2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

4

a x +

+

=

，

24

x =

所以

(g x >

的解集为

()4

4

-∞+∞ 。

因为12,0

x x >，

所以

D == )4

4

+∞ 。

② 当113

a <<时，0?<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞，

综

上所述，当103

a <≤

时，

D =3333(0,()4

4

a a +-

++

+∞ ；

当

113

a <<时，D =(0,)+∞。

（2）2

()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =。

① 当103

a <≤

时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ ，

因为2

()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤， 所以1201a x x <<<≤，

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点。 ② 当

113

a <<时，由（1）知D =(0,)+∞，

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =。 综上所述，当103

a <≤

时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；

当

113

a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分） 已知函数3

()sin (),2f x ax x a R =-

∈且在,0,

2π

??

????

上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

考点：导数，函数与方程。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。 解答：

（I ）33

()sin 22

f x ax x π-=-

≤

在]2

,0[π

上恒成立，且能取到等号

()s i n 2g x x x a

π

?=≤在]2

,0[π

上恒成立，且能取到等号

m ax ()2g x a

π

?

=

()sin cos 0()g x x x x y g x '=+>?=在]2,0[π

上单调递增

(

)122

2

g a a

π

π

π

==

?=3()sin 2

f x x x ?=-（lfxlby ）

（II ）3()sin ()()sin cos 2

f x x x h x f x x x x '=-?==+

①当x ∈]2

,0[π

时，()0()f x y f x '≥?=在(0,

]2

π

上单调递增 33

(0)()0()2

22

f f y f x π

π-=-

?

]2

π

上有唯一零点

②当x ∈[

,]2

π

π时，()2cos sin 0()h x x x x f x ''=-

,]2

π

π上单调递减

2

()()022

f f ππ

π'=-

π∈使0()0f x '=

00()0,()02

f x x x f x x x π

π''>?≤<>?<< 得：()f x 在0[,)2

x π

上单调递增，0(,]x π上单调递减

3(

)0,()02

2f f π

π>=-

<

得：x ∈0[

,]2

x π

时，()0f x >，

x ∈0[,]x π时，0()()0f x f π<，()y f x =在0[,]x π上有唯一零点

由①②得：函数)(x f 在),0(π内有两个零点。 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)

已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2

2

n

a

y x =-+

与x 轴正半轴相交于点A ，设()

f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。 （Ⅰ）用a 和n 表示()f n ； （Ⅱ）求对所有n 都有

()1()1

1

f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)

(2)(4)

()(2)

f f f f f n f n +

+???+

---与

(1)(1)6(0)(1)

f f n f f -+-

的大小，并说明理由。

命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

[解析]（1）由已知得，交点A 的坐标为

???

?

?

?

?0,2a

n

，对x y y

a x

n

22

1

'

2

-=+

-=求导得

则抛物线在点A 处的切线方程为： a

a

a a

a n

n

n

n

n

n f x y x y =

+

-=-

-=)(.2),2

(2则即 ………………4分

（2）由（1）知f (n)=a n

,则121

1

)(1)(+≥+≥

+-n n n

n f n f a

n

成立的充要条件是

即知，1

2+≥n a

n

对于所有的n 成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3 当a=3，n≥1时，1n 22.11

)

21(3

+≥?++==

=

+C a n n

n

n

当n=0时，a n

=2n+1.故a=3时11

)(1

)(+≥

+-n n

n f n f 对所有自然数n 均成立.

所以满足条件的a 的最小值为3. ………………………………………………8分 （3）由（1）知f(k)=k a

下面证明：

)

1()0()1()1(.

6)

2()(1)

4()2(1)

2()1(1f f n f f n f n f f f f f -+->-+

?+-+

-

首先证明0

x

x x

612

>-

设函数g(x)=6x(x 2-x)+1,0

2(18)('-=x x x g .

当3

20<

0)('13

2><

故g （x ）在区间（0，1）上的最小值09

1

)32()(min

>==g x g

所以，当00,即得

x x x

612

>-

由0

,61

),(102*

k

k

k

k

a k a

a

N

a

>-

∈

<<

n

n

a

a a

a a

a n f n f f f f f 24

2

2

1

1

1)

2()(1)4()2(1)2()1(1-?

+-+

-=

-+?+-+

-

分

14)

1()0()1()1(616)(61

2

f f n f f n

a a a

a

a

n n

-+-?

=--

?

=+

?++

>+

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分） 已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.

（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1

【答案】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.

当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当

ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-

于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当

l n 1a a

a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-

当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.

（Ⅱ）由题意知，2

1

2121

21

()()

.x x f x f x e

e

k a x x x x --==

---

令2

1

21

()(),x x x

e

e

x f x k e x x ?-'=-=-

-则

1

2112121()()1,x x x e

x e x x x x ?-??=-

---??-

2

1221221()()1.x x x e

x e x x x x ?-??=

---?

?- 令()1t

F t e t =--，则()1t

F t e '=-.

当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21

21()10x x e

x x ---->，12

12()10,x x e

x x ---->又

1

21

0,

x e

x x >-2

21

0,x e

x x >-

所以1()0,x ?<2()0.x ?>

因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

012(,)x x x ∈使0()0,x ?=即0()f x k '=成立.

【解析】

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值

(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为m in ()1f x ≥从而得出求a 的取值

集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）

设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间

(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值

【答案】

17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -

（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值．

【解析】（Ⅰ）因3()f x ax bx c =++ 故2

()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处

取得极值

故有(2)0(2)16f f c '=??=-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ，化简得12048a b a b +=??+=-?解得1

12a b =??=-?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 3()12f x x x c =-+，2

()312f x x '=-

令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；

当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。

由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值

(2)16

f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时

(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值

为(2)4f =-

18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分） 设函数

，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切

线方程为x+y=1.

（1）求a,b 的值；

（2）求函数f(x)的最大值 （3）证明：f(x)<

1n e

.

解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.

因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.

又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)(

)

1

n n f x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1

n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01

n x n =

+.

在(0,)

1n n +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；

而在(

,)

1

n n +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减.

故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1

(

)()(1)1

1

1

(1)

n n

n n n n n

f n n n n +=-

=

++++.

（Ⅲ）令1()ln 1+

(0)

t t t t

?=->，则2

2

111()=

(0)

t t t t

t

t

?-'=-

>.

在(0,1)上，()0t ?'<，故()t ?单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ?'>，()t ?单调递增.

故()t ?在(0,)+∞上的最小值为(1)0?=. 所以()0(1)t t ?>>， 即1ln 1(1)t t t

>->.

令11t n =+，得11ln

1

n n

n +>

+，即1

1ln(

)

ln e

n n n

++>，

所以1

1(

)

e n n n

++>，即

1

1(1)

e

n n n

n n +<

+.

由（Ⅱ）知，1

1()(1)

e

n n n

f x n n +≤

<

+，故所证不等式成立.

【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解

的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln x e x 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分） 设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax

=++>

（Ⅰ）求()f x 的最小值；

（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32

y x =

，求,a b 的值。

【解析】（I

）（方法一）1

()2f x ax b b b ax =++≥=+， 当且仅当11()ax x a

==

时，()f x 的最小值为2b +。

（II ）由题意得：313(1)2

2

f a b a =

?+

+=， ①

2

113()(1)2

f x a f a ax

a

''=-

?=-=

， ②

由①②得：2,1a b ==-。

20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）

已知函数f(x)=（ax 2+bx+c ）e x 在[]0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a 的取值范围；

（2）设g(x)= f(-x)- f ′(x)，求g(x)在[]0,1上的最大值和最小值。 【解析】（1）(0)1f c ==，()()0,1f x a b c e a b =++=+=-， 在[0,1]上恒成立(*) (0)00f a '≤

?≥

(*)(0)0,(1)001f f a ''?≤≤?≤≤

（2）()()()(21)x g x f x f x ax a e '=-=-++()(21)x

g x ax a e '=-+-

2()[(1)]0x f x ax a x a e '=+--≤

①当0a =时，()0()g x y g x '>?=在[]0,1上单调递增 得：min max ()(0),()(1)g x g g x g == ②

当

01a <≤时，

111()0,()0,()0222a a a g x x g x x g x x a

a

a

---'''=?=

>?<

得：()g x 在[]0,1上的最小值是(0)1,(1)(1)g a g a e =+=-中的最小值 当1(0)(1)(

1)1

e g g a e -≥≤≤+时，m in ()(1)g x g = 当1

(0)(1)(0)1

e g g a e -<<<

+时，m in ()(0)g x g = 求最大值：当11

1(0)23

a a a -≥<≤时，m ax ()0()(1)g x g x g '≥?=

当111(

1)23

a a a

-<<≤时，m ax 1()(

)2a g x g a

-=

得：当

111

e a e -≤≤+时，m in ()(1)g x g =， 当101

e a e -≤<+时，m in ()(0)g x g =

103

a ≤≤

时，m ax ()(1)g x g =，

113

a <≤时，m ax 1()(

)2a g x g a

-=

21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)

设()ln 1f x x =+

，证明：

(Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 3

2

（ 1x -）

(Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5

x f x x -<

+

【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。

【解析】(Ⅰ)(法1)记()g x =3ln 1(1)2

x x +

-

-，

则当x ＞1时，()g x '=130

2

x

+-<，

又∵(1)0g =，∴()g x ＜0，即()f x ＜3(1)2

x -； ……4分

（法2）由均值不等式，当x ＞1时，1x <+122

x <+， ①

令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x

'=-<，∴()0k x <，即ln 1x x <-， ②

由①②得，当x ＞1时，()f x ＜

3(1)2

x -. ……4分

(Ⅱ)（法1）记9(1)()()5

x h x f x x -=-

+，由(Ⅰ)得，

()h x '=

2

154(5)

x

x +-

+2

542(5)

x

x +＜

2

5544(5)

x x

x +-

+=

3

2

(5)2164(5)

x x x x +-+，

令()g x =3(5)216x x +-，则当13x <<时，()g x '=23(5)2160x +-< ∴()h x 在（1,3）内单调递减，又(1)0h =，∴()h x ＜0， ∴当1＜x ＜3时，9(1)()5

x f x x -<

+. ……12分

（证法2）记()h x =(5)()9(1)x f x x +--，则当当1＜x ＜3时，

()h x '=()(5)()9f x x f x '++-＜31(1)(5)(

9

2

x x x

-+++-

=1[3(1)(5)(218]2x x x x x -+++

-＜11[3(1)(5)(2)18]22

2

x x x x x x

-++++-

=

2

1(73225)4x x x

-+＜0. ……10分

∴()h x 在（1,3）内单调递减，又(1)0h =，∴()h x ＜0， ∴当1＜x ＜3时，9(1)()5

x f x x -<

+. ……12分

22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+ （1）求f(x)的单调区间

（2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0. 【答案】

【解析】（1）由题意得2

()122f x x a '=-，

当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.

当0a >时，()12(f x x x '=-

+

，此时函数()f x 的单调递增区间为?

??

. (2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，3

3

()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时，3

3

3

()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.

设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2

()626(3

3

g x x x x '=-=-

+.

则有 x

0,3? ?

? 3

3??

? ???

1

()g x ' - 0 + ()g x

1

减

极小值

增

1

所以m in ()1039

g x g ==-

>.

当01x ≤≤时，32210x x -+>. 故3

()24420f x a x x +-≥-+>.

23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数ax x x x f ++=

2

3

3

1)(

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值。

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。

解：（1）依题意可得2

()2f x x x a '=++

当440a ?=-≤即1a ≥时，2

20x x a ++≥恒成立，故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上

单调递增；

当440a ?=->即1a <时，

2

()20

f x x x a '=++=有两个相异实根

122112

x x --=

=--=-+且12x x <

故由2

()20f x x x a '=++>?(,1x ∈-∞--或(1)x ∈-++∞，此时()f x 单调递增