元二次方程。] 二.因式分解 1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 2、一元二次方程解法的选择顺序：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。 三．一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式的概念 2.一元二次方程的根的情况与判别式的关系 判别式定理和逆定理?>0 ?方程有两个不相
等的实数根 ?=0 ?方程有两个相等的实数根 ?<0 ?方程没有实数根 ?≥0 ?方程有两个实数根3.一元二次方程根的判别式的应用 1）不解方程，判定方程根的情况 2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。 3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根） 4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。 四.根与系数的关系 1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程20（a≠0）的两个实数根是x 1, x 2 ,那么 12 ＿＿, 12 ＝ ＿＿, 2韦达定理的逆定理 如果实数x 1, x 2 满足 12 ＿＿, 12 ＝＿＿, 那么x 1 , x 2 是一元 二次方程20的两个根． 3韦达定理的两个重要推论 推论1：如果方程20的两个根是x 1, x 2 ， 那么 12＿＿, 12 ＝＿＿,
初二第二学期代数方程的应用题训练卷
2015年初二第二学期《代数方程》的应用题训练卷 一、选择题 1．如果关于x 的方程m x =+-312没有实数根，那么m 的取值范围是（ ） （A ）m ≥0； （B ）m ≥3； (C)m ＜0 ； (D)m ＜3. 2．等式29x -=x +3·x -3成立的条件是 （ ） （A ）x ≤3； （B ）x ≥3； （C ）x ≥－3； （D ）－3≤x ≤3. 3．打印一份稿件，甲需要a 小时，乙需要b 小时，甲、乙两人共同打印这份稿件需要的时间是（ ） （A ） 2b a +小时； （B ）ab b a +小时； （C ）b a ab +小时； （D ）b a +2小时. 4．某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） （A ）23000(1)5000x +=； （B ）230005000x =； （C ）23000(1)5000x +=％； （D ）23000(1)3000(1)5000x x +++=． 5．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，为求二月、三月平均每月的增长率是多少，可设平均每月增长的百分率为x ，根据题意，列出的方程是（ ） （A ） 50(1+x )2=175 ； （B ）50+50(1+x )2=175； （C ）50(1+x )+50(1+x )2=175； （D ）50+50(1+x )+50(1+x )2=175 . 6．某景区有一景点的改造工程要限期完工．甲工程队独做可提前1天完成，乙工程队独做要误期6天．现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成．设工程期限为x 天，则下面所列方程中正确的是（ ）． （A ）1614=-++x x x ；（B ）614-=-x x x ；（C ）1614=++-x x x ；（D ）x x x x =++-6 14. 二、填空题 1．已知关于x 的方程1(3)10(0)m x m x x ++--=≠，当m_________时，它是一元二次方程。 2．已知关于x 的方程21(3)10(0)m x m x x ++--=≠，当m_________时，它是一元二次方程。 3．已知关于x 的方程21(1)(3)10(0)m m x m x x +++--=≠，当m________时，它是一元二次方程。 4．在实数范围内分解因式：=+-5822x x ____________________。 5．在实数范围内分解因式：=+--2223y xy x _________________。 6．方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是,2211+-=x 2 212--=x ，则把二次三项式c bx ax ++2因式分解，结果应是 。 7．当m=____________时，分式方程6 362 -=--x m x x 会产生增根。
代数方程 解法
代数方程 解法 化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元 分式化整式：化整式的方法：去分母，换元 无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元 多元化一元：代入和加减消元 1.一元一次方程和一元二次方程的解法 一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法： 适用于（mx+n ）2 =h (h ≥0)的一元二次方程。 （2）配方法： 适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。 配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2 =h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是： ①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程 用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式() 04242 2≥--±-=ac b a ac b b x 可以解 所有的一元二次方程。
注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2 -4ac ＜0时，原方程无实数解。 （4）因式分解法： 适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2.含字母系数的整式方程的解法 3.特殊的高次方程的解法 （1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法 二项方程的定义： 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。 关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是 ),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+ 二项方程的解法及根的情况： 一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为a b x n - = 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 二项方程的根的情况： 对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n 为偶数时，如果0
二元一次方程组解应用题专项训练(含答案)
列二元一次方程组解应用题专项训练 1、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢？ 2、某长方形的周长是44cm，若宽的3倍比长多6cm，则该长方形的长和宽各是多少？ 3、已知梯形的高是7，面积是56cm2，又它的上底比下底的三分之一还多4cm，求该梯形的上底和下底的长度是多少？ 4、某校初一年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元 （1）若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？ （2）请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？ （3）若两班人数均等，您认为是分班购票合算还是集体购票合算？ 5、某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。
（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？ （2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？ 6、某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？ 7、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况下时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问通过的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。 8、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制成盒身，多少张铁皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解线性代数方程
解线性代数方程
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求解线性方程组的直接解法 5.3特殊矩阵的三角分解 ①实对称矩阵的LDL T分解 设A是实对称阵,且A的所有顺序主子式均不为零，则LDR分解中R=L T, 故可用以作LDL T分解.这就是说,当A的对角元素非零时，我们可 以作LU分解,也就得到LDL T分解,L相同,是单位上三角阵,U的对角元素 构成D.不过没有利用对称性,存储量运算量都未能节省—预计是一半。试 用n=3的计算表格说明如何实现节省。 d1=u11 =a11 u12=a12 l21=u12/d1 u13=a13 l31=u13/d1 d2=u22=a22-l21u12u23=a23-l21u13 l32=u23/d2 u33=a33-l31u13-l32u23 这样,可用上半部元素逐列计算D,L T。也可用下半部元素逐行计算L,D。引进輔助量t1, t2代替u1j,u2j,并利用对称性得到： d1=a11 t1=a21 l21= t1/d1 d2= a22-t1l21 t1=a31 l31=t1/d1t2=a32-t1l21 l32=t2/d2 d3=a33-t1l31-t2l32 据此不难写出LDL T分解A=LDL T的计算公式和程序(逐行计算L,D). d1=a11 for i=2:n for j=1:i-1 t j=a ij-l j1t1-l j2t2-…-l j,j-1t j-1 l ij=t j/d j end d i=a ii-l i1t1-l i2t2-…- l i,i-1t i-1 end 存储约n(n+1)/2单元,乘加运算各约n3/6. 利用LDL T分解解Ax=b分四步: 1．分解A=LDL T 2．解Lg=b 求g 3．解Dy=g 求y 4．解L T x=y 求x ②实对称正定矩阵的LL T分解 A实对称正定时顺序主子式皆正,可作LDL T,D的对角元素皆正,有正
第二十章 代数方程 列方程解 应用题
第二十章代数方程列方程解应用题 一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的睥折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同。已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元， 求这辆车第二、三年的年折旧率。 为了配合教学的需要，某教具厂的木模车间要制作96个一样大小的正方体模型，准备用一块长128厘米、宽64厘米、高48厘米的长方体木材来下料。经教具生产设计师的精心设计，若不计损耗，则该木材恰好用完，没有剩余。求这个正方体模型的棱长是多少厘米。 某市为了美化环境，计划在一定时间内完成绿化面积200万亩的任务。后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务。经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积。 某中学八年级学生到离校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时出发。已知先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早半小时到达目的地。求先遣队与大部队的行进速度。 有两块正方形的瓷砖，其中小的一块瓷砖的面积比大的瓷砖面积小40平方分米。已知大瓷砖的边长比小瓷砖的边长长4分米，求这两块瓷砖的面积分别是多少。 L1是一条东西方向的道路，L2是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点O，小明小丽分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着L1以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着L2以5千米/时的速度由南向北前进。有一棵百年古树位于点P处，古树与L1、L2的距离分别为3千米和2千米。问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等。 某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完成。问：甲乙两队单独完成此项工程各需多少天？
代数方程讲解
代数方程讲解(1) 解下面方程 （1）).1(1122-≠-=-b x bx （2）n x mx -=+34 （3）1222+=++x a ax ax （4）x 3-2x 2-4x ＋8=0． （5）(x-2)(x ＋1)(x ＋4)(x+7)=19． （6）(6x ＋7)2(3x+4)(x+1)=6． （7）12x 4-56x 3+89x 2-56x+12=0． （8）x 4-10x 3-2(a-11)x 2＋2(5a+6)x+2a+a 2=0，其中a 是常数，且a ≥-6． （9）
（10） （11） （12） (13) (14) (15)如果只有一个实数根，求a的值及对应的原方 程的根．
代数方程习题(1) 1．填空： (1)方程(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)=24的根为_______． (2)方程x 3-3x ＋2=0的根为_____． (3)方程x 4+2x 3-18x 2-10x+25=0的根为_______． (4)方程(x 2+3x-4)2＋(2x 2-7x ＋6)2=(3x 2-4x+2)2的根为______． (7)如果关于x 的方程 有增根x=1，则k=____． 2．解方程 (1)a(x-3)=4(a-x) (2)()09122≠-=+m mx mx (3) (4x ＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x 4． (4)x 5＋2x 4-5x 3＋5x 2-2x-1=0． (5) (6) (x+2)4+(x-4)4=272．
(7)x 3+(a-2)x 2-(4a+1)x-a 2＋a+2=0． (8) (9) （10） （11） （13）m 是什么数值时，方程有根？ （14）如果不论k 为何值，1-=x 总是关于x 的方程 13 22-=--+bk x a kx 的解，试求b a ,的值
高次代数方程求根
高次代數方程求根 P n(x) = a0x n+a1x n+．．．+a n-1x+a n=0 上式的左邊為多項式的方程，稱為n次代數方程，或多項式方程。而當中n=1,2,．．．,a k是實系數或複系數，但a0不等於0。當n>1的時候，P n(x)則稱為高次代數方程，而它的次數就是n。以上的多項式中的零點就是對應代數方程的根。 人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解法的問題。如巴比倫泥板中的平方表和立方表，它們可被用作解某些特殊的二次和三次方程。 在中國古代，人們已相當系統地解決了高次方程求解的問題：《九章算術》以算法形式給出求二次方程和正系數三次方程根的具體計算程序。7世紀，王孝通也找出了求三次方程正根數值解法。11世紀，賈憲《黃帝九章算法細草》創：「開方作法本源圖」，是以「立成釋鎖法」解三次或三次以上的高次方程式。同時，他亦提出了一種更簡便的「增乘開方法」。 13世紀，由秦九韶《數書九章》完成了「正負開方術」，更提供了一個用算籌布列解任何的數字方程的可行可計算的算法，可以求出任意次代數方程的正根。 除中國外，阿拉伯人對高次代數方程亦有所研究，在9世紀，花拉子米是第一個給出二次方程的一般解法，而在1100年，奧瑪?海亞姆給出了些特殊的三次方程式解法。 1541年，塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法。1545年，卡爾達諾的名著《大術》一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發展，並記載了費拉里的四次方程的一般解法。 1736年，在牛頓的《流數法》一書中，給出了著名的高次代數方程的一種數值解法。1690年，J.拉福生亦提出了類似的方法，而它們的結合就成為現代常用的方法──牛頓法，亦稱為切線法。這是一種廣泛用於高次代數方程和方程組求解的迭代法，一直為數學界所採用，並不斷創新，如修正牛頓法及擬牛頓法等。 1797年，高斯給出了「代數基本定理」，證實了高次代數方程根的存在性。 1819年，霍納給出了高次方程數值求根另一種方法──霍納法，它的思想和計算程序與秦九韶的算法相近，而類似的方法在1804年魯非尼也曾提出過。霍納法有廣泛的應用，而在現代改進形式稱為劈因子法。 此外，伯努利法和勞思表格法等亦是現在常用的高次代數方程數值解法。
列代数方程解应用题目标样题
列代数方程解应用题目标样题 例1.某厂接到一份订单, 某运动会开幕式需要720面彩旗.后来由于情况紧急,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前2天完成生产任务.该厂迅速增加人员,实际每天比原计划多生产36面彩旗,请问该厂实际每天生产多少面彩旗? 例2. 如图1，x 轴表示一条东西方向的道路，y 轴表示一条南北方向的道路.小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发，小丽沿着x 轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着 y 轴以5 千米/时的速度由南向北前进. 有一颗百年古树位于图中的P 点处，古树与x 轴、y 轴的 距离分别是3千米和2千米. 问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？ （2）离开路口后经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？ 练习题1．（基础题）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多 行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是 （A ） 20 35 25-=x x ； （A ） x x 35 2025=-； （A ） 20 35 25+=x x ； （A ） x x 35 2025=+. 2.（基础题）某市为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x 米管道，那么根据题意，可得方 程 ． 3.（基础题）某种电器，原来每台售价3000元，经三次降价后，现在每台售价2187元，求平均每次降价的百分率. 4．（基础题）为了配合教学的需要，某教具厂木模车间要制作96个一样大小的正方体模型.准备用一块长128厘米、宽64厘米、高48厘米的长方形木材来下料.经教具生产设计师的精心设计，该木材恰好用完，没有剩余（不计损耗）.求每个正方体模型的棱长. 5.（基础题）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了60米，因而比原计划提前2个月完成任务．（1）求完成此项工程原计划每个月需掘进多少米？（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天计算） 6.（基础题）在“蓝天下至爱”捐款活动中，区慈善基金会对甲、乙两个单位捐款情况进行了统计，得到如下三条信息：(1) 甲单位共捐款6000元，乙单位捐款数比甲单位多一倍；(2) 乙单位平均每人的捐款数比甲单位平均每人的捐款数少100元；(3) 甲单位的人数是乙单位的4 1.你能根据以 上信息，求出这两个单位总的平均每人捐款数吗？ 7.（基础题）小敏的爸爸是一家水果店的经理．一天，他去水果批发市场，用100元购进甲种水果，用100元购进乙种水果，已知乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元． （1）求甲、乙两种水果各购进了多少千克？
代数方程 知识点
1 代数方程 整式方程 举例说明含字母的一元一次方程和一元二次方程 方程中只含有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 经过整理之后的一元整式方程中含未知数的项 最高次数是n ，那么这个方程就叫做一元n 次方程。其中n>2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程 题型：判断是否是整式方程，是一元几次方程？ 二项方程，如果一元n 次方程的一边只含有未知数的一项和非零的常数项。另一边是零， 一般形式：0n ax b +=(0,0)a b ≠≠n 为正整数 解法：当n 当n 为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个根，且他们互为相反数： 如果ab>0，那么方程没有祋根 题型：判断是否是二项方程，解二项方程， 分式方程 解分式方程的一般步骤：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 （1） 考虑去掉方程中各分式的分母，把方程转化为整式方程 （2） 求解 （3） 判断所求的整式方程的根是不是原方程的根 用换元法解方程：例如：2223x x +=等： 注意解分式方程时要记得检验 无理方程（与根式有关的方程） 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程 有理方程和无理方程统称为代数方程 解无理方程的步骤：去根号，解有理方程，检验根 题型：解无理方程 二元二次方程 二元二次方程：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2,的整式方程 它的一般形式：220ax bxy cy dx ey f +++++=（a,b ,c,d,e,f 都是常数，a,b,c,中至少有一个不为零，当b 为0时，a 与d ，c 与e 分别不全为0） 方程组中，仅含有两个未知数，各方程式整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程组叫做二元二次方程组， 能满足二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解，方程组中所含各个方程的公共解叫做这个方程组的解 二元二次方程组的解法：（消元的思想将其转化为一元一次方程） 把一个未知数用另一个未知数的代数式表示----代入消元----解一元一次方程---带回---解出原方程的解，， 还可以利用方程本身的特点来解题！ 列方程（组）解应用题
初二第二学期《代数方程》的应用题训练卷
初二第二学期《代数方 程》的应用题训练卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2015年初二第二学期《代数方程》的应用题训练卷 一、选择题 1．如果关于x 的方程m x =+-312没有实数根，那么m 的取值范围是（ ） （A ）m ≥0； （B ）m ≥3； (C)m ＜0 ； (D)m ＜3. 2．等式29x -=x +3·x -3成立的条件是 （ ） （A ）x ≤3； （B ）x ≥3； （C ）x ≥－3； （D ）－3≤x ≤3. 3．打印一份稿件，甲需要a 小时，乙需要b 小时，甲、乙两人共同打印这份稿件需要的时间是（ ） （A ）2b a +小时； （B ）ab b a +小时； （C ）b a ab +小时； （D ）b a +2小时. 4．某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是 （ ） （A ）23000(1)5000x +=； （B ）230005000x =； （C ）23000(1)5000x +=％； （D ）23000(1)3000(1)5000x x +++=． 5．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，为求二月、三月平均每月的增长率是多少，可设平均每月增长的百分率为x ，根据题意，列出的方程是（ ） （A ） 50(1+x )2=175 ； （B ）50+50(1+x )2=175； （C ）50(1+x )+50(1+x )2=175； （D ）50+50(1+x )+50(1+x )2=175 . 6．某景区有一景点的改造工程要限期完工．甲工程队独做可提前1天完成，乙工程队独做要误期6天．现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成．设工程期限为x 天，则下面所列方程中正确的是（ ）． （A ）1614=-++x x x ；（B ）614-=-x x x ；（C ）16 14=++-x x x ；（D ）x x x x =++-6 14. 二、填空题
用Matlab解代数方程
一般的代数方程 函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。例： syms a b c x S=a*x^2+b*x+c; solve(S) ans= [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] b=solve(S,b) b = -(a*x^2+c)/x
线性方程组 线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。
线性微分方程 函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。 函数dsolve的输出方式 格式说明 y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出 参数 S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.f S.g S.h结构数组的形式输出
例1 求 2 1u dt du += 的通解. 解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t') 结 果：u = tg(t-c) 例2 求微分方程的特解. ???íì===++15 )0(',0)0(029422 y y y dx dy dx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结果为: y =3e -2x sin （5x ）
代数方程同步练习题(附答案)
代数方程同步练习题（附答案） 21.1 一元整式方程知识归纳 1.整式方程只含关于未知数的整式 的方程称为整式方程. 2.一元整式方程方程中只含有一个未知数的 整式方程. 3.一元高次方程一元整式方程中含有未知数的项的最高 次数是n,若次数n是大于2的正整数,这样的方程统称为一元高次方程. 疑难解答怎样准确判断方程是几元几次方程? 一个整式方程的“元”数和“次”数，一般都要在这个方程化为最简形式后才能判定. 关于x的方程ax=b的解有三种情况: (1)若a≠0,方程ax=b是一元 一次方程,得x=ba (2)若a=0,b=0,方程0?x=0,x可取一切实数 (3) 若a=0,b≠0,方程0?x≠0,在实数范围内找不到满足等式的x,因此方程无实数根(无解) 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程时,可以把字母系数当成数看,就像解一般的数字系数的整式方程,但用 含字母系数的式子去乘或除方程的两边时,这个式子的值不能等于0,在实数范围内对含字母系数的式子开平方时,这个式子的值不能小于0. 21.2 特殊的高次方程的解法知识归纳 1.二项方程 (2.双二项 方程:一般地,只含有偶数次项的一元四次方程,称双二项方程) (1) 一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,另一边是零,这样的方程称二项方程 (2)关于x的一元n次二项方程的一般形 式为: axn＋b=0 (a≠0,b≠0,n是正整数) 当n为奇数时,x=n-ba 21.3 可化为一元二次方程的分式方程知识归纳 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程 2.解分式方程的基本思路把分式方程转 化为整式方程,即“整式化”的化归数学思想 3.解分式方程的基本 方法换元法和去分母法一、填空题 1.关于x的方程(a-1)x=1(a≠1)的解是__________. 2.关于y的方程ay2=1(a＞0)的解是__________. 3.x=2是方程ax-3=20+a的解,则a=__________. 4.方程5x2=6x3的 解是__________. 5.方程16x4-81=0的解是__________. 6.方程 x4-13x2+36=0的解是__________. 7.若代数式(x-3)(x2+x-6)的值等于零,则x=__________. 8.分式方程xx2-1-1=2x+13x-3中,各分母的最简公分母是__________. 9.用换元法解方程(x+1x)2-3(x+1x)-4=0,设________=y,则原方程可化为__________________. 10.若方程ax －bx-1＝1有根x=2,则a-2b=__________. 11.当m=______时,方程
2020年初二第二学期《代数方程》的应用题训练卷
2020年初二第二学期《代数方程》的应用题 训练卷 一、选择题 1、如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是（）（A）≥；（B）≥； (C)＜0 ； (D)＜、 2、等式=成立的条件是（）（A）x≤3；（B）x≥3；（C）x≥－3；（D）－3≤x≤ 3、3、打印一份稿件，甲需要a小时，乙需要b小时，甲、乙两人共同打印这份稿件需要的时间是（）（A）小时；（B）小时；（C）小时；（D）小时、 4、某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，年投入万元，预计年投入万元、设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）（A）；（B）；（C）；（D）、 5、某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，为求二月、三月平均每月的增长率是多少，可设平均每月增长的百分率为x，根据题意，列出的方程是（）（A）50(1+x)2=175 ；（B） 50+50(1+x)2=175；（C）50(1+x)+50(1+x)2=175；（D） 50+50(1+x)+50(1+x)2=175 、6、某景区有一景点的改造工程要限期完工、甲工程队独做可提前1天完成，乙工程队独做要误期6天、现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如
期完成、设工程期限为天，则下面所列方程中正确的是（）、（A）；（B）；（C）；（D）、 二、填空题 1、已知关于x的方程，当m_________时，它是一元二次方程。 2、已知关于x的方程，当m_________时，它是一元二次方程。 3、已知关于x的方程，当m________时，它是一元二次方程。 4、在实数范围内分解因式：____________________。 5、在实数范围内分解因式：_________________。 6、方程的两个实数根是，则把二次三项式因式分解，结果应是。 7、当m=____________时，分式方程会产生增根。 8、在已知范围内定义一种运算*，其规则为：，根据这个规则，方程的解是、9、某种电器，进货价为每台2400元，原销售价为每台4500元，现降价两次但仍盈利20%，则平均每次降价率为、 10、一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达、设列车原来行驶速度为千米/时，则所列出的方程是
(精心整理)一元一次方程应用题100道(带问题详解)
初一数学上册一元一次方程应用题100道问题补充： 第3章一元一次方程全章综合测试（时间90分钟，满分100分） 一、填空题．（每小题3分，共24分） 1．已知4x2n-5+5=0是关于x的一元一次方程，则n=_______． 2．若x=-1是方程2x-3a=7的解，则a=_______． 3．当x=______时，代数式x-1和的值互为相反数． 4．已知x的与x的3倍的和比x的2倍少6，列出方程为________． 5．在方程4x+3y=1中，用x的代数式表示y，则y=________． 6．某商品的进价为300元，按标价的六折销售时，利润率为5%，则商品的标价为____元． 7．已知三个连续的偶数的和为60，则这三个数是________． 8．一件工作，甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成，若甲、乙一起做，?则需________天完成． 二、选择题．（每小题3分，共30分） 9．方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解，则m的值为（）． A．0 B．1 C．-2 D．- 10．方程│3x│=18的解的情况是（）． A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解 11．若方程2ax-3=5x+b无解，则a，b应满足（）． A．a≠，b≠3 B．a= ，b=-3 C．a≠，b=-3 D．a= ，b≠-3 12．把方程的分母化为整数后的方程是（）． 13．在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，?两人同地、同时、同向起跑，t 分钟后第一次相遇，t等于（）． A．10分B．15分C．20分D．30分 14．某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份减少了10%，则三月份的销售额比一月份的销售额（）． A．增加10% B．减少10% C．不增也不减D．减少1% 15．在梯形面积公式S= （a+b）h中，已知h=6厘米，a=3厘米，S=24平方厘米，则b=（?）厘米．A．1 B．5 C．3 D．4 16．已知甲组有28人，乙组有20人，则下列调配方法中，能使一组人数为另一组人数的一半的是（）．A．从甲组调12人去乙组B．从乙组调4人去甲组 C．从乙组调12人去甲组 D．从甲组调12人去乙组，或从乙组调4人去甲组 17．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分，?一个队打了14场比赛，负了5场，共得19分，那么这个队胜了（）场． A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图所示，在甲图中的左盘上将2个物品取下一个，则在乙图中右盘上取下几个砝码才能使天平仍然平衡？（）A．3个B．4个C．5个D．6个 三、解答题．（19，20题每题6分，21，22题每题7分，23，24题每题10分，共46分） 19．解方程： 7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 20．解方程：（x-1）- （3x+2）= - （x-1）．
代数方程应用题练习题
代数方程应用题练习题 1、A 、B 两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时相遇.相遇后，两车各以原来速度继续行驶，甲车到达B 后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车和乙车的速度. 2、A 、B 两个码头相距6千米，一只船从A 出发划船逆流而上用了1小时30分 钟到达 B.回来时，开始的32路程划船前进，余下的3 1路程让船顺水漂移到达A 地，结果来去所用时间相同.求船在静水中的划行速度和水流速度. 3、某厂接到一份订单, 某运动会开幕式需要720面彩旗.后来由于情况紧急,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前2天完成生产任务.该厂迅速增加人员,实际每天比原计划多生产36面彩旗,请问该厂实际每天生产多少面彩旗? 4、某市为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x 米管道，那么根据题意，可得方程 ． 5、某件上衣标价为132元，若降价以9折出售，仍可获利10%，则该上衣的进货价是( ) A 、108元 B 、105元 C 、106元 6、商店购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，将每件的售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获利润是降价前所获利润的90%，则x 等于（ ） A 、10 B 、4 C 、2 D 、1.8 7、制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品的销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
符号代数方程的求解
6.5 符号代数方程的求解 6.5.1 线性方程组的符号解 【* 例 6.5.1 -1 】求 线性方程组的解。本 例演示，符号线性方程组的基本解法。 A=sym([1 1/2 1/2 -1;1 1 -1 1;1 -1/4 -1 1;-8 -1 1 1]); b=sym([0;10;0;1]);X1=A\b X1 = [ 1] [ 8] [ 8] [ 9] 【* 例 6.5.1 -2 】求解上例前 3 个方程所构成的“欠定”方程组，并解释解的含义。syms k A2=A(1:3,:);X2=A2\b(1:3,1) % 求一个特解：最少非零元素的最小二乘解 XX2=X2+k*null(A2) % 构成通解 A2*XX2 % 验算 X2 = [ 0] [ 8] [ 4] [ 6] XX2 = [ k] [ 8] [ 4+4*k] [ 6+3*k] ans = [ 0] [ 10] [ 0] 6.5.2 一般代数方程组的解 【* 例 6.5.2 -1 】求方程组，关于的解。 S=solve('u*y^2+v*z+w=0','y+z+w=0','y','z')
disp('S.y'),disp(S.y),disp('S.z'),disp(S.z) S = y: [2x1 sym] z: [2x1 sym] S.y [ -1/2/u*(-2*u*w-v+(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))-w] [ -1/2/u*(-2*u*w-v-(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))-w] S.z [ 1/2/u*(-2*u*w-v+(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))] [ 1/2/u*(-2*u*w-v-(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))] 【* 例 6.5.2 -2 】用solve 指令重做例 6.5.1-2 。即求， ，构成的“欠定”方程组解。 syms d n p q;eq1=d+n/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10;eq3=q+d-n/4-p; S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q);S.d,S.n,S.p,S.q Warning: 3 equations in 4 variables. > In E:\MAT53\toolbox\symbolic\solve.m at line 110 In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\solve.m at line 49 ans = d ans = 8 ans = 4*d+4 ans = 3*d+6 【* 例 6.5.2 -3 】求的解。 clear all,syms x;s=solve('(x+2)^x=2','x') s = .69829942170241042826920133106081