第六章脉冲响应函数

第6章 脉冲响应函数的辨识

6.1辨识问题的提法

下图所示，、将作用在系统上的一切随机干扰和噪声，用一个作用于系统输出的等效随机干扰源)t (v 来代替。其中，输入信号)(u t 是过程的运行操作信号，

是可以直接观测的确定性变量；)(y u t 是过程的实际输出，是不能被观测到的；y(t)

是过程的观测输出，混有随机噪声)t (v 。

由此可以提出辨识问题：

在已知输入、输出的观测量)(u t 、y(t)以及f t （f t 可以根据脉冲响应过渡历程时间的先验知识作粗略估计）的情况下，要求估计出脉冲响应函数)(g t 。

下面介绍两种辨识脉冲响应函数的常用方法：相关分析法和最小二乘法。 6.2用相关分析法辨识脉冲响应函数

相关函数是基于一种统计的描述，是由输出信号)(y t 同其余变量之间的关系确定脉冲响应函数。假定噪声)t (v 是一个零均值平稳随机过程，并与)(u t 不相关，且过程是线性时不变的、因果性的系统，过程的未知脉冲响应函数为)(g t ，则过程的输入、输出和脉冲响应函数之间的基本关系如下：

?∞

-=0)()()(y λλλd u t g t u （6.1）

?+-=f

t t v d u t g t 0

)()()()(y λλλ (6.2)

把变量t 用τ+t 代换，得

?++-+=+f

t t v d t u g t 0)()()()(y τλλτλτ (6.3)

由于已经假设)t (v 与输入信号)(u t 不相关，因此对应的相关系数0)(uv =τR ，是可得维纳-霍夫方程。

λλλτd t R g R f

t uu )()()(0uy -=? (6.4)

若将（6.4）离散化，得到离散型Wiener-Holf 方程：

过程g(t)

)

(u t y(t)

)

(y u t )

t (v ＋

＋

∑-=?-=1

)()()(N i uu uy t i k R i g k R (6.5)

式中t ?为)(g t 的采样周期，f t t N =?；

∑-+=-=

100

)()(1

)(M i i i uu i u k i u M

k R (6.6)

∑-+=-=

100

)()(1

)(M i i i uy i y k i u M

k R (6.7)

M 为足够大的整数，0i 为计算起点。 6.3 用最小二乘法辨识脉冲响应函数

假定对连续信号)(u t 和y(t)以t ?为周期进行采样，当t ?足够小时，)(u t 和

y(t)在采样期间可看成是常数。

在t k t ?=，并令)()(t k h t t k g ?=??时，有

)()()()(1

0t k v t i t k u t i h t k y N i ?+?-??=?∑-= (6.8)

将观测数据代入，可形成m+1线性方程组，写成矩阵方程形式：

v Uh y += (6.9)

定义误差矢量为：

Uh y v -= (6.10)

要求指标函数J 相对于h 达到最小：

)()(Uh y Uh y v v J T T --== (6.11)

其定义为一个矢量函数h ?，使得由于干扰噪声引起的误差的平方和最小。可直接得到最小二乘估计h

?： y U U U h T T 1-?）（= (6.12)

6.4 最小二乘辨识与相关分析法辨识的关系

已知脉冲响应的最小二乘估计为：

d F y U m U U m y U U U h T T T T 111-)1

1()11?--=++==（）（ (6.13)

假设输入输出序列{})(k u ，}{)(k y 是平稳的和遍历的随机序列，由m 个数据构成输入自相关函数)(k R uu ，输入输出的互相关函数关系为)(k R uy ，则

∑+=-+=m

i i j uu k j u j u m k R 00)()(11)( (6.14)

∑+=-+=m

i i j uy j y k j u m k R 00

)()(11)( (6.15) 其中0i 为任意正整数，表示在时间序列中相关函数计算的起点。相关分析法辨识具有最小二乘估计的性质，最小二乘的解也可以建议起离散型

Wiener-Holf 方程。

6.5激励信号的选择

选择激励信号是为了提高辨识精度和缩短辨识时间。

1 随机白噪声作激励信号 白噪声的相关函数为：

)()(2τδστ=uu R (6.16)

其中，)(τδ为Kronecke 函数，2σ为白噪声的方差。

采用白噪声作为激励信号的相关分析方法辨识过程的脉冲响应函数的结构图如下：

延时T 延时

（N-1）T

××

×平均

平均

平均

1/qT

1/qT

1/qT

白噪声发生器

线性系统g(t)

u(t)

u(kt)

...

y u (t)

v(t)

y(t)

T

y(kt)

y(kt)

y(kt)

R uy (0)

R uy (T)

R uy ((N-1)T)

?(0)g

?()g

T ?((1))g

N T -

图中t T ?=为采样周期，2σ=q 为方差。 2随机信号作为激励信号

用随机信号作为激励信号计算互相关函数)(k R uy ，理论上要用无限长时间的观测数据。为了减少时间，可用“周期性的随机信号”，即伪随机信号作为激励信号。

)(t u 在（0，T ）时间内为白噪声，在此时间以外是周期函数，相关函数的计算如下：

??

+=+=∞→T

nT

n uu dt t u t u T dt t u t u nT

R 0

)()(1)()(1

lim

ττ (6.17)

伪随机信号)(t u 的自相关函数)(τuu R 不需要在无穷大时间内计算，只需在一个周期为T 内计算。类似可得：

?

?

?

+=

??

?

?

??-+=∞T

T

uy dt t y t u T d dt t u t u T

g R 0

)()(1)()(1)(τλλτλ (6.18)

用这样的信号作为激励信号，可得

+++=-=?∞

)()()()(2

20T h h d R g R u u uu uy τστσλλτλ (6.19)

若T ≥f t ，当T t ≥时，有0)(→t h ，则

)()(2

τστh R u uy = (6.20)

3随机二位式序列（PRBS ）作激励信号

目前实际使用最多的是所谓伪随机二位式序列(PRBS)。其中，最大长度二位式序列，简称“M 序列”。由自相关函数定义，可以计算出“M ”序列的自相关函数：

???

?????-<≤?-<< ?

??-????

+??-=.)1(,,,112

2t N t N a

t t N N t a R M M M M uu τττ (6.21) 可以看出，如果0→?t ，且∞→M N 时，“M 序列”的自相关函数就接近于伪随机白噪声信号的自相关系数。

6.6 用伪随机二位式序列（PRBS ）辨识脉冲响应函数

假设输入、输出信号的采样周期与“M 序列”的时钟脉冲同步，即t ?相同，且令1=?t 。取“M 序列”的长度M N 为

N N M = (6.22)

根据周期函数的相关函数计算公式和离散化相关函数计算公式，并取起点时刻为k i =0，即可得到

∑-+=-=

1)()(1

)(M N k k

i M

uu i u k i u N k R (6.23)

∑-+=-=

1)()(1

)(M N k k

i M

uy i y k i u N k R (6.24)

计算“序列”的自相关函数

??

?

??=≠-===,...,

1,0;,

,...,1,0;,)(2

2i iN k N a i iN k a k R M M M uu (6.25)

式中a 为“M 序列”的幅值。

由于??????

???

??????????

?

---

---=1...

111...111...112M

M

M M M M N N N N N N a φ， (6.26) 并由N N M =，可得到脉冲响应序列h

?的计算公式： ?????

?

?

??

?

????-????????????+==)1(...)1()0(2...111...211 (12)

)1(?2

1-N R R R N a N h uy uy

uy

γφ (6.27) 令[])()(i u sign a i u ?=，则可使互相关函数的计算更为简便，得到：

[])1,...,1,0()

()()(1

-=+=

∑-=N k k i y i u sign N

a

k R N i uy (6.28)

关于“M 序列”参数的确定可参考如下三个因素： 时钟脉冲周期；序列的长度；幅值。

脉冲响应函数简析

3-2 脉冲响应函数 对于线性定常系统，其传递函数)(s Φ为 )() ()(s R s C s =Φ 式中)(s R 是输入量的拉氏变换式，)(s C 是输出量的拉氏变换式。 系统输出可以写成)(s Φ与)(s R 的乘积，即 )()()(s R s s C Φ= （3-1） 下面讨论，当初始条件等于零时，系统对单位脉冲输入量的响应。因为单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统输出量的拉氏变换恰恰是它的传递函数，即 )()(s s C Φ= （3-2） 由方程(3-2)可见，输出量的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数，用)(t k 表示，即 1 ()[()]k t s -=Φ 脉冲响应函数)(t k ，是在初始条件等于零的情况下，线性系统对单位脉冲输入信号的响应。可见，线性定常系统的传递函数与脉冲响应函数，就系统动态特性来说，二者所包含的信息是相同的。所以，如果以脉冲函数作为系统的输入量，并测出系统的响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。在具体实践中，与系统的时间常数相比，持续时间短得很多的脉动输入信号就可以看成是脉冲信号。 设脉冲输入信号的幅度为11t ，宽度为1t ，现研究一阶系统对这种脉动信号的响应。如 果输入脉动信号的持续时间t )0(1t t <<，与系统的时间常数T 相比足够小，那么系统的响应将近似于单位脉冲响应。为了确定1t 是否足够小，可以用幅度为12，持续时间(宽度)为 21t 的脉动输入信号来进行试验。如果系统对幅度为11t ，宽度为1t 的脉动输入信号的响应，与系统对幅度为12t ，宽度为21t 的脉动输入信号的响应相比，两者基本上相同，那么1t 就可以认为是足够小了。图3-3(a)表示一阶系统脉动输入信号的响应曲线；图3-3(c)表示一阶系统对脉冲输入信号的响应曲线。应当指出，如果脉动输入信号T t 1.01<(图3-3(b)所示)， 则系统的响应将非常接近于系统对单位脉冲信号的响应。 这样，当系统输入为一个任意函数)(t r 时，如图3-4所示。那么输入量)(t r 可以用n 个连续脉冲函数来近似。只要把每一个脉冲函数的响应求出来，然后利用叠加原理，把每个脉冲函数的响应叠加起来，就可得到系统在任意输入函数)(t r 作用下的响应。

VAR与脉冲响应函数

VAR与脉冲响应函数 建立VAR本质是一个多元方程，因此需要变量序列都为同阶单整，且如果非平稳的话就需要存在协整关系，否则会出现伪回归现象。 脉冲响应函数（IRF）中变量序列顺序的变化会产生不同的脉冲图像。关于这个顺序的选择依据，目前还没见到相关说明。不过在实践中见到《经济研究》上一篇关于农村农民收入与金融发展关系的论文中，作者在IRF中为了避免不同的变量顺序产生不同的结果，每个VAR 只选取两个变量。此时两个变量的VAR不论顺便如何变化，IRF的结果也就唯一。个人认为这个方法非常好。如果VAR有两个以上变量，则可以根据要求建立起多个双变量的VAR和IRF，这样问题迎刃而解。 脉冲相应函数是用于衡量随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量当前和未来取值的影响.比如在eviews中有gnp和m2+cd的数列,在命令窗口输入series by=log(gnp)-log(gnp(-1)) 可以得到名义gnp成长率dy,同样类似的命令可以得到名义货币需求成长率dm.然后对名义数据的成长率进行var分 析.menu->quick->estimate VAR .内生变数里输入dy dm就可以了.在eviews 里进行var推定之后,view->impulse response里选择table,就可以知道第一期dm的noise在第二期也同样带来影响.用命令来输入的话,就是 var1.impluse(20,T) dy dm.括号内是期数. 在workfile窗口下点住x不放，拖到y上。也就是同时选中x和y序列，鼠标右键，在弹出的选单中选择open as group。 之后弹出窗口，点选窗口中的view，有graph和multipe graph两个选单，下面还有子目录，根据你的需要选择图表就行了，图表出现后可以进行复制粘贴。 点击 Edit——copy即可或者通过print转成PDF格式然后在复制粘贴

风险脉冲响应函数

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/5513401989.html, 风险脉冲响应函数 作者：孙志鹏张思妍 来源：《智富时代》2019年第01期 【摘要】本文基于Chavleishvili and Manganelli （2017）提出的多变量动态分位数回归模型（multivariate dynamic quantile model），对市场风险进行测量，并通过推导脉冲响应函数研究了市场风险对个体风险的传导机制。本研究选取沪深300指数、中国工商银行、平安银行及中信证券进行实证分析。结果显示：相比市场，金融机构对于结构性冲击（structural shock）更加敏感；此外，左尾冲击相较于右尾冲击会给金融机构带来更显著及持久的影响。这一研究结果验证了多变量动态分位数回归模型的稳健性。 【关键词】分位数回归；脉冲响应函数；VaR值 一、研究背景 自2007年美国次贷危机爆发，全球金融市场经历了前所未有的风险和损失，有效的风险管理越来越受到业界以及学术界的重视。中国自2001年加入WTO后，逐步加大了对外开放 的深度及广度，利率市场化改革的基本完成和汇率市场化的不断推进也为中国金融市场的长足发展提供了巨大的机遇，同时我们也面临着诸多挑战，例如：（1）如何有效地定义和测量市场风险；（2）市场风险是如何向个体金融机构传导。这些问题正是本文的主要研究重点所在。 VaR（value at the risk）这一概念最早于1994年由J.P Morgan提出，之后因其能快速、简单地将投资组合的风险信息数量化，逐渐被广泛的用来衡量和报告市场风险。但在传统方法中，VaR的计算是基于历史概率分布（historical distribution），而这一分布是确定性的，并不能很好地描述收益率分布的动态随机过程。因此，选择一个更加合适的模型估计VaR值，无论对企业的风险管理还是机构的投资决策都有至关重要的意义。在这一背景之下，Engle and Manganelli （2004）提出CAViaR（conditional autoregressive value at risk）模型，该模型直接 利用分位数回归对数据建模，突破了传统上先确定资产组合收益率概率分布的做法。该法主要有以下几个优点：首先，分位数回归所估计出的参数对极端的风险值测度依然很稳健；其次，由于该方法是一种半参数法（semi-parametric），因此不需要对数据的分布提出任何假设，能有效提高模型的估计效率，降低模型设定偏误。White et al. （2015）对CAViaR模型进行了推广，提出了能联合估计多个时间序列VaR值的VAR （vector autoregressive）模型，该模型最大的优点在于可直接测量多个随机变量的尾部风险冲击的相关关系，而不是由其时间序列的一阶矩和二阶矩间接得到。 CAViaR模型和VAR for VaR模型都对VaR的测度方法进行了拓展，然而它们在推导风险脉冲响应函数的过程中仍然存在若干问题。首先，由于分位数回归没有对误差项分布作具体设定，在CAViaR至VAR形式的推广过程中无法得到一个多变量联合概率分布，因此无法研究

利用相关分析法辨识脉冲响应

利用相关分析法辨识脉冲响应 自1205 刘彬 41251141 1 实验方案设计 1.1 生成输入数据和噪声 用M 序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声。 生成白噪声时，首先利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数，再利用U[0,1]均匀分布的随机数生成标准正态分布的白噪声。 1.2 过程仿真 模拟过程传递函数)(s G ，获得输出数据y(k)。)(s G 采取串联传递函数仿真， 2 12111 11)(T s T s T T K s G ++= ，用M 序列作为辨识的输入信号。 1.3 计算互相关函数 ∑++=-= p p N r N i p Mz i z k i u rN k R )1(1 )()(1 )( 其中r 为周期数，1+=p N i 表示计算互相关函数所用的数据是从第二个周期开始的，目的是等过程仿真数据进入平稳状态。 1.4 计算脉冲响应估计值、脉冲响应理论值、脉冲响应估计误差 脉冲响应估计值[] )1()()1()(?2 --?+=p Mz Mz p p N R k R t a N N k g 脉冲响应理论值[] 21//2 10)(T t k T t k e e T T K k g ?-?---=

脉冲响应估计误差 ()() ∑∑==-= p p N k N k g k g k g k g 1 2 1 2 )()(?)(δ 1.5 计算噪信比 信噪比()()2 2 )()(v k v y k y --=η 2 编程说明 M 序列中，M 序列循环周期取 63 126=-=p N ，时钟节拍t ?=1Sec ，幅度1=a ， 特征多项式为1)(56⊕⊕=s s s F 。白噪声循环周期为32768215=。 )(s G 采样时间0T 设为1Sec ，Sec 2.6 Sec,3.8 ,12021===T T K 3 源程序清单 3.1 均匀分布随机数生成函数 function sita=U(N) %生成N 个[0 1]均匀分布随机数 A=179; x0=11; M=2^15; for k=1:N x2=A*x0; x1=mod(x2,M); v1=x1/(M+1); v(:,k)=v1; x0=x1; end sita=v; end 3.2 正态分布白噪声生成函数 function v=noise(aipi) %生成正态分布N(0,sigma)

第六章脉冲响应函数

第6章 脉冲响应函数的辨识 6.1辨识问题的提法 下图所示，、将作用在系统上的一切随机干扰和噪声，用一个作用于系统输出的等效随机干扰源)t (v 来代替。其中，输入信号)(u t 是过程的运行操作信号， 是可以直接观测的确定性变量；)(y u t 是过程的实际输出，是不能被观测到的；y(t) 是过程的观测输出，混有随机噪声)t (v 。 由此可以提出辨识问题： 在已知输入、输出的观测量)(u t 、y(t)以及f t （f t 可以根据脉冲响应过渡历程时间的先验知识作粗略估计）的情况下，要求估计出脉冲响应函数)(g t 。 下面介绍两种辨识脉冲响应函数的常用方法：相关分析法和最小二乘法。 6.2用相关分析法辨识脉冲响应函数 相关函数是基于一种统计的描述，是由输出信号)(y t 同其余变量之间的关系确定脉冲响应函数。假定噪声)t (v 是一个零均值平稳随机过程，并与)(u t 不相关，且过程是线性时不变的、因果性的系统，过程的未知脉冲响应函数为)(g t ，则过程的输入、输出和脉冲响应函数之间的基本关系如下： ?∞ -=0)()()(y λλλd u t g t u （6.1） ?+-=f t t v d u t g t 0 )()()()(y λλλ (6.2) 把变量t 用τ+t 代换，得 ?++-+=+f t t v d t u g t 0)()()()(y τλλτλτ (6.3) 由于已经假设)t (v 与输入信号)(u t 不相关，因此对应的相关系数0)(uv =τR ，是可得维纳-霍夫方程。 λλλτd t R g R f t uu )()()(0uy -=? (6.4) 若将（6.4）离散化，得到离散型Wiener-Holf 方程： 过程g(t) ) (u t y(t) ) (y u t ) t (v ＋ ＋

脉冲响应函数分析,请高手解答

对两个时间序列A和B进行脉冲响应函数分析，在内生变量框里输入的次序不同（一次是A B,另一次是B A），通过eviews5.0得出的脉冲响应图的结果怎么会完全不一样？输入A B 时得出的是A对B的一次冲击有很大响应，B对A的一次冲击没有什么响应；输入B A 时得出的是A对B的一次冲击没什么响应，B对A的一次冲击有很大响应。哪位高手能解释一下这是什么原因？ 乔分解将所有影响的公共因素强加到你的VAR模型中的第一个变量中去，也就是说结果与你VAR模型中指定的变量秩序有关，你改变了秩序很正常的 解决办法：定义脉冲时在IMPUSE DEFINITION项目中分解方法选择广义脉冲结果就不会因为模型中变量指定秩序改变而改变了，也就是说结果与变量秩序无关。 高人，能否详细解释一下geralized Impulses和Cholesky-d.f. adjusted这两种脉冲响应的应用有什么不同？在哪种情况下应该使用geralized Impulses，在哪种情况下又应该使用Cholesky-d.f. adjusted?不胜感激。 Cholesky-d.f. adjusted实际上是运用乔分解时，当是小样本时，在估计残差的协方差估计时进行了修正（高第2版P310）也就是说它实际上是修正过的乔分解（主要征对小样本进行修正），它进行脉冲时同样存在乔分解的问题：脉冲与秩序有关而广义脉冲分解法其结果与秩序无关，它是为了避免乔分解结果与秩序有关而采用的另外一种分解方法，对样本无什么要求，只要你建立的VAR/SVAR模型稳定即可！ 请问只有对平稳序列才能建立VAR模型吗？看了一些教材，好像说法不一。 如果有序列LnY和LnX，它们是非平稳序列，但是一阶差分后平稳，此时能否对原序列进行VAR分析以及脉冲响应和方差分解分析？ 如果只有平稳序列才能进行VAR预测的话，对于取了差分之后的序列，应该如何解释经济含义呢？ 如GDP/、能源消费量等。 1、只有平稳才能建VAR模型，但有特例，就是涉及到一些变量是如增长率，由于种种原因，如数据太少，或其他原因，ADF检验没通过，但也可以算作平稳，视情况而定。 2、差分后的变量建立的模型，其经济含义只能是差分后的，比如GDP你就只能说是GDP 增长或增长率与其他变量的关系。 3、非要建立原始变量（GDP）的VAR模型的话，应该建立误差修正的向量自回归模型，要求协整。 建立VAR模型并没有对序列有什么要求，不过要想进行脉冲与方差分解的话，则要求所建立的VAR模型是稳定的（而不是序列平稳），也就是VAR模型的AR根均小于1（在单位园内），考虑到VAR系统平稳，所以应在建立模型时用平稳序列（这就是有的书上要求平稳序列，有的不要求平稳序列），否则难以达到所有AR根均小于1这个严格的要求，当然你构建VAR不进行脉冲与方差分解就无所谓了（序列平稳与否就无所谓了，反正是一个不稳的VAR就是了），不过建立一个不稳定的VAR，由于不能进行脉冲与方差分解，那就是吃饱了撑的，没事做找事做了，浪费时间，倒不如休息休息下。 我现在遇到的情况是：原序列是非平稳，一阶差分后平稳。使用原序列建立VAR模型，模型稳定，即AR 均小于1，这样的话进行脉冲响应分析时，曲线均呈发散状态。不知道如何是好啊~~~ 你如果不差分建立的VAR是稳定的，就无需差分，不稳定就考虑差分 脉冲分析可以发散呀，没有讲非得收敛呀，发散说明冲几击越来越大呀,正常呀

实验一利用相关函数辨识脉冲响应分析解析

北京工商大学 《系统辨识》课程 实验报告 （2014-2015 1学期） 课程名称：系统辨识 题目：利用相关分析法辨识脉冲响应 专业班级：控制工程 学生姓名： 指导教师：刘刘 成绩： 2015年1月18日 一、实验目的 通过仿真实验掌握利用相关分析法辨识脉冲响应的原理和方法。

二、实验内容 图1为本实验的原理框图。过程传递函数为) (s G,其中 Sec 2 6 T Sec, 3 8 120 2 1 . . ,= = =T K；) ( ) (k z k u和分别为过程的输入和输出变量；) (k v为 过程测量白噪声，服从正态分布，均值为零，方差为2 v σ，记作) , ( ~ ) (2 v N k vσ；) (k g 为过程的脉冲响应理论值，) ( ? k g为过程脉冲响应估计值，) (~k g为过程脉冲响应估计误差。 过程的输入驱动采用M序列，输出受到白噪声) (k v的污染。根据过程的输入和输出数据{})( ), (k z k u，利用相关分析算法根据输出过程的脉冲响应值) ( ? k g，并与过程脉冲响应理论值) (k g 比较，得到过程脉冲响应估计误差值) (~k g，当∞ → k时，应该有 → ) (~k g。 图1 相关分析法辨识脉冲响应原理框图 三、实验要求 进行方案设计，模拟过程传递函数，获得输出数据，用M序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声，计算互相关函数，不同λ值的脉冲响应估计值、脉冲响应理论值和脉冲响应估计误差，计算信噪比，画出实验流程图，用MATLAB编程实现。 四、实验原理 1、采用串联传递函数) (s G仿真 相关分析法 v(k) u(k) z(k) )1 )( 1 ( ) ( 2 1 + + = s T s T K s G y(k)