广东省东莞市中堂星晨学校九年级(上)开学数学试卷(解析版)
2019-2019学年广东省东莞市中堂星晨学校九年级
（上）开学数学试卷
一 ?选择题（30分）
1. （3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A.
a 2 4
B. 40
C . .64
2. （3分）下列各个运算中，能合并成一个根式的是（ A. 12 - 2 B.
,18 - .8
C. ,8a 2 + .2a D . x 2y+xy 2
3.
（3分）在平面直角坐标系中，已知点 A （- 2, 4）,点B 在直线
OA 上，且OA=2OB 则点B 的坐标是（ ）
A . （- 1, 2） B. （1 , - 2） C. （- 4, 8） D . （- 1, 2）或（1 , - 2） 4. （3分）一组数据为1, 5, 3, 4, 5, 6,这组数据的众数、中位数分为（ ）
A . 4, 5
B . 5, 4.5
C . 5, 4
D . 3, 2
5. （3分）小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A 和B 为圆心， 大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C 、D ,则直线CD 即为所求.根据他的作图方法 可知四边形ADBC 一定是（ ）
A .矩形
B .菱形
C.正方形 D .平行四边形
k
6. （3分）若反比例函数y=k 的图象经过点（-1, 2）,则这个函数的图象一定经过点
x （ ）
1
1
A . （- 2,- 1）
B ?（- 1 , 2）
C. （2,- 1） D . （1 , 2）
2 2
7.
（3分）化简：a 、. -的结果是（ ）
￥ a A . B. ■. a
C .-丿-a
D .- ■. a
8.
（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A . 2, 3, 4
B . 7, 24, 25
C . 6, 8, 10
D . 9, 12, 15
9. （3分）如图,在厶MBN 中,BM=6 ,点A 、C 、D 分别在 MB 、NB MN 上,四边形 ABCD 为平行四边形,且/ NDC=Z MDA ,则?ABCD 的周长是（
）
)
D . ： 1
\ 2
)
A. 24
B. 18
C. 16
D. 12
10. （3分）为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们
的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S甲2=100、S乙2=110、S丙2=120、S丁2=90.根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（）
A.甲、乙
B.甲、丙
C.甲、丁
D.乙、丙
二■填空题（24分）
11. （4分）若实数a、b满足b二三二，则a+b的值为
a十1
12. （4分）河堤横断面如图，堤高BC=5m迎水斜坡AB的长为10m，则AC= ______ m，斜坡AB的坡比i= _______ .
13. （4分）已知关于x的函数同时满足下列三个条件：
①函数的图象不经过第二象限；
②当X V2时，对应的函数值y v0;
③当x v2时，函数值y随x的增大而增大.
你认为符合要求的函数的解析式可以是：________ （写出一个即可，答案不唯一）.
14. （4分）如图，菱形ABCD的对角线相交于O, AC=8, BD=6,则边AB的长为________ .
15. （4 分）如图，在直角梯形ABCD中，AD// BC, AB丄BC, AD=2, AB=3, BC=4 则梯
形ABCD的面积是______ .
16. ______________________ （4 分）观察下列等式：32+42=52; 52+122=132;
72+242=252; 92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：.
三、（18分）
17. （6分）已知一次函数y=ax+b的图象经过点A （0, 2-扃）,B （1, 4-后）,C（ c,
c+4）.
（1）求c；
（2）求a2+b2+C - ab- ac- bc 的值.
18. （6 分）女口图所示，有一块地，已知AD=4米, CD=3米，/ ADC=90, AB=13米, BC=12 米，则这块地的面积.
19. （6分）如图所示，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知
AB=8cm, BC=10cm 求CE的长？
四、（21分）
20. （7分）如图，等腰梯形ABCD中, AD / BC, M、N分别是AD BC的中点，E、F分
1.
别是BM 、CM 中点.
（1） 求证：四边形MENF 是菱形；
（2） 若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并 证明你的结论.
21. （7分）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2升，他们先同时打 开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头.假设前后两人接水间隔时间忽略不计， 且不发生泼洒，锅炉内的余水量 y （升）与接水时间x （分）的函数图象如图. 请结合图象，回答下列问题：
（1） 根据图中信息，请你写出一个结论； （2） 问前15位同学接水结束共需要几分钟？
（3） 小敏说：今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了 3分钟.”你说 可能吗？请说明理由. 22. 五. （27分）
23. （9 分）化简： 届-［良-庇乎 + （ V 3-2 ） 0+J （1—Q .
飞2
恵
24. （9分）已知：如图，矩形 ABCD 中，AE=DE BE 的延长线与CD 的延长线相交于点 F ,求证：S 矩形 ABCL F S^BCF .
25. （9分）在引体向上项目中，某校初三100名男生考试成绩如下列所示：
成绩（单位：
次）
10 9 8 7 6 5 4 3 人
数 30
20
15 15
12
5
2 1
（1） 分别求这些男生成绩的众数、中位数与平均数；
（2） 规定8次以上（含8次）为优秀，这所学校男生此项目考试成绩的优秀率是多少?
2019-2019学年广东省东莞市中堂星晨学校九年级（上）开学
数学试卷
参考答案与试题解析
.选择题（30 分）
（7分）计算：
（16 宁 3 x
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【解答】解：A、■, a2 4是最简二次根式，正确；
B、40=2/0不是最简二次根式，错误；
C、,64 =8不是最简二次根式，错误；
D、 1 =子不是最简二次根式，错误；
故选：A.
【点评】本题考查最简二次根式的定义?根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2.
【分析】先化成最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义对各选项分析判断即可得解. 【解答】解：A、.12 - 2=2?、3 - 2，不能合并成一个根式，故本选项错误；
B、d8 - . 8 =^. 2 - 2、2 = ?、2，故本选项正确；
C、.8a2 .2^2^ 2 2a，不能合并成一个根式，故本选项错误；
D、.. x2y ■ xy2 =x?.. y ，不能合并成一个根式，故本选项错误.
故选：B.
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.
3.
【分析】根据一次函数的特点，将点代入解析式进行解答即可.
【解答】解：设直线OA解析式为：y=kx,
把点 A (- 2，4)代入y=kx，可得：4=- 2k，
解得：k=- 2，
???点B在直线OA上，且0A=20B
所以点B的坐标为（-1 , 2）或（12）, 故选：D.
【点评】此题考查一次函数问题，关键是设直线0A解析式进行解答.
4.
【分析】根据众数和中位数的概念求解.
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1, 3, 4, 5, 5, 6, 则众数为：5,
中位数为：4.5.
故选：B.
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形
1
【解答】解：???分别以A和B为圆心，大于-AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D,
2
??? AC=AD=BD=B,
???四边形ADBC一定是菱形，
故选：B.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键.
6.
【分析】将（-1, 2）代入y=-即可求出k的值，再根据k=xy解答即可.
x
【解答】解：???反比例函数y=-的图象经过点（-1, 2）,
x
k=- 1 X2=-2,只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是- 2的，就在此函数图象上；四个选项中只有C: 2X（- 1）=-2符合.
故选：C.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，贝「定满
足函数的解析式?反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上.
7.
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而化简求出即可.
【解答】解：由题意可得：a v 0，
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的符号是解题关键.
8.
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形. 【解答】解：A、：22+32工42，A 2, 3, 4不能构成直角三角形.
B、t72+242=252，二7, 24，25能构成直角三角形；
C、T 62+82=102，「. 6, 8，10能构成直角三角形；
D、t92+122=152,.?.9，12，15能构成直角三角形. 故选：A.
【点评】主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法.在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.
9.
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB// DC, AD// BN,根据平行线的性质可得/
N=Z ADM,/ M=Z NDC,再由/ NDC=Z MDA，可得/ N=Z NDC, / M=Z MDA,Z M= / N,根据等角对等边可得CN=DC AD=MA, NB=MB,进而得到答案.
【解答】解：???四边形ABCD为平行四边形，
??? AD=BC DC=AB AB // DC, AD // BN,
???/ N=/ ADM,/ M= / NDC,
v/ NDC=Z MDA,
???/ N=/ NDC,/ M=/ MDA, / M=/N,
??? CN=DC AD=MA, NB=MB,
???平行四边形ABCD的周长是BM+BN=6^6=12,
故选：D.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等.
10.
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小.选派方差较小的两位.
【解答】解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳
定，所以应选他们两人去参加比赛.
故选：C.
【点评】考查了方差的意义.方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小.
二■填空题(24分)
11.
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分. 根
据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解. 【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：a2- 1>0且1-a2>0, 解得
a2=1，即a=± 1，
又0做除数无意义，所以a+1工0，
故a=1，b=0，所以a+b=1.
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质.概念：式子-a (a>0)叫二次根式.性
质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.当字母在分母中时，时还要考虑分母不等于零.
12.
【分析】AC的长可根据勾股定理来解答；在求出AC后，坡度比就可以用垂直高度：水平距离来解答.
【解答】解：在Rt A ABC中，AC=.102 -52 =5 3 ；
斜坡AB 的坡比i=BC: AC=5: 5 3=1： 3 .
【点评】本题考查坡度的定义与应用：坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡度，又称坡比.
13.
【分析】此函数可以是一次函数y=kx+b, (k>0, b v 0)；也可为二次函数y=a*+bx+c,
(a v0, b>0, c v0).
【解答】解：???经过点(2, 0)顶点的横坐标〉或等于2且开口向下的抛物线的解析式
都是符合题意的，
二我们可以写出一个函数是y=-( x- 2) 2=- X2+4X-4.(答案不唯一).
【点评】此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错.
本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想.
14.
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理即可求得AB的长.
【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
??? 0A=4, 0B=3,
根据勾股定理可得AB=5.
故答案为5.
【点评】此题主要考查菱形的对角线的性质，综合利用了勾股定理.
15.
1
【分析】根据梯形的面积公式得：-x( 2+4)X 3=9.
2
1 1
【解答】解：S 梯形ABCD=— (AD+BC) ?AB二—X( 2+4)X 3=9.
2 2
【点评】考查了梯形的面积公式.
16.
【分析】通过观察可知，所列出的算式都符合勾股定理公式.再观察数字的规律可得：
第一个加数的底数是从3开始的奇数，第二个加数的底数是依次加：8、12、16、20、24、28 ,则第七个等式的第一个加数的底数是15 ,第二个加数的底数是40+20+24+28=112. 【解答】解：第七个等式是152+1122=1132.
【点评】此题考查的其实是一些常用的勾股数.通过分析各等式，找出规律，是此题的关键.
19.
三、(18分) 17.
【分析】(1)首先根据待定系数法确定一次函数中 a , b 的值，再确定一次函数的解析
式，然后确定c ；
(2)知道a ，b ，c 的值可以求题目代数式的值了，不过要考虑用简单方法.
【解答】解：(1)v 一次函数y=ax+b 的图象经过点A (0，2-^3 )，B (1, 4- ^3 )，
a = 2 b=2—'
y=2x+2 - . 3，
又?点 C (c ， c+4)在直线 y=2x+2 - ?.. 3 上， ?- c+4=2c+2 — -.3 得 c=2、3 .
(2)v a 2+b 2+c 2 — ab — ac- bc=- [ (a — b ) 2+ (b — c ) 2+ (a- c ) 2]，
2
=-[(2 -2+ .3 ) 2+ (2 - ..3 - 2 - .3 ) 2+ (2 -2 - .、3 ) 2] =9. 2
【点评】此题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，然后用函数解析式解决 题目的问题. 18.
【分析】连接AC,先利用勾股定理求出 AC,再根据勾股定理的逆定理判定厶 ABC 是直 角三角形，那么△ ABC 的面积减去△ ACD 的面积就是所求的面积. 【解答】解：如图，连接AC.
在厶ACD 中AD=4米, CD=3米，/ ADC=90, ? AC=5 米，
又??? AC 2+BC 2=52+122=132=A B ?, ? △ ABC 是直角三角形，
1 1
?这块地的面积=△ ABC 的面积-△ ACD 的面积=—X 5 X 12- — X 3X 4=24 (平方米).
2 2 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ ABC 是直角三角形是 解题的关键.同时考查了直角三角形的面积公式.
【分析】根据翻折的性质，先在Rt A ABF 中求出BF,进而得出FC 的长，然后设CE=x “2 一"3「，解得丿 a +b =4 —^3
EF=8- x,从而在Rt A CFE中应用勾股定理可解出x的值，即能得出CE的长度.
【解答】解：由翻折的性质可得：AD=AF=BC=10
在Rt A ABF 中可得：BF= AF2- AB2 =6,
??? FC=B G BF=4,
设CE=x EF=DE二& x,则在Rt A ECF中,
E F=E C+C氏即卩x2+16= （8- x）2,
解可得x=3,
故CE=3cm
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决本题的关键是结合图形，首先根据翻折的性质得到一些相等的线段，然后灵活运用勾股定理进行解答.
四、（21分）
20.
【分析】（1）根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可；
（2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答.
【解答】（1）证明：???四边形ABCD为等腰梯形，
??? AB=CD / A=Z D.
??? M为AD的中点，
??? AM=DM. （2 分）
???△ABM^A DCM. （1 分）
??? BM=CM. （1 分）
??? E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
??? EN FN分别为△ BMC的中位线，
1 1
二EN—MC, FN=—MB,
2 2
厂 1 1
且ME=BE—MB, MF=FC=MC.
2 2
EN=FN=FM=EM
???四边形ENFM是菱形.（1分）
（2）解：结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
理由：连接MN,
??? BM=CM, BN=CN
??? MN 丄BC.
??? MN是梯形ABCD的高.(2分)
又???四边形MENF是正方形，
???/ EMF=90 ,
???△ BMC为直角三角形.
又??? N是BC的中点，
1
二MN= —BC. (1 分)
2
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半.
【点评】本题比较复杂，涉及面较广，需要同学们把所学知识系统化，提高自己对所学知识的综合运用运用能力.
21.
【分析】(1)锅炉内原有水96升；接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升；接水4分钟后，锅炉内的余水量为72 升; 2分钟前的水流量为每分钟8升等；
(2)本题考查的是分段函数的有关知识.分为当OWxw2时以及x>2时的函数解析式；
(3)可能.分两种情况解答：1小敏一开始接水；2.小敏在若干位同学接完水后开始接水. 【解答】解：(1)锅炉内原有水96升；接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升；接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等.
(2)当0 w x< 2时，设函数解析式为y=k1x+b1，
-■. 96
把x=0，y=96和x=2，y=80代入得：丿
邱严=80
解得小一8
b =96
二y=- 8x+96 (0< x< 2).
当x> 2时，设函数解析式为y=k2x+b2，
广
把x=2，y=80 和x=4，y=72 代入得：丿80 2" ?2
j72 = 4k2+b2
??? y=- 4x+88 (x>2).
因为前15位同学接完水时余水量为96 - 15X 2=66 (升),所以66=- 4x+88, x=5.5.
答：前15位同学接完水需5.5分钟.
(3)①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8 X 2-8=2分.
即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符.
②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水.
当O v t < 2时，
则8 (2 - t) +4[3-( 2- t) ]=8X 2，
16-8t+4+4t=16,
?t=1 (分).
?( 2-t) +[3-(2-t) ]=3 (分)，符合.
当t > 2时，
则8X 2-4=4分.
即8位同学接完水，需4分钟，与接水时间恰好3分钟不符.
所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟.
【点评】命题立意：考查一次函数的解析式、图象、性质、及综合运用知识，分析问题, 解决问题的能力.
22.
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【解答】解：原式=(8 x - 2 , x )* 3 x
=2
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则, 本题属于基础题型.
五.(27分)
【分析】先根据二次根式的除法法则、零指数幕的意义和二次根式的性质进行计算，然23.
后合并即可.
【解答】解：原式=3、2 - 土？ -（ 1+2 ） +1+.. 2 - 1
2
=3血-班-1 -y ^2+1 + 42 - 1
2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后 进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点， 灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. 24.
【分析】由于/ BAE=Z FDE=90, AE=DE / AEB=Z DEF? △ BAE ^A FDE 即有 S RfBAE =5t
△ FDE,
由于 S A FBC =S L FDE +S 四边形 BCDE S 矩形 ABCD F S X BAE +S 四边形 BCDE 故有S 矩形 ABCD =S A BCF -
【解答】证明：如图，在Rt A BAE 和Rt A FDE 中,
vZ BAE=Z FDE=90, （1 分）
AE=DE （2 分）
Z AEB=/ DEF ，（3 分） ???△ BAE ^A FDE （4 分）
二 S BAE =S^ FDE （ 5 分）
v S FB C=S FDE +S 四边形BCDE （6分）
S 矩形 ABCD =S BAE +S 四边形 BCDE （7 分） 二 S 矩形 ABC D =S\ BCF . （8 分）
【点评】本题利用了矩形的性质，全等三角形的判定和性质求解. 25.
【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数 的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个； 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数. （2）优秀率=优秀的人数十参加考试的总人数.
【解答】解：（1） 10次的有30人，人数最多，故10次为众数；
= 3^2
2
1.
第50、51人的次数分别为9次、8次，中位数为（9+8）十2=8.5次；
第13页
平均数为(30X 10+20 X 9+15 X 8+15 X 7+12 X 6+5 X 5+2X 4+1 X 3)十100=8.13次. ( 2)规定成绩在8 次(含8 次)为优秀，这些男生考试成绩的优秀率为： ( 30+20+15)
-100=65% 【点评】本题是统计题，考查了众数、中位数、平均数的概念及优秀率的意义，属于基础知识，需牢固掌握．