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江苏省苏州市2021届数学高二上学期期末试卷

江苏省苏州市2021届数学高二上学期期末试卷

一、选择题

1.若实数x ,y 满足x 10x y 10x y 10-≤??

+-≥??-+≥?

,则y 的最大值是( )

A .1

B .2

C .3

D .4

2.已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得,其三视图如图所示,侧视图是一个等边三角形,则切去部分的体积等于( )

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A.

B.

C.

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D.3.如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷800个点,其中落入黑色部分的有453个点,据此可估计黑色部分的面积约为( )

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A.11

B.10

C.9

D.8

4.下列命题中,假命题是( ) A .,

B .,

C

的充要条件是

D .

,是

的充分不必要条件

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5.抛掷2枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是( ) A.

19

B.

118

C.

16

D.

112

6.已知全集U =R ,集合2

{|5140}A x x x =--<,{|33}B x x =-<<,则图中阴影部分表示的集合为( )

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A.(3,2]--

B.(2,3]-

C.(2,3]

D.[3,7)

7.命题“若0x y +=,则0x =或0y =”的逆否命题是( ) A .若0x y +=,则0x =且0y = B .若0x y +≠,则0x ≠或0y ≠ C .若0x =或0y =,则0x y +≠

D .若0x ≠且0y ≠,则0x y +≠

8.执行如图的程序框图,如果输入的N 的值是6,那么输出的p 的值是( )

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A .15

B .105

C .120

D .720

9.已知向量,且

,则m=( ) A .?8 B .?6 C .6

D .8

10.己知一组样本数据12345x ,x ,x ,x ,x 恰好构成公差为5的等差数列,则这组数据的方差为 A.25

B.50

C.125

D.250

11.在ABC ?中,2AB AC =,AD 是A ∠的平分线,且AC tAD =,则t 的取值范围是( ) A .3,4??

+∞

???

B .41,

3??

???

C .30,4?

? ???

D .3,14??

???

12.设椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,过点1F 的直线与C 交于点P ,Q .

若212PF F F =,且113||4||PF QF =,则C 的离心率为( )

A.

5

7

B.

35

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二、填空题

13.函数43

()4(0)f x ax ax b a =-+>,[1,4]x ∈,()f x 的最大值为3,最小值为-6,则

ab =__________.

14.若()1,2,3A -,()2,4,1B -,(),1,3C x --是BC 为斜边的直角三角形的三个顶点,则x =____.

15.若曲线2

1:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+,

∞上存在公共点,则a 的取值范围为 16.一次数学考试后,甲,乙,丙,丁四位同学一起去问数学考试成绩,数学老师对他们说:甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等;乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间;丙同学考试分数不是最高的;丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________. 三、解答题 17.等差数列中,,

,其前项和为

.

(1)求数列的通项公式; (2)设数列

满足

,其前项和为为

,求证:

.

18.设椭圆

的右焦点为,右顶点为,已知,其中为坐

标原点,为椭圆的离心率. (1)求椭圆

的方程;

(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆有两个不同交点时,能在直线上找

到一点

,在椭圆

上找到一点

,满足

?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理

由. 19.

在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为

(a 为参数),在以原点为极点,x 轴正半

轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为.

(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角; (2)设点,l 和C 交于A ,B 两点,求

.

20.如图,棱锥

的地面

是矩形,

平面

,

,.

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(1)求证: 平面; (2)求二面角

的大小;

21.在正方体1111ABCD A B C D -中.

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(Ⅰ)求证:11A C //平面ABCD ;

(Ⅱ)求二面角11A BD C --的平面角的余弦值.

22.已知A 、B 、C 为ABC ?的三内角,且其对边分别为a 、b 、c ,若

1

cos cos sin sin 2

B C B C -=.

(1)求角A 的大小;

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(2)若4a b c =+=,求ABC ?的面积. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、选择题

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13.1 14.-11

15.2,4e ??+∞????

16.丁

三、解答题

17.(1) (2)见解析

【解析】

试题分析:(1)等差数列中,根据,,列出关于首项、公差

的方程组,解方程组可得与的值,从而可得数列的通项公式;(2)先求出

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,,根据裂项相消法求解即可.

试题解析:(1)因为,

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,即,得,,

所以.

(2),

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【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据

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式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2)

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;(3);(4)

;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.

18.(1) (2) 不存在满足条件的点

【解析】

试题分析:(1)根据椭圆几何意义得解得(2)由知为平行四边形,即的中点也是的中点. 设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程,利

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用中点坐标公式以及韦达定理得坐标(用t表示),最后根据判别式大于零得t范围,得坐标范围,根据范围不在椭圆范围内,否定存在性

试题解析:(1)由题意知:, aos

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又因为,,解得

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故椭圆的方程为.

(2)椭圆上不存在这样的点.事实上,设直线的方程为,

联立,得,

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,得.

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设,则,.

由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点.

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于是设,,则,

即,可得.

因为,所以.

若在椭圆上,则,矛盾.

因此,不存在满足条件的点.

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19.(1) .. (2) .

【解析】

【分析】

(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程,再计算倾斜角.

(2)判断点在直线l上,建立直线参数方程,代入椭圆方程,利用韦达定理得到答案. 【详解】

(1)消去参数α得,

即C的普通方程为.

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由,得,(*)

将,代入(*),化简得,

所以直线l的倾斜角为.

(2)由(1),知点在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),

即(t为参数),

代入并化简,得,

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设A,B两点对应的参数分别为,,

则,,

所以,,所以.

【点睛】

本题考查了参数方程,极坐标方程,倾斜角,利用直线的参数方程可以简化运算.

20.(1)详见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)利用空间向量证明线面垂直,即证平面的一个法向量为,先根据条件建立恰当

直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积证明为平面的一个法向量,最后根据线面垂直判定定理得结论(2)利用空间向量求二面角,先利用解方程组的方法求出平面法向量,利用向量数量积求出两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小

试题解析:证:(1)建立如图所示的直角坐标系,

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则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).

在Rt△BAD中,AD=2,BD=,

∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),

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∵,即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.

(2)由(1)得.

设平面PCD的法向量为,则,

即,∴故平面PCD 的法向量可取为

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∵PA ⊥平面ABCD ,∴

为平面ABCD 的法向量.

设二面角P —CD —B 的大小为q ,依题意可得.

21.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)13

. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)连接AC ,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,证明四边形AA 1C 1C 为平行四边形,可得A 1C 1∥AC ,再由线面平行的判定可得A 1C 1∥平面ABCD ;

(Ⅱ)找出二面角A 1﹣BD ﹣C 1的平面角,再由余弦定理求解. 【详解】

(Ⅰ)证明:连接AC ,交BD 于O ,

在正方体1111ABCD A B C D -中,

11AA //CC ,11AA CC =,∴四边形11AA C C 为平行四边形,

则11A C //AC .

AC ?平面ABCD ,11A C ?平面ABCD ,

11A C //∴平面ABCD ; (Ⅱ)连接1A O ,1C O ,

则1A O BD ⊥,1C O BD ⊥,即11A OC ∠为二面角11A BD C --的平面角. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1

,则11A C

,11A O C O ===

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. 在11A OC

中,2211

2

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1cos A OC 3∠+-==. ∴二面角11A BD C --的平面角的余弦值为1

3

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【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定,考查二面角的平面角的求法,正确找出二面角的平面角是关键,是中档题.

22.(1)23

A π

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=;(2【解析】 【分析】

(1)已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简,求出()cos B C +的值,确定出B C +的度数,即可求出A 的度数;(2)利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a 与b c +的值代入求出bc 的值,再由sin A 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】

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(1)∵cosBcosC -sinBsinC =, ∴cos(B +C)=. ∵A +B +C =π,∴cos(π-A)=.∴cosA =-. 又∵0

.

(2)由余弦定理,得a 2

=b 2

+c 2

-2bc·cosA. 则(2

)2=(b +c)2-2bc -2bc·cos

.

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∴12=16-2bc -2bc·(-).∴bc =4. ∴S △ABC =bc·sinA=×4×=

.

【点睛】

本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用,属于中档题.对余弦定理一定要

熟记两种形式:(1)2

2

2

2cos a b c bc A =+-;(2)222

cos 2b c a A bc

+-=,同时还要熟练掌握运用两

种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30,45,60o o o

等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.