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随机过程在排队论中的应用

随机过程在排队论中的应用
随机过程在排队论中的应用

排队论的应用

排队论的应用 ——食堂排队问题 刘文骁 摘要 本文通过运筹学中排队论的方法,为食堂排队问题建立模型,研究学生排队就餐时间节约的影响因素,通过简单计算,得出影响最大因素。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象,解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型,运用排队论的观点进行分析,找出可以减少排队时间的最大影响因素。 关键词 排队论;M/M/s模型;食堂排队 引言 在学校里,常常可以看到这样的情况:下课后,许多同学正想跑到食堂买饭,小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍,本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵,怎能不怨声载道。减少排队等待时间,是学生们十分关心的问题。 1.多服务台排队系统的数学模型 1.1排队论及M/M/s模型 排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法,是运筹学的一个重要分支。在日常生活中,人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。 排队系统的一般形式符号为:X/Y/Z/A/B/C。 其中:X表示顾客相继到达时间间隔的分布;Y表示服务时间的分布;Z表

示服务台的个数;A 表示系统的容量,即可容纳的最多顾客数;B 表示顾客源的数目;C 表示服务规则。 排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征,了解系统运行的基本特征;系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。 当系统运行一定时间达到平稳后,对任一状态n 来说,单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等,即系统在统计平衡下“流入=流出”。 据此,可得任一状态下的平衡方程如下: 由上述平衡方程,可求的: 平衡状态的分布为:)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中:)2(,2,1,1 10 21 == ---n C n n n n n μμμλλλ 有概率分布的要求:10=∑∞ =n n p ,有:1100=?? ? ???+∑∞ =p C n n ,则有: )3(1100 ∑∞ =+= n n C p 注意:(3)式只有当级数∑∞=o n n C 收敛时才有意义,即当∑∞ =?∞o n n C 时才能由上 述公式得到平稳状态的概率分布。

排队论例题

排队论例题 1、某重要设施是由三道防线组成的防空系统。第一道防线上配备两座武器;第二道防线上配备三座武器;第三道防线上配备一座武器。所有的武器类型一样。武器对来犯敌人的射击时间服从μ=1(架/分钟)的指数分布,敌机来犯服从λ=2(架/分钟)的泊松流。试估计该防空系统的有效率。

解: 武器联合发挥作用 该防空系统有效率 = 1- (三道防线后的损失率) 三道防线均可看成M/M/1/1系统 第一道防线:λ=2架/分钟, μ=2架/分钟(两座武器) ρ=λ/μ=1 .P )A (P ,P ,P ,P P P 1212111110001=======λλρ损 第二道防线 : .P )A (P ,P ,P ,P P P ,)(.414 143313131122100011========= ===λλρμλρμλλ损损三座武器第三道防线: 975 .0,025.0.05.020 1)(,51,54,1,41,41,1.41 313310100012===========∴=+==== ===总损失率该防空系统的有效率总损失率损损损-12 0.05λλλλρμλρμλλP A P P P P P P P P

2、某汽车加油站只有一个加油灌,汽车到达为泊松流,加油时间服从指数分布。平均到达率和平均服务率分别为λ和μ。已知汽车排队等待(不含服务时间)1小时的损失费为C元,加油站空闲1小时损失费为2C元。试求使总的损失费(包括顾客排队等待的损失费和服务机构空闲时的损失费)最小的最优服务强度ρ(ρ=λ/μ)。

解:该排队系统为M/M/1系统 μλρ= W q ==-)(λμμλρρ-12 P0 = 1-ρ=μλ (空闲概率) 每小时空闲时间为1×P0= P0 总损失费为: ρρρ-+-=+=1)1(2220C C Cw Cp y q 对 ρ 求导 C C C C y 22 22)1(22)1()1(22ρρρρρρρ--+-=-+-+-=' ∴22±=ρ 又∵ ρ<1 ∴22-=ρ 由于2阶导数 0)1()2)(1(2)1)(22(422>---+--=''ρρρρρρy ∴在22-=ρ时为0<ρ<1上取最小值 动态规划问题 1.某企业生产某种产品,每月月初按定货单发货,生产得 产品随时入库,由于空间限制,仓库最多能够贮存产品90000件。在上半年(1至6月)其生产成本(万元/ 6个月的生产量使既能满足各月的订单需求同时生产成本最低?

排队论之简单排队系统设计

5.2.4 无限源的简单排队系统 所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的,输入过程是简单流,服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。 1.//1/M M ∞排队系统 //1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为:假设顾客以Poisson 过程(具有速率λ)到达单服务员服务台,即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量,具有均值1λ,若服务员空闲,则直接接受服务,否则,顾客排队等待,服务完毕则该顾客离开系统,下一个排队中的顾客(若有)接受服务。相继服务时间假定是独立的指数型随机变量,具有均值μ。两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布,1指的是系统中只有一个服务台,∞指的是容量为无穷大,而且到达过程与服务过程是彼此独立的。 为分析之,我们首先确定极限概率0,1,2,n p n ???=,,为此,假定有无穷多房间,标号为 0,1,2,???,并假设我们指导某人进入房间n (当有n 个顾客在系统中),则其状态转移框图如图5.8所示。 图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图 由此,我们有 状态 离开速率=进入速率 0 01p p λμ= ,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+ 解方程组,容易得到 00,1,2,i i p p i λμ????? == ??? , 再根据 001 1()1n n n n p p p λμ λμ ∞ ∞ === == -∑∑ 得到: 01p λμ =- ,

()(1),1n n p n λλ μ μ =- ≥ 令/ρλμ=,则ρ称为系统的交通强度(traffic intensity )。值得注意的是这里要求 1ρ<,因为若1ρ>,则0n p =,且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷,因 此对大多数单服务排队系统,我们都假定1ρ<。 于是,在统计平衡的条件下(1ρ<),平均队长为 ,1,1j j L jp λρ ρμλ ρ ∞ == = = <--∑ (5-52) 由于a λλ=,根据式(5-2)、(5-3)以及上式,可得: 平均逗留时间为: 1 ,1L W ρλ μλ = = <- (5-53) 平均等待时间为: 1 [],1()(1) Q W W E S W λρ ρμ μμλμρ=-=- = =<-- (5-54) 平均等待队长为: 22 ,1()1Q Q L W λρλρμμλρ ===<-- (5-55) 另外,根据队长分布易知,01ρρ=-也是系统空闲的概率,而ρ正是系统繁忙的概率。显然,ρ越大,系统越繁忙。 队长()N t 由0变成1的时刻忙期即开始,此后()N t 第一次又变回0时忙期就结束。由简单流与负指数分布的性质,显见忙期的长度与忙期的起点无关。可以证明,闲期的期 望值为1λ,令忙期平均长度为b , 则在统计平衡下,有:平均忙期:平均闲期=(1)ρρ-: ,因此平均忙期长度为: 1 11b ρμλρ?

排队论习题

排队论习题 1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流,平均每小时50人,为顾客服 务的时间服从负指数分布,平均每小时可服务80人,求: (1)顾客来借书不必等待的概率3/8 (2)柜台前平均顾客数5/3 (3)顾客在柜台前平均逗留时间1/30 (4)顾客在柜台前平均等待时间1/80 2、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师,有两名理发师应聘。由于水平不同,理发师甲平均每小时可服务3人,雇佣理发师甲的工资为每小时14元,理发师乙平均每小时可服务4人,雇佣理发师乙的工资为每小时20元,假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布,另外假设顾客到达服从泊松分布,平均每小时2人。问:假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元,请进行经济分析,选出一位使排队系统更为经济的理发师。 3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口,假设到达收款出口的顾客流为泊松流,平均每小时为30人,收款员的服务时间服从负指数分布,平均每小时可服务40人。(1)计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。 (2)顾客对这个系统抱怨花费的时间太多,商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。 1)在收款出口,除了收款员外还专雇一名装包员,这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。 2)增加一个出口,使排队系统变成M/M/2系统,每个收款出口的服务率仍为40人。 对这两个排队系统进行评价,并作出选择。 4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口,平均90辆/小时。每辆车通过收费口平均需时间35秒,服从负指数分布。司机抱怨等待时间太长,管理部门拟采用自动收款装

置使收费时间缩短到30秒,但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆,且新装置的利用率不低于75%时才使用,问上述条件下新装置能否被采用。 5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布,平均每人打电话时间为3分钟,服从负指数分布。试求: (1)到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率 (2)顾客从到达时算起到打完电话离去超过10分钟的概率 (3)管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时,将安装第二台电话,问当λ值为多大时需安装第二台。 6、某无线电修理商店保证每件送到的电器在1小时内修完取货,如超过1小时分文不收。已知该商店每修一件平均收费10元,其成本平均每件5.5元,即每修一件平均赢利4.5元。已知送来修理的电器按泊松分布到达,平均6件/小时,每维修一件的时间平均为7.5分钟,服从负指数分布。试问: (1)该商店在此条件下能否赢利 (2)当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。 7、顾客按泊松分布到达只有一名理发员的理发店,平均10人/小时。理发店对每名顾客的服务时间服从负指数分布,平均为5分钟。理发店内包括理发椅共有三个座位,当顾客到达无座位时,就依次站着等待。试求: (1)顾客到达时有座位的概率 (2)到达的顾客需站着等待的概率 (3)顾客从进入理发店到离去超过2分钟的概率 (4)理发店内应有多少座位,才能保证80%顾客在到达时就有座位。 8、某医院门前有一出租车停车场,因场地限制,只能同时停放5辆出租车。当停满5辆后,后来的车就自动离去。从医院出来的病人在有车时就租车乘坐,停车场无车时就向附近出租汽车站要车。设出租汽车到达医院门口按λ=8辆/小时的泊松分布,从医院依次出来的病人的间隔时间为负指数分布,平均间隔时间6分钟。又设每辆车每次只载一名病人,并且汽车到达先后次序排列。试求:

排队论医院应用

医院排队论模型 医院排队论模型 医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形 式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务. 这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者. 以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的. 排队系统模拟 所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行 为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据. 如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务 设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重 要分支之一. 在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随 机服务系统. 这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等. 医院排队系统的组成 排队系统的基本结构由四个部分构成:来到过 程(输入)、服务时间、服务窗口和排队规则.

1、来到过程(输入)是指不同类型的患者按照各种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接 受服务. ⑴来到过程 常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛. 所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入: ①平稳性:在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段 时间的长度和患者数有关; ②无后效性:不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立 的; ③普通性:在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不 存在同时到达2个以上患者的情况; ④有限性:在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可 能有无限个患者到达. 患者的总体可以是无限的也可以是有限的; 患者到来方式可以是单个的,也可以是成批的; 相继到达的间隔时间可以是确定的,也可是随机的; 患者的到达可以是相互独立的,也可以是关联; 到来的过程可以是平稳的,也可是非平稳的; ⑵服务时间

泊松过程及其在排队论中的应用

泊松过程及其在排队论中的应用 摘要:叙述了泊松过程的基本定义和概念,并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用,讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词:泊松过程;齐次泊松过程;排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一,在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来,泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程,他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型,它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 :设计数过程{ X(t),t ≥ 0}满足下列条件: (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中,事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布,即对任意是s, t ≥ 0,有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+, ,1,0=n 则称计数过程{ X(t),t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意,从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([,由于, t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数,故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中,我们看到,为了判断一个计数过程是泊松过程,必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此,我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 :设计数过程{ X(t),t ≥ 0}满足下列条件: (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ

排队论练习题

第9章排队论 判断下列说法是否正确: (1)若到达排队系统的顾客为泊松流,则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布; (2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从泊松分布,则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布; (3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布,又将顾客按到达先后排序,则第1、3、5、7,…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布; (4)对M/M/1或M/M/C的排队系统,服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流; (5)在排队系统中,一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布,这是因为通过对大量实际系统的统计研究,这样的假定比较合理; (6)一个排队系统中,不管顾客到达和服务时间的情况如何,只要运行足够长的时间后,系统将进入稳定状态; (7)排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响; (8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统; (9)在顾客到达的分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关,当服务时间分别的方差越大时,顾客的平均等待时间将越长; (10)在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下,由1名工人看管5台机器,或由3名工人联合看管15台机器时,机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 M/M/1 、某理发店只有一名理发师,来理发的顾客按泊松分布到达,平均每小时4人,理发时间服从负指数分布,平均需6小时,求: (1)理发店空闲时间的概率; (2)店内有3个顾客的概率; (3)店内至少有1个顾客的概率; (4)在店内顾客平均数; (5)在店内平均逗留时间; (6)等待服务的顾客平均数; (7)平均等待服务时间; (8)必须在店内消耗15分钟以上的概率。 、某修理店只有一个修理工,来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布,平均每小时4 人,修理时间服从负指数分布,平均需6分钟。求: (1)修理店空闲时间的概率; (2)店内有3个顾客的概率; (3)店内顾客平均数; (4)店内等待顾客平均数; (5)顾客在店内平均逗留时间; (6)平均等待修理时间。

排队论及其在通信中的应用

排队论及其在通信中的应用 姓名:徐可学号:2012202120131 专业:通信与信息系统 摘要:排队论又称随机服务系统理论,它广泛应用于通信领域,是通信网络流量设计的基础理论。本文通过对排队论基本概念的介绍,进而阐述了排队论在通信网中的应用,以实例分析的方法揭示了排队论在通信网络流量设计中的重要作用。 关键词:排队论通信网络 Abstract:Queuing theory which is also called the theory of random service system is widely used in the communication field,and it is the basic theory of traffic flow in the communication network design.This paper introduce the basic concept of queuing theory, and expounds the queuing theory in communication network applications. with a case analysis,this paper reveals the important role of the queuing theory in communication network design . Key words: Queuing theory communication network 1 排队论基本概念 1.1 排队系统的概念 把要求服务的一方称为顾客,把提供服务的一方称为服务机构,而把服务机构内的具体设施称为服务员(或服务窗口)。 顾客要求的随机性和服务设施的有限性是产生排队现象的根本原因。排队论就是利用概率论和随机过程理论,研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系,以便合理地设计和控制排队系统[1]。 由于顾客到达的数目和要求提供服务的时间长短都是不确定的,这种由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构成的系统称为随机服务系统或排队系统。 1.2 排队系统的基本参数 排队系统的基本参数包括:顾客到达率λ,服务员数目m,和服务员服务速率μ。

(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案

《运筹学》第六章排队论习题 转载请注明 1. 思考题 (1)排队论主要研究的问题是什么; (2)试述排队模型的种类及各部分的特征; (3)Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义; (4)理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念; (5)分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数,说明这些分 布的主要性质; (6)试述队长和排队长;等待时间和逗留时间;忙期和闲期等概念及他们之间的联系 与区别。 2.判断下列说法是否正确 (1)若到达排队系统的顾客为普阿松流,则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布; (2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从普阿松分布,则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布; (3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布,又将顾客按到达先后排序, 则第1、3、5、7,┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布; (4)对1//M M 或C M M //的排队系统,服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流; (5)在排队系统中,一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布,这是因为通过对大 量实际系统的统计研究,这样的假定比较合理; (6)一个排队系统中,不管顾客到达和服务时间的情况如何,只要运行足够长的时间后, 系统将进入稳定状态; (7)排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响; (8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统; (9)在顾客到达分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关,当服务时间分布的方差越大时,顾客的平均等待时间就越长; (10)在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下,由1名工人 看管5台机器,或由3名工人联合看管15台机器时,机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3.某店有一个修理工人,顾客到达过程为Poisson 流,平均每小时3人,修理时间服从负 指数分布,平均需19分钟,求: (1)店内空闲的时间; (2)有4个顾客的概率; (3)至少有一个顾客的概率; (4)店内顾客的平均数; (5)等待服务的顾客数; (6)平均等待修理的时间; (7)一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4.设有一个医院门诊,只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流,平均到达时间间隔为20分钟,诊断时间服从负指数分布,平均需12分钟,求: (1)病人到来不用等待的概率; (2)门诊部内顾客的平均数; (3)病人在门诊部的平均逗留时间; (4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时,则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时,医院才会增加医生? 5.某排队系统只有1名服务员,平均每小时有4名顾客到达,到达过程为Poisson 流,,服务时间服从负指数分布,平均需6分钟,由于场地限制,系统内最多不超过3名顾客,求:

随机过程分析

随机过程分析 摘要随着科学的发展,数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位,因为在科学研究中,只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除,到复杂的建模思想等等。其中,随机过程作为数学的一个重要分支,更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键,也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量,利用在系统中每次需要传送的信源数据流,就可以看成是一个随机变量。例如,在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数;把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知,这种信号就称为随机信号;在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心, 即均值

?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞ ∞ --=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时,常用协方差函数和相关函数来表示。 (1)自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻;a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望; 用途:用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 (2)自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途:a 用来判断广义平稳; b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义(广义与狭义): 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳,狭义平稳或严平稳。

排队论的简单应用

基于排队论的简单实际应用 摘要:排队论(Queuing Theory) ,是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工 作过程的数学理论和方法,又称随机服务系统理论,为运筹学的一个分支。本文根据排队论进行了一个简单的实际应用讨论。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律,用)(t Pn 表示在时刻t ,服务系统的状态为n (系统中顾客数为n )的概率。通过输入过程,排队规则,和服务机构的具体情况建立关于 )(t Pn 的微分差分方程求解。令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程,而不再含微 分了,因此这样意味着把)(t Pn 当作与t 无关的稳态解。关于标准的M/M/s 模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立(不搞协作)且平均服务率相同.==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs ;令,s = μ λ ρ只有当1

一、基于排队论的简单介绍 M M:较为经典的一种排队论模式,按照前面的Kendall记号定义,//1 前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布,后面的M则表示服务时间服从负指数分布,1为仅有一个打磨机。 蒙特卡洛方法:蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩。 排队论研究的基本问题 (1)排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型,以便根据排队理论进行研究。 (2)系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性,主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 (3)最优化问题:即包括最优设计(静态优化),最优运营(动态优化)。 二、排队论在实际问题中的应用 问题的陈述:办公室有三条电话线可以打进,也就是说在任意时刻最多能打进接待三通话者来访,打进的电话是随机的,其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布,每次电话的持续时间是均值为6分钟的随机变量,经理关心由于占线而可能打不进来的人数。他们当中有人稍后可能重拨电话,而其他人则可能放弃通话,一天中接通的电话平均数是70。 1、问题的提出:请仿真这个办公室的电话系统并给出如下估计: (1)无电话占线,有一条、两条占线和三条占线的时间百分比; (2)没有打进电话的人所占的百分比。 (3)若办公室再新装一部电话,你怎样修改模型?改进这一模型还需要其他什么信息? 2、问题的分析:这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K,顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为Poisson流),服务台的个数为s,每个服务台的服务时间相互独立,且服从参数为μ的负指数分布,系统的空

胡运权排队论习题解

胡运权排队论习题解 某修理店只有一个修理工人,来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时3人,修 理时间服从负指数分布,平均需10分钟,求 (1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内至少有一个顾客的概率 ; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间; (8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率. (1)P o (3)1 P o 1(人 ); 1 1 (小时); 3 1 1 答:(1修理店空闲时间概率为-;(2)店内有三个顾客的概率为 —;(3)店内至少 1 1 有一个顾客的概率为寸;(4)店内顾客平均数为1人;(5)等待服务顾客平均数为1 2 人; (6)在店内平均逗留时间 1 分钟;(7)平均等待修理时间为丄分钟;(8)必须在店内 3 6 15 消耗15分钟以上的概率为e 20. 1 丄(小时); 6 解:该系统为(M/M/1/ / )模型, 3, 60 6. 10 ⑵P 4 (1 (1 扯4 1 ; ; ⑷L s (5)L q 23 1(人); (8)1-F( )e -(-) e^ 60 e -25

90 3600 38 94.7 94.7 0.95 10.2设有一单人打字室,顾客的到达为普阿松流,平均到达时间间隔为 打字时间服从指数分布,平均时间为 15分钟,求 (1) 顾客来打字不必等待的概率; (2) 打字室内顾客的平均数; (3) 顾客在打字室内平均逗留时间; (4) 若顾客在打字室内的平均逗留时间超过 1.25小时,则主人将考虑增加设备 及打字员,问顾客的平均到达概率为多少时,主人才会考虑这样做? 解:该题属M /M /1模型. (1)P 0 1 1 - 4 4 (2)L s - 3 3(人 ); 4 3 ⑶W s - — 1 1(小时); 4 3 ⑷Q W s 1 1.25; 1.25, 323.2 3 0.2(人 /小时). 4 1 答:1)顾客来打字不必等待的概率为-;(2)打字室内顾客平均数为3人;(3)顾客在 4 打字室内平均逗留时间为1小时;(4)平均到达率为0.2人/小时时,店主才会考 虑增加设备及打字员. 汽车按平均90辆/h 的poission 流到达高速公路上的一个收费关卡,通过关卡的平均时间 为38s 。由于驾驶人员反映等待时间太长,主管部门打算采用新装置,使汽车通过关卡的平 均时间减少到平均30s 。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过 5辆和新系统 中关卡空闲时间不超过 10%时才是合算的。根据这一要求,分析新装置是否合算。 解:该系统属于 M/M/1模型 旧装置各参数计算: 90/h 20分钟, 60 3(人/小时), 20 60 4(人/小 时). 15

排队论习题

排队论习题 1. 一个车间内有10台相同的机器,每台机器运行时每小时能创造4元的利润,且平均每小时损坏一次。而一个修理工修复一台机器平均需4小时。以上时间均服从指数分布。设一名修理工一小时工资为6元,试求: (i )该车间应设多少名修理工,使总费用为最小; 解:这个排队系统可以看成是有限源排队模型M/M/s/10,已知 11,0.25,4,104m λλμρμ ====== 设修理工数为s , 由公式()()11010!!!!!!s m n n n n n s m m p m n n m n s s ρρ---==??=+??--??∑∑ ()11001m q n n s s s s n q n n n L n s p L np L s p =--===-??=++- ??? ∑∑∑ 目标函数为min 64s s L =+,用lingo 求解得到1s =,此时平均队长9.5s L =台,又因为当维修工数10s =时平均队长8s L =,说明此模型不合理。 对模型进行修正,由于要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率,才能使系统达到统计平衡。所以假设一名修理工修复一台机器平均需0.5小时,即设2μ=。用lingo 求解得维修工数3s =,平均队长,此时的最小费用为35.97元。(1)

程序: model: lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho; L_s=@pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s); min=6*s+4*L_s; @gin(s); end Local optimal solution found. Objective value: 35.97341 Objective bound: 35.97341 Infeasibilities: 0.1000005E-09 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 388 Variable Value LAMDA 1.000000 MU 2.000000 RHO 0.5000000 M 10.00000 LOAD 5.000000 L_S 4.493352 S 3.000000 LAMDA_E 5.506648 (ii)若要求不能运转的机器的期望数小于4台,则应设多少名修理工; L ,求得应设解:同上,用有限源排队模型求解,增加约束条件4 s 4名修理工。 程序: model: lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho; L_s=@pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s);

排队论练习题

第9章排队论 9.1 判断下列说法是否正确: (1)若到达排队系统的顾客为泊松流,则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布; (2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从泊松分布,则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布; (3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布,又将顾客按到达先后排序,则第1、 3、5、7,…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布; (4)对M/M/1或M/M/C的排队系统,服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流; (5)在排队系统中,一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布,这是因为通过对大量实际系统的统计研究,这样的假定比较合理; (6)一个排队系统中,不管顾客到达和服务时间的情况如何,只要运行足够长的时间后,系统将进入稳定状态; (7)排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响; (8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统; (9)在顾客到达的分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关,当服务时间分别的方差越大时,顾客的平均等待时间将越长; (10)在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下,由1名工人看管5台机器,或由3名工人联合看管15台机器时,机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 M/M/1 9.2、某理发店只有一名理发师,来理发的顾客按泊松分布到达,平均每小时4人,理发时 间服从负指数分布,平均需6小时,求: (1)理发店空闲时间的概率; (2)店内有3个顾客的概率; (3)店内至少有1个顾客的概率; (4)在店内顾客平均数; (5)在店内平均逗留时间; (6)等待服务的顾客平均数; (7)平均等待服务时间; (8)必须在店内消耗15分钟以上的概率。 9.3、某修理店只有一个修理工,来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布,平均每小时4 人,修理时间服从负指数分布,平均需6分钟。求: (1)修理店空闲时间的概率; (2)店内有3个顾客的概率; (3)店内顾客平均数; (4)店内等待顾客平均数; (5)顾客在店内平均逗留时间; (6)平均等待修理时间。

最新合理安排时间、排队论练习题

《数学广角》练习题2 1、丽丽长大了,想和妈妈学做菜,星期天要学做一个炒鸡蛋,妈妈告诉她这道菜有以下几项工序:敲蛋(1分钟)搅蛋(1分钟)切葱(1分钟)洗锅(2分钟)烧 热锅(2分钟)烧热油(1分钟)炒蛋(4分钟)请你帮丽丽想一想怎样合理安排呢?最少需要多长时间? 2、一只平底锅上只能煎两条鱼,用它煎一条鱼需要4分钟。(正反面各2分钟),那么,煎三条鱼至少需要几分钟? 3、小刚、小明、小强3人各拿一只水桶去接水,水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟,现在只有1个水龙头可以接水,怎样安排能使他们总的等候时间最短?这个最短的时间是多少? 4、妈妈怎样安排所用的时间最少? 杀鱼、洗鱼5分钟烧鱼10分钟淘米2分钟做米饭15分钟5、小明帮妈妈做家务,需要做:用洗衣机洗衣服(20分钟)、扫地(10分钟)、整理书桌(10分钟)、晾衣服(5分钟)。帮小明想一想怎样合理安排呢?最少需要多长时间? 6、小明需要完成的作业:上网查资料(10分钟)、打印资料(5分钟)、读英语故事(4分钟)、练口算(3分钟),他应该如何合理安排完成各项作业呢?最少需要多长时间? 7、妈妈中午做饭的工序是:淘米1分钟,煮饭8分钟,洗菜、切菜2分钟,洗碗4分钟,擦桌子3分钟。请你为妈妈设计一下,怎样做更省时,最少要几分钟?最少需要多长时间? 精品文档

8、妈妈用一只平底锅煎鱼,每次只能放两条鱼,煎一条需要2分钟(正、反两面各需1分钟),煎9条鱼至少需要几分钟? 9、甲、乙、丙、丁四位同学拿着暖瓶去打开水,热水龙头只有一个,甲接满水要5分钟,乙接满水要2分钟,丙接满水要1分钟,丁接满水要4分钟,怎么安排他们打水的顺序,才使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少? 10、小明每天早晨起床后要做如下事情︰洗漱用5分钟,收拾床褥用4分钟,听广播15分钟,吃早飯8分钟。要完成這些事情,小明至少要花费多长时间? 11、在火炉上烤烧饼,烤好一个烧饼需要4分钟,每烤完一面需要2分钟,炉上只能同时烤2个饼,現在要烤201个烧饼,至少需要多长时间?12、小美招待客人,要烧水沏茶。洗水壶要3分钟,烧开水要用10分钟,洗茶壶要用2分钟,洗茶杯要用5分钟,拿茶叶要用1分钟。小美估算了一下,完成这些工作最多要用21分钟。为了使客人早点喝上茶,应该怎样安排?要用多少分钟? 13、理发室有1个理发师,同时来了5位顾客,根据顾客所要的发型,分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟。怎样安排他们理发的顺序,才能使这5个人理发及等候所用时间的和最少,最少需要多少分钟? 14、班级大扫除,甲、乙、丙、丁四位同学各提一只水桶同时到一个水龙头接水,他们接满一桶水所需时间分别是4分钟、6分钟、7分钟、5分钟。怎样安排才能使四人等候时间的总时间最少? 15、桌子上散放着30枚棋子,现在由甲、乙两个人轮流拿,但每次只能拿1~3枚, 精品文档

排队论习题及答案

《运筹学》第六章排队论习题 1. 思考题 (1)排队论主要研究的问题是什么; (2)试述排队模型的种类及各部分的特征; (3)Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义; (4)理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念; (5)分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数,说明这些分 布的主要性质; (6)试述队长和排队长;等待时间和逗留时间;忙期和闲期等概念及他们之间的联系 与区别。 2.判断下列说法是否正确 (1)若到达排队系统的顾客为普阿松流,则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布; (2)假如到达排队系统的顾客来自两个方面,分别服从普阿松分布,则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布; (3)若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布,又将顾客按到达先后排序, 则第1、3、5、7,┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布; (4)对1//M M 或C M M //的排队系统,服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流; (5)在排队系统中,一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布,这是因为通过对大 量实际系统的统计研究,这样的假定比较合理; (6)一个排队系统中,不管顾客到达和服务时间的情况如何,只要运行足够长的时间后, 系统将进入稳定状态; (7)排队系统中,顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响; (8)在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下,对容量有限的排队系统,顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统; (9)在顾客到达分布相同的情况下,顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关,当服务时间分布的方差越大时,顾客的平均等待时间就越长; (10)在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下,由1名工人 看管5台机器,或由3名工人联合看管15台机器时,机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3.某店有一个修理工人,顾客到达过程为Poisson 流,平均每小时3人,修理时间服从负 指数分布,平均需19分钟,求: (1)店内空闲的时间; (2)有4个顾客的概率; (3)至少有一个顾客的概率; (4)店内顾客的平均数; (5)等待服务的顾客数; (6)平均等待修理的时间; (7)一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4.设有一个医院门诊,只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流,平均到达时间间隔为20分钟,诊断时间服从负指数分布,平均需12分钟,求: (1)病人到来不用等待的概率; (2)门诊部内顾客的平均数; (3)病人在门诊部的平均逗留时间; (4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时,则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时,医院才会增加医生? 5.某排队系统只有1名服务员,平均每小时有4名顾客到达,到达过程为Poisson 流,,服务时间服从负指数分布,平均需6分钟,由于场地限制,系统内最多不超过3名顾客,求: (1)系统内没有顾客的概率; (2)系统内顾客的平均数;

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