江苏省苏州市2021届数学高二上学期期末试卷

一、选择题

1．若实数x ，y 满足x 10x y 10x y 10-≤??

+-≥??-+≥?

，则y 的最大值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于( )

A.

B.

C.

D.3．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）

A.11

B.10

C.9

D.8

4．下列命题中，假命题是( ) A ．，

B ．，

C

．

的充要条件是

D ．

，是

的充分不必要条件

5．抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（ ） A.

19

B.

118

C.

16

D.

112

6．已知全集U =R ，集合2

{|5140}A x x x =--<，{|33}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A.(3,2]--

B.(2,3]-

C.(2,3]

D.[3,7)

7．命题“若0x y +=，则0x =或0y =”的逆否命题是（ ） A ．若0x y +=，则0x =且0y = B ．若0x y +≠，则0x ≠或0y ≠ C ．若0x =或0y =，则0x y +≠

D ．若0x ≠且0y ≠，则0x y +≠

8．执行如图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ）

A ．15

B ．105

C ．120

D ．720

9．已知向量，且

，则m=( ) A ．?8 B ．?6 C ．6

D ．8

10．己知一组样本数据12345x ,x ,x ,x ,x 恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为 A.25

B.50

C.125

D.250

11．在ABC ?中，2AB AC =,AD 是A ∠的平分线，且AC tAD =,则t 的取值范围是( ) A ．3,4??

+∞

???

B ．41,

3??

???

C ．30,4?

? ???

D ．3,14??

???

12．设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于点P ，Q .

若212PF F F =，且113||4||PF QF =，则C 的离心率为（ ）

A.

5

7

B.

35

二、填空题

13．函数43

()4(0)f x ax ax b a =-+>，[1,4]x ∈，()f x 的最大值为3，最小值为-6，则

ab =__________．

14．若()1,2,3A -，()2,4,1B -，(),1,3C x --是BC 为斜边的直角三角形的三个顶点，则x =____．

15．若曲线2

1:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+，

∞上存在公共点，则a 的取值范围为 16．一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________． 三、解答题 17．等差数列中，，

，其前项和为

.

（1）求数列的通项公式； （2）设数列

满足

，其前项和为为

，求证：

.

18．设椭圆

的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐

标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆

的方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找

到一点

，在椭圆

上找到一点

，满足

？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理

由. 19．

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为

（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半

轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为.

（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角； （2）设点，l 和C 交于A ，B 两点，求

.

20．如图,棱锥

的地面

是矩形,

平面

,

,.

（1）求证: 平面; （2）求二面角

的大小;

21．在正方体1111ABCD A B C D -中.

(Ⅰ)求证：11A C //平面ABCD ；

(Ⅱ)求二面角11A BD C --的平面角的余弦值．

22．已知A 、B 、C 为ABC ?的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若

1

cos cos sin sin 2

B C B C -=．

（1）求角A 的大小；

（2）若4a b c =+=，求ABC ?的面积． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题

13．1 14．-11

15．2,4e ??+∞????

16．丁

三、解答题

17．(1) (2)见解析

【解析】

试题分析：（1）等差数列中，根据，，列出关于首项、公差

的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）先求出

，，根据裂项相消法求解即可.

试题解析：（1）因为，

，即，得，，

所以．

（2），

，

．

【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据

式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）

；（3）；（4）

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

18．(1) (2) 不存在满足条件的点

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆几何意义得解得（2）由知为平行四边形,即的中点也是的中点. 设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程，利

用中点坐标公式以及韦达定理得坐标（用t表示），最后根据判别式大于零得t范围，得坐标范围，根据范围不在椭圆范围内，否定存在性

试题解析：（1）由题意知：， aos

又因为，，解得

故椭圆的方程为．

（2）椭圆上不存在这样的点.事实上，设直线的方程为,

联立，得,

，得.

设，则，.

由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点.

于是设,,则,

即，可得.

因为,所以.

若在椭圆上，则，矛盾.

因此,不存在满足条件的点．

19．(1) .. (2) .

【解析】

【分析】

（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.

（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案. 【详解】

（1）消去参数α得，

即C的普通方程为.

由，得，（*）

将，代入（*），化简得，

所以直线l的倾斜角为.

（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数），

代入并化简，得，

，

设A，B两点对应的参数分别为，，

则，，

所以，，所以.

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.

20．（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用空间向量证明线面垂直，即证平面的一个法向量为，先根据条件建立恰当

直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明为平面的一个法向量，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用空间向量求二面角，先利用解方程组的方法求出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小

试题解析:证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.

（2）由（1）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴故平面PCD 的法向量可取为

∵PA ⊥平面ABCD ，∴

为平面ABCD 的法向量.

设二面角P —CD —B 的大小为q ，依题意可得.

21．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）13

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）连接AC ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，证明四边形AA 1C 1C 为平行四边形，可得A 1C 1∥AC ，再由线面平行的判定可得A 1C 1∥平面ABCD ；

（Ⅱ）找出二面角A 1﹣BD ﹣C 1的平面角，再由余弦定理求解． 【详解】

(Ⅰ)证明：连接AC ，交BD 于O ，

在正方体1111ABCD A B C D -中，

11AA //CC ，11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，

则11A C //AC ．

AC ?平面ABCD ，11A C ?平面ABCD ，

11A C //∴平面ABCD ； (Ⅱ)连接1A O ，1C O ，

则1A O BD ⊥，1C O BD ⊥，即11A OC ∠为二面角11A BD C --的平面角． 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1

，则11A C

，11A O C O ===

． 在11A OC

中，2211

2

1cos A OC 3∠+-==． ∴二面角11A BD C --的平面角的余弦值为1

3

．

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是关键，是中档题．

22．（1）23

A π

=；（2【解析】 【分析】

（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】

(1)∵cosBcosC －sinBsinC ＝， ∴cos(B ＋C)＝. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A)＝.∴cosA ＝－. 又∵0

.

(2)由余弦定理，得a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc·cosA. 则(2

)2＝(b ＋c)2－2bc －2bc·cos

.

∴12＝16－2bc －2bc·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc·sinA＝×4×＝

.

【点睛】

本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要

熟记两种形式：（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练掌握运用两

种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o

等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.