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数值分析计算方法

《计算方法》实验内容

一．实验一：用两种不同的顺序计算

644834.110000

≈∑=-n n

，分析其误差的变化。

1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在

计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。 2.算法描述：累加和s=0；正序求和：

对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和：

对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型#

#includec void main() {

double s=0; int n;

for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n);

printf("正序求和结果是：%lf\n",s); s=0;

for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n);

printf("反序求和结果是:%lf\n",s); }

#单精度型#

#include void main() {

float s=0; int n;

for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n);

printf("正序求和结果是：%f\n",s); s=0;

for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n);

printf("反序求和结果是:%f\n",s); }

4.运行结果：

双精度型运行结果：

单精度型运行结果：

5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。

二．实验二：

1、拉格朗日插值

按下列数据

-3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0

1.0 1.5

2.0 2.0 1.0

作二次插值，并求x

1=-2，x

=0，x

=2.75时的函数近似值

2牛顿插值

按下列数据

0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72

1.04403 1.08462 1.11803 1.15603 1.19817 1.23223

作五次插值，并求x

1=0.46，x

=0.55，x

=0.60时的函数近似值.

1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。

2.算法描述：

3.源程序：

拉格朗日插值：

#include

#define k 2

void main()

{

double L,Y,a;

double x[3];

double y[3];

for(int p=0;p<=2;p++)

scanf("%lf%lf",&x[p],&y[p]);

for(int q=0;q<=2;q++)

{

Y=0;

scanf("%lf",&a);

for(int j=0;j<=k;j++)

{

L=1;

for(int i=0;i<=k;i++)

if(i!=j)

L*=(a-x[i])/(x[j]-x[i]);

Y+=L*y[j];

}

printf("x=%lf的函数值是:%lf\n",a,Y);

}

牛顿插值：

#include

void main()

{

int i,j;

double a[6][6],y,s,x;

for(j=0;j<=1;j++)

for(i=0;i<6;i++)

scanf("%lf",&a[i][j]);

for(j=2;j<=5;j++)

for(i=j-1;i<=5;i++)

a[i][j]=(a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(a[i][0]-a[i-j+1][0]);

for(int k=0;k<3;k++)

{

scanf("%lf",&x);

y=0;

for(i=0;i<5;i++)

{

s=a[i][i+1];

for(j=i-1;j>=0;j--)

s*=x-a[j][0];

y+=s;

}

printf("结果是：%lf\n",y);

}

4.运行结果：

拉格朗日运行结果：

牛顿插值运行结果：

5.对算法的理解与分析：

（1）拉格朗日插值：

该公式是对一系列点加权求和。内插通常优于外推。选择的区间包括x，插值效

果越好，高次插值通常优于低次插值，但并不是意味着插值次数越高越好。

优点：编程容易实现。

缺点：如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值节点的个数。拉格朗

日基函数每一个都要重新计算，效率低。

（2）牛顿插值：

优点：如果当前插值方法不稳定，需要增加插值节点个数，只需要计算新家节

点所增加的差商即可，之前的计算结果可以被复用，比拉格朗日插值节省计算量，效率高，精度高，更为稳定。

三．实验三：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=sin(x)/x的积分，

并与准确值比较判断精度。

1.实验目的：通过实例体会各种算法的精度。熟练掌握复化梯形，复化辛普森，复化柯特斯求积方法的程序。

2.算法描述：

复化梯形：

fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是积分区间;

令s=fc(a)+fc(b),

对于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.....(i

s+=2*fc(i);

s*=double(b-a)/(2*N);

输出s;

复化辛普森：

fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是积分区间;

令s=fc(a)+fc(b),

对于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.....(i

s+=2*fc(i);

对于i=a+0.5/N,a+1.5/N,.....(i

s+=4*fc(i);

s*=double(b-a)/(6*N);

输出s；

复化柯特斯：

fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是积分区间;

令s=fc(a)+fc(b),

对于i=a+1.0/(4*N),a+2.0/(4*N),.....(i

s+=32*fc(i);

对于i=a+2.0/(4*N),a+6.0/(4*N),.....(i

s+=12*fc(i);

对于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.....(i

s+=14*fc(i);

s*=double(b-a)/(90*N);

输出s;

3.源程序：

#include

#define N 8

#define a 0

#define b 1

double fc(double x)

{

double y;

y=sin(x)/x;

return y;

}

void tx()

double s,i;

s=fc(a)+fc(b);

for(i=a+1.0/N;i

s+=2*fc(i);

s*=double(b-a)/(2*N);

printf("复合梯形8等分求积结果是：%lf\n",s);

}

void xps()

{

double s,i;

s=fc(a)+fc(b);

for(i=a+1.0/N;i

s+=2*fc(i);

for(i=a+0.5/N;i

s+=4*fc(i);

s*=double(b-a)/(6*N);

printf("复合辛普森8等分求积结果是：%lf\n",s); }

void kts()

{

double s,i;

s=fc(a)+fc(b);

for(i=a+1.0/(4*N);i

s+=32*fc(i);

for(i=a+2.0/(4*N);i

s+=12*fc(i);

for(i=a+1.0/N;i

s+=14*fc(i);

s*=double(b-a)/(90*N);

printf("复合柯特思斯8等分求积结果是：%lf\n",s); }

void main()

{

char d;

scanf("%c",&d);

if(d=='t')

tx();

if(d=='x')

xps();

if(d=='k')

kts();

}

4.运行结果：

5.对算法的理解与分析：他们都适用于求数值积分，而且都能提高计算的精度，他们都是在每个小区间上在使用梯形，辛普森，柯特斯求积公式，其中复化辛普森和复化柯特斯的收敛速度较快。

四．实验四：用改进欧拉方法解初值问题y’=x+y; y(0)=1。0

计算，并与准确值y=-x-1-2e x相比较。（p141习题第二题2）

1.实验目的：熟悉常微分方程初值问题的求解方法；熟悉其算法；

2.算法描述：

3.源程序：

4.运行结果：

5.对算法的理解与分析：

五．实验五：分别用下列方法求f(x)=x3-3x-1=0在x0=2附近的根。根的准确值

为x*=1.87938524…，要求准确到四位有效数字，并对比各种算法的计算量。（1）二分法；（2）简单迭代法；（3）牛顿迭代法

1.实验目的：通过对二分法，简单迭代法和牛顿迭代法的编程和上机实验，进一

步体会他们在方程求根中的不同特点；比较三者的计算速度和计算精度。

2.算法描述：

二分法：

给定区间[a,b],e=pow(10,-4)*0.5

(1)令c=(a+b)/2,保持b-a

(2)如果f(c)*f(a)=0,输出c;

如果f(c)*f(a)<0,b=c,执行（1）

否则a=c,执行（1）

简单迭代法：

3.源程序：

二分法：

#include

double fc(double x)

{

double y;

y=x*x*x-3*x-1;

return y;

}

void main(void)

{

double fa=fc(1),fb=fc(3),a=1,b=3,f,x0;

int k=0;

for(;b>a&&b-a>=pow(10,-4)*0.5;)

{

f=fc((a+b)/2);

if(f==0)

{

x0=(a+b)/2;

break;

}

else

if(fa*f<0)

b=(a+b)/2;

else

a=(a+b)/2;

k++;

}

x0=(a+b)/2;

printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x0);

printf("迭代次数是：%d\n",k);

}

简单迭代法：

#include

double Iterate1(double x)

{

double y;

y=pow((3*x+1),1.0/3);

return y;

}

double Derivative1(double x)

{

double y;

y=pow((3*x+1),-2.0/3);

return y;

}

double Iterate2(double x)

{

double y;

y=(1-x*x*x)/3.0;

return y;

}

double Derivative2(double x)

{

double y;

y=-x*x;

return y;

}

double Iterate3(double x)

{

double y;

y=(3*x+1)/(x*x);

return y;

}

double Derivative3(double x)

{

double y;

y=(-3*x-2)/(x*x*x);

return y;

}

void main(void)

{

double x2=2.0,x1;

int k=0;

double a1=Derivative1(x2);

if(fabs(a1)<1)

{

printf("迭代公式是x=pow((3*x+1),1.0/3);\n");

{

x1=x2;

x2=Iterate1(x1);

k++;

}while(fabs(x2-x1)>=pow(10,-4)*0.5);

printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);

printf("迭代次数是：%d\n",k);

}

double a2=Derivative2(x2);

if(fabs(a2)<1)

{

printf("迭代公式是x=(1-x*x*x)/3.0;\n");

{

x1=x2;

x2=Iterate2(x1);

k++;

}while(fabs(x2-x1)>=pow(10,-4)*0.5);

printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);

printf("迭代次数是：%d\n",k);

}

double a3=Derivative3(x2);

if(fabs(a3)<1)

{

printf("迭代公式是x=(3*x+1)/(x*x);\n");

{

x1=x2;

x2=Iterate3(x1);

k++;

}while(fabs(x2-x1)>=pow(10,-4)*0.5);

printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);

printf("迭代次数是：%d\n",k);

}

牛顿迭代法：

#include

double Iterate(double x)

{

double y;

y=x*x*x-3*x-1;

return y;

}

double Derivative(double x)

{

double y;

y=3*x*x-3;

return y;

}

void main()

{

double x0=2.0,x1;

double f0,f01,f1,f11;

f0=Iterate(x0);

f01=Derivative(x0);

int k=0;

x1=x0-f0/f01;

for(;fabs(x0-x1)>=pow(10,-4)*0.5;f0=f1,f01=f11)

{

x0=x1;

x1=x0-f0/f01;

f1=Iterate(x1);

f11=Derivative(x1);

k++;

if(f11==0)

{

printf("牛顿迭代法失效\n");

break;

}

printf("近似根是：%lf 准确根是：1.87938524\n",x1);

printf("迭代次数是：%d\n",k);

}

4.运行结果：

二分法运行结果：

简单迭代法运行结果：

牛顿迭代法运行结果：

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。注：差分格式：（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法：构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有

数值分析第五版计算实习题

数值分析计算实习题第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp('4次牛顿插值多项式'); P4=vpa(collect((sum(d))),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp('三次样条函数'); for i=1:4 S=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; S=vpa(collect(S),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(P4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot); y3=eval(P4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,'r',x2(dot),y3,'b*',x2(dot),y4,'co'); title('4次牛顿插值及三次样条'); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 P4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数

数值分析(计算方法)总结

第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。科学计数法：记有n位有效数字，精确到。由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从 x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取 x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。 2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。 3.比例法一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则： 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。事先估计: 事后估计局部收敛性判定定理：局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式： Newton法： Newton下山法：是下山因子弦割法：

数值计算方法大作业

目录第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法第一章非线性方程求根 1.1迭代法程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

数值分析计算实习题

插值法 1.下列数据点的插值 x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图. (1)用这9个点作8次多项式插值Ls(x). (2)用三次样条(第一边界条件)程序求S(x). 从得到结果看在[0,64]上，哪个插值更精确；在区间[0,1]上，两种插值哪个更精确？解：(1)拉格朗日插值多项式，求解程序如下 syms x l; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; n=length(x1); Ls=sym(0); for i=1:n l=sym(y1(i)); for k=1:i-1 l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end for k=i+1:n l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end Ls=Ls+l; end Ls=simplify(Ls) %为所求插值多项式Ls(x). 输出结果为 Ls = -24221063/63504000*x^2+95549/72072*x-1/3048192000*x^8-2168879/435456000 *x^4+19/283046400*x^7+657859/10886400*x^3+33983/152409600*x^5-13003/2395008 000*x^6 (2)三次样条插值，程序如下

x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; x2=[0:1:64]; y3=spline(x1,y1,x2); p=polyfit(x2,y3,3); %得到三次样条拟合函数 S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x^2+p(4)*x^3 %得到S(x) 输出结果为： S = 23491/304472833/8*x+76713/*x^2+6867/42624*x^3 (3)在区间[0,64]上，分别对这两种插值和标准函数作图， plot(x2,sqrt(x2),'b',x2,y2,'r',x2,y3,'y') 蓝色曲线为y=函数曲线,红色曲线为拉格朗日插值函数曲线，黄色曲线为三次样条插值曲线 010203040506070 -200 20 40 60 80100 可以看到蓝色曲线与黄色曲线几乎重合，因此在区间[0,64]上三次样条插值更精确。在[0,1]区间上由上图看不出差别，不妨代入几组数据进行比较，取x4=[0:0.2:1]

数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题第一章绪论一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。 3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 . 8、精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3

数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-

《数值计算方法》试题及答案

数值计算方法考试试题一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为（ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法（ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ；二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值；解：1.用复化梯形公式计算取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分分分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x

计算流体力学常用数值方法简介[1]

计算流体力学常用数值方法简介李志印　熊小辉　吴家鸣 (华南理工大学交通学院) 关键词　计算流体力学　数值计算一　前　言任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。二　计算流体力学常用数值方法流体力学数值方法有很多种,其数学原理各不相同,但有二点是所有方法都具备的,即离散化和代数化。总的来说其基本思想是:将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区

数值分析(第五版)计算实习题第四章作业

第四章： 1、（1）：复合梯形建立m文件： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,10) 输出： ans = -0.417062831779470 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,100) 输出： ans = -0.443117908008157 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,1000) 输出： ans = -0.444387538997162 复合辛普森建立m文件： function t=comsimpson(fname,a,b,n)

h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> format long； >>comsimpson(f,eps,1,10) 输出： ans = -0.435297890074689 输入： >>syms x >>f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >>comsimpson(f,eps,1,100) 输出： ans = -0.444161178415673 输入： >>syms x >>f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >>comsimpson(f,eps,1,1000) 输出： ans = -0.444434117614180 （2）龙贝格建立m文件： function [RT,R,wugu,h]=Romberg(fun,a,b,wucha,m) %RT是龙贝格积分表 %R是数值积分值 %wugu是误差估计 %h是最小步长 %fun是被积函数 %a b是积分下、上限

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式 ) 2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设 1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=?07f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。

8、给定方程组?? ?=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且 20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设 ?? ??? ?????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数 ) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ， 3、有下列数表