2014年北京市高级中等学校招生考试数学试题

2014年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

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下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是

A ．2

B ．2-

C ．12

-

D ．

1

2

2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为

A ．6

0.310?

B ．5310?

C ．6310?

D ．43010?

3．如图，有6张扑克处于，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是

A ．

16

B ．

14

C ．13

D ．

12

4．右图是几何体的三视图，该几何体是

A.圆锥

B ．圆柱

C ．正三棱柱

D ．正三棱锥

5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：

A ．18，19

B

．19，

19

C ．18，

19.5

D ．19，19.5

6．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S

（单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A ．40平方米 B ．50平方米 C ．80平方米

D ．100平方米

O

E D

C

B

A

7．如图．O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A

∠=?，

4OC =，CD 的长为

A ．

B ．4

C ．

D ．8

8．已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为

y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是

A

A

D

C

B

A

A

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：429______________ax ay -=．

10．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．

11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数(0)k

y k x

=≠，使它的图象与正方形OABC 有公共

点，这个函数的表达式为 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，

，我们把点(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，

点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，….若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 .

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．如图，点B 在线段AD 上，

BC DE ∥，AB ED =，BC DB =. 求证：A E ∠=∠.

E

C

B

A

D

14

．计算：11

(6π)()3tan30|5

--?+--?+.

15．解不等式121

1232

x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来.

16

．已知x y -，求代数式2(1)2(2)x x y y x +-+-的值. 17．已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.

18．列方程或方程组解应用题：

小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平

分ABC ∠，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；

（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=?，求tan ADP ∠的值.

20．根据某研究院公布的2009~2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的

统计图表如下：

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网络在线

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图书阅读m %

根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中m 的值；

（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，

估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本；

（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成

年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本.

年人均阅读图书数量（本） F

P

E

C

B

A

D

图3

A

B

C

D

E

21．如图，AB 是O e 的直径，C 是?AB 的中点，O e 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E

是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交O e 于点H ，连接BH . （1）求证：AC CD =； （2）若2OB =，求BH 的长.

22．阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC △中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=?，

30CAD ∠=?，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．

E

图2

图1

A

B C

D D C

B A

小腾发现，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，通过构造ACE △，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：ACE ∠的度数为 ，AC 的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=?，

30CAD ∠=?，75ADC ∠=?，AC 与BD 交于点E ，

2AE =，2BE ED =，求BC 的长．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （0，2-），B （3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图像，求点D 纵坐标t 的取值范围．

24．在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其

中DE 交直线AP 于点F ． （1）依题意补全图1；

（2）若20PAB ∠=?，求ADF ∠的度数；

（3）如图2，若4590PAB ?<∠

证明．

图 1

P

D C

B

A A B

C

D

P

图 2

25．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足

M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个

函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数1

y x

=

()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b

的取值范围；

（3）将函数()210y x x m m =-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值

是t ，当m 在什么范围时，满足3

14

t ≤≤？