第九章环与域 91 环
第九章环与域
?9.1 环：两个二元运算的代数结构
?1.环的概念
?定义9.1：
?例9-1：(1):
)
(R
M
n
>
?
+
<,
),
(R
M
n
>
⊕
), (A P 为环。 > × + < k k k Z, , :)4( 9.1 环 ?2.环的性质 ?定理9.1：设 (1):加法幺元必为乘法零元；(2):(-a)·b=a·(- b)=-(a·b)；(3):a·(b-c)=a·b-a·c, (b-c) 9.1 环 ? ?3.子环与环同态 ?定义9.2：子环：环 > ? + < ?, , ,S R S 9.2 整环和域 ?定义9.4：设 (1).若·满足交换律，则称R是交换环； (2).若·运算含有幺元，则称R是含幺环；9.2 整环和域 (2): ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? > ? + < = × > × + < 1 1 , ), ( ]) 0[ ]4[ ]2 ([ ]4[], 2[ ]0[ , , 2 8 8 8 8 和 中有零因子： 是零因子， 是零元， 中， R M Z 9.2 整环和域 ?定义9.5：R是环，令，若为阿 贝尔群，则称 由于为群，满足消去律，无零因子，∴域必定是整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的}0{*?=R R >?<,*R * R 9.2 整环和域 ?定理9.3：有限整环都是域。 有逆元，，则只需证，考虑，，不妨设是有限整环，证：设i n n R r r r r R r r r r r R R }0{},,,{}0{10},,,{,,211010?∈?=?===>?+ ，，即，而，则若交换环，任取为含幺易知为域，为有限整环是素数证： j j p i p i j i p j i i Z j i Z Z Z p p p p p p p p =∴∴/≠×=×≠∈>×+ ,,,n b F n a F F >+<>+<>+<。 的阶也是中任一非零元素则时，具有有限阶中有非零元素当时，命题成立；中每个元素都是无限阶证：当9.2 整环和域 ?定理9.6：设 有2个元素，那么为 F F ?′F ′>?+′<,,F F ′) ,,(,,).1(的子群为，有>+<>+′<′∈?≠′∈?F F F b a b a F b a 第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ?? 第三章 环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 00a a a +=+=。 （2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。 利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- 。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c a b a c b c a b a c a +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。 思考题 2．信息沟通在管理中具有哪些作用？ 答：沟通的作用通俗地说，沟通的作用就是在适当的时间，将适当的信息，用适当的方法，传递给适当的组织或个人，以形成一个迅速有效的信息传递系统，从而有助于组织目标的实现。具体而言，沟通有以下几个作用。 （1）为科学决策奠定基础组织内外存在着大量模糊、不确定的信息，沟通可以澄清事实、交流思想、倾诉情感，从而降低信息的模糊性，为科学决策奠定基础。 （2）为组织创造和谐的氛围一个组织是否吸引人，组织的员工在企业是否乐得其所，甘愿为之奋斗，并不仅仅在于有一个宏伟诱人的愿景，还在于这个企业组织内部是否具有一种和谐的人际氛围。 （3）促进组织员工行为协调当组织的领导机构做出某一决策或制定出某一政策时，由于组织内部成员或部门之间所处的位置不同，利益不同，掌握的信息不同，因而对决策或政策的态度一般不一样的，产生的行为也存在一定的差异。 （4）架起组织与外部环境之间的联系桥梁企业组织必然要求和顾客、政府、公众、供应商、竞争者发生各种各样的关系，它必须要按照顾客的要求调整产品结构，遵守国家的法律、法规，担负自己应尽的社会责任，获得适用且廉价的原材料，并且在激烈的竞争中取得一席之地，这使得组织不得不和外部环境进行有效信息沟通。 3.信息沟通必须遵循哪些原则？ 答：沟通的原则体现在以下几方面： （1）准确性原则。由于信息沟通的目的是确保信息的准确传递，因此信息沟通必须遵循准确性原则。由于信息沟通一般都涉及两个方面，作为信息的发送者与接收者均应创造条件，经过双方的努力使信息在双方之间准确传递。 （2）完整性原则。在管理工作中，沟通是手段而不是目的。因此，在沟通过程中，应当注意传递信息的完整性，即在传递信息时将 完整、全部的信息传递给对方，以免影响信息传递的质量，影响组织 任务的完成。 （3）及时性原则。在沟通的过程中，还应注意信息传递的及时性。在实际工作中，经常会出现因信息传递不及时而造成工作延误的情况，应当引起高度的重视。 4．简述信息沟通的过程。 答：信息沟通的过程包括以下几方面：第一，信息发送者，需要信息 沟通的主动者把自己的思想、观念、情报、意见、要求转换为信息发 送者自己与接受者双方都能理解的共同语言和符号，这一过程就叫编码。第二，信息传递渠道，编码后的信息必须通过一定的信息传递才 能传递到接受者处，信息传递的去掉有许多，如计算机、电话、电视、互联网等。第三，信息接受者，信息接受者先接受到传递而来的共同 语言或信号，然后按照相应的办法将此还原为自己的语言即译码。第四，噪声与反馈，人们之间的信息沟通还经常受到噪声干扰，并要经常检验信息效果的再沟通。 第三章环与域 与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。 §1 加群、环得定义 一、加群 在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。 因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。如: (1)加群得单位元用0表示,叫做零元。即,有。 (2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。即有。 利用负元可定义加群得减法运算:。 (3)。 (4)。 (5) (6),且有 请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。 加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。 加群得子群得陪集表示为:。 二、环得定义 设就是一个非空集合,“+”与“。”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若 1、对于“+”作成一个加群。 2、对于“。”就是封闭得。 3、 ,有,即乘法适合结合律。 4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。 则称关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。 例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。 例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。 例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。 一、 环的定义与基本性质 （一） 环的定义: 1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫 做加法,记为“+”。 2、 定义2:代数系统),;A (?+称为环,若 1)(A,+)就是加群; 2)代数系统);A (?适合结合律; 3)乘法);A (?对加法+的分配律成立。 3、 例子 (1)),;Z (?+、),;Q (?+、),;R (?+、),;C (?+都就是环,均称为数环。 (2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (?+也就是数环,称之为高斯整环。 (3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。 (4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ?+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [? = [αβ]. (5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈?αβ=0,则),;A (?+作成一个环,称之为零环。 (二)环的基本性质: (1)0x a a x =?=+。 (2)a x x a -=?=+0。 (3)c b c a b a =?+=+。 (4)nb na )b a (n +=+。(ν为整数) (5)na ma a )n m (+=+。(μ、ν为整数) (6))na (m a )mn (=。(μ、ν为整数) (7),A a ∈? 000=?=?a a 。 (8)ab )b (a b )a (-=-=-。 (9)ab )b )(a (=--。 (10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。 (11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====???? ?????? ??11 11 。 (12))ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。 (13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则 ()k n k n k k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==?+。(μ、ν为整数) (三)交换律与单位元: 1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈?有 ba ab = 定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈?有 第十二章沟通联络 第一节沟通联络的概念、目的和作用 一、沟通联络的概念 沟通联络，简称沟通，是指将某一信息传递给客体或对象，以期取得客体或对象做出相应反应的过程。 根据概念，沟通包含三个含义： （一）沟通是双方的行为，有三种表现形式 1．人—人之间的沟通。2．人—机之间的沟通。3．机—机之间的沟通 人—人之间的沟通有其不同于其它沟通的特殊性： ①人—人之间的沟通主要是通过语言（或语言的文字形式）来进行的。 ②人与人之间的沟通不仅是消息的交流，而且包括情感、思想、态度、观点的交流。 ③在人与人之间的沟通过程中，心理因素有着重要意义。 ④在人与人之间的沟通过程中，会出现特殊的沟通障碍。 （二）沟通是一个过程，完整的沟通过程包括七个环节。 1．沟通主体——信息发出者2．编码3．媒体——沟通渠道4．沟通的客体——信息接收者5．译码6．作出反应7．反馈 （三）编码、译码和沟通渠道是沟通联络过程取得成效的关键环节。它始于主体发出信息，终于得到反应。 二、沟通联络的目的和作用杨P301 （一）目的：促进变革，即按有利于组织的方向左右组织的行动。 （二）作用 1．使组织中的人们认清形式新来的人员 下级 主管人员 2．使决策更加合理和有效 3．稳定员工的思想情绪，统一组织行动 第二节沟通联络的方式和方法 一、沟通联络的方式 （一）正式沟通与非正式沟通 正式沟通一般指在组织系统内，依据组织明文规定的原则进行的信息传递与交流。这类沟通主要运用组织机构和权力进行。 优点：沟通效果好，比较严肃，约束力强，易于保密，可以使信息沟通保持权威性。 缺点：刻板（依靠组织系统层层传递），沟通速度很慢，存在信息失真或扭曲的可能。 适用：重要消息和文件的传达；组织的决策。 非正式沟通是在正式沟通渠道之外进行的信息传递或交流。 优点：沟通形式不拘，直接明了，速度很快，容易及时了解到正式组织难以提供的“内幕新闻”。缺点：难于控制，传递的信息不确切，容易失真；可能导致小集团、小圈子，影响组织的凝聚力和人心稳定。 正式沟通的模式 信息在不同人之间以不同方向流动就形成了沟通模式。 根据人们的观察及实验室研究，正式沟通渠道主要有以下5种模式，即链型、Y型、轮盘型、环型、全通道型。 第十二章沟通 一、名词解释 1.沟通 2.编码 3.解码 4.噪声 5.沟通过程 6.组织内的正式沟通 7.组织内的非正式沟通 8.团队 二、单项选择题 1.下列关于沟通的说法，（）是不．正确的。 A.发生在两个或两个以上的人或人群 B.通过一定渠道传递可以理解的信息 C.最终形成了信息交流 D.有效的沟通是达成协议或共识 2.（）是在信息传递过程中，妨碍人们进行有效沟通的各种因素。 A.噪声 B.信息接收者 C.沟通渠道 D.信息发送者 3.下列情况下，适合使用单向沟通的是（）。 A.时间比较充裕，但问题比较复杂 B.下属对解决方案不易接受 C.时间非常紧迫，上级对突发事件经验丰富 D.下属能对解决问题提供有价值的信息和建议 4.下列说法不．正确的是（）。 A.双向沟通比单向沟通需要更少的时间 B.双向沟通有更好的沟通效果 C.双向沟通的噪音比单向沟通要大 D.有了反馈的沟通是双向式沟通 5.（）的优点是持久有形、能够核实、更加缜密、促进政策和程序保持一致等。 A.书面语言沟通 B.口头语言沟通 C.非语言沟通 D.双向沟通 6.据资料表明，语言表达作为管理沟通的有效手段，可分为三种类型：体态语言、口头语言、书面语言。它们所占的比例分别为：50%、43%、7%。根据这一资料，你认为下述哪种观点正确？（）。 A.这份资料有谬误，因为文件存档时，最常用的是书面语言 B.体态语言太原始，大可不必重视它 C.人与人之间的沟通，还是口头语言好，体态语言太费解 D. 在管理沟通中，体态语言起着十分重要的作用 7.正式沟通中，最集权化的沟通网络模式是（）。 A.Y式 B.轮式 C.链式 D.环式 8. 正式沟通中，最分权化的沟通网络模式是（）。 A.全通道式 B.轮式 C.链式 D.环式 9.（）是一个纵向沟通网络，其中居于两端的人只能与内侧的一个成员联系，居中的人则可分别与两人沟通信息，信息在该网络中只能自上而下或自下而上进行逐级传递。 A.Y式 B.轮式 C.链式 D.环式 10.张先生是一家企业的经理，创业初期，公司里只有12个员工，每个人都由张先生直接管理。随着规模的扩大，张先生聘请了一位副经理，由他处理公司的具体管理事物，自己专心于企业的战略经营，有什么事情都有副经理向其汇报。则公司的沟通网络（）。 1 §3.7 整环和域 3.7.1 定义 零因子 R 是环，a , b ∈R 。 (1) 如果a ≠0, b ≠0且ab = 0，则称a 是b 的左零因子，b 是a 的右零因子。 (2) 如果a 是某个元素的左零因子，即a ≠0且存在b ≠0，使得ab = 0，则称a 是一个左零因子。 (3) 如果b 是某个元素的右零因子，即b ≠0且存在a ≠0，使得ab = 0，则称b 是一个右零因子。 如果a 不是左零因子，则任给b ∈R ，都能从ab = 0得到b = 0。同样，如果a 不是右零因子，则任给b ∈R ，都能从ba = 0得到 b = 0。 左零因子和右零因子都称为零因子。由定义3.7.1可知，如果R 有左零因子，则R 一定有右零因子，同样，如果R 有右零因子，则R 一定有左零因子。所以只说R 有没有零因子就行了。 3.7.2 例 Z 没有零因子，但M 2(Z )有零因子，取A =1000↘→ ← ，B =0001↘→ ← ，则A ≠0, B ≠0且AB = 0。一般的，如果R 不是零环，则R 的n(n ≥2)阶矩阵环M n (R )有零因子。 3.7.3 例 在环 第十二章沟通 一、填充题 1. 沟通是指可理解的_________或__________在两个人或两人以上的人类中传递或交换的过程。 2.按照功能划分，沟通可以分成________和___________。 3.按照方法，沟通可以分为：____________，______________，_____________，_____________，______________。 4.按照组织系统，沟通可分为____________和_______________。 5.沟通过程中存在许多干扰和扭曲信息传递的因素，通常将这些因素称为__________。 6.按照方向，沟通可分为__________，__________，___________-。 7.按照是否进行反馈，沟通可以分为______________和____________。 8.非正式沟通的主要功能是________________，体现的是职工的________和________，与企业正式的要求无关。 9.所谓沟通网络，是指组织中沟通渠道的_______和_________。 10.一种网络不同于另一种网络的基本特征在于：__________，________以及__________。 11. 选择哪一种网络取决于_____________和________________。 12.影响有效沟通的个人因素包括_____________和______________。 13.信息来源的可靠性由四个因素决定：___________，__________，_________和_________。 14.人际因素主要包括沟通双方的___________、信息来源的__________和发送者与接受者之间的_____________。 15.需要沟通效果的结构因素主要包括___________，____________，____________和______________。 16.影响沟通效果的技术因素主要包括___________，__________，___________和_________。 17.冲突是指由于某种差异引起的___________，___________和___________的对立状态。 18.谈判的两种基本方法是___________和___________。 二、选择题 1.下列情况下，适合使用单向沟通的是（）。 A.时间比较充裕，但问题比较棘手 B.下属对解决方案的接受程度至关重要 C.上级缺乏处理负反馈的能力，容易感情用事 D.下属能对解决问题提供有价值的信息和建议 2.下列说法不正确的是（）。 A.双向沟通比单向沟通需要更多的时间。 B.接受者比较满意单向沟通，发送者比较满意双向沟通。 C.双向沟通的噪音比单向沟通要大得多 D.在双向沟通中，接受者和发送者都比较相信自己对信息的理解。 3.下列关于非正式沟通的说法正确的是（）。 A.非正式沟通传播的是小道消息，准确率较低 B.非正式沟通经常将信息传递给本不需要它们的人 C.非正式沟通信息交流速度较快 D.非正式沟通可以满足职工的需要 【优化方案】2017高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展 第25讲模拟精选演练提升 [学生用书P188] (2016·安阳段考)2014年11月26日上午，中国3艘海警船进入钓鱼岛12海里巡航。读钓 鱼岛三维效果图和航空遥感影像图，回答1～2题。 1．钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要利用的地理信息技术是( ) B．GIS和GPS A．RS和GIS D．数字地球 C．GPS和GIS 2．如果利用航空遥感技术对不同时期的钓鱼岛进行监测，通过分析多幅钓鱼岛图片，可以获 得( ) ①钓鱼岛面积的变化 ②钓鱼岛上植被的变化 ③钓鱼岛的地理坐标 ④钓鱼岛地形的变化 B．②③④ A．①②③ D．①②④ C．①③④ 解析：第1题，钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要是利用了RS和GIS技术。第2题，钓鱼 岛地理坐标的获得应用GPS技术，排除③。 答案：1.A 2.D 下图为卫星拍摄的冰山照片。图片中显示R冰山(69°24′S,100°12′E)已经从南极大陆边缘厚冰层中解体出来。目前，R冰山正在向该地区的东部海域缓缓移动。据此并读图完成3～ 4 题。 3．监测R冰山移动方向和速度最好采用( ) B．地理信息系统 A．飞机跟踪 D．全球定位系统 C．遥感技术4．对冰山产生的原因进行分析、对移动的方向进行预测主要是应用( ) A．GIS B．GPS D．电子地图 C．RS 解析：第3题，冰山与周围海水相比，温度和性质差异大，利用遥感技术所获得的影像可以迅速获知冰山的移动方向和速度，所以适合采用遥感技术进行跟踪研究。第4题，对地理信 息进行分析、评估和预测主要应用的是地理信息系统(GIS)。 答案：3.C 4.A (2016·江苏盐城调研)下图为某区域的地理信息空间数据图，每个小方格表示实际长宽各100米，图中r表示河流，t表示林地，h表示住宅，f表示水田。方格中数字2表示相同的 海拔。读图，完成5～6题。 代数,环及其表示 A．法齐尼，K．富勒等编 Alberto Facchini,Universita di padova,Italy Kent Fuller,University of Iowa,USA Claus M Ringel,Universit?t Bielefeld,Germany Catarina Santa?Clara,Universidade de Lisboa,Portugal(Eds.) Algebras, Rings and Their Representations Proceedings of The International Conference on Algebras,Modules and Rings 2006,371pp. Hardback USD:98.00 ISBN 9789812565983 本书是为纪念葡萄牙著名数学家A.A.Costa(1903~1978)诞辰100周年而举办的国际会议论文集。本次会议于2003年7月14~18日在葡萄牙里斯本举行。主题关于代数、模及环。与会者共151人，来自33个国家和地区(多数来自欧洲 及北美)。会议期间有9个邀请报告，9个大会报告及85个一般性报告，它们涉及环论、模论、代数表示论及其它有关论题，特别是非交换代数几何。 本书卷首是一篇关于A.A.Costa教授生平和成就的专文。正文共收由大会报告中选取的22篇论文，其中一些出自当代权威学者之手。部分论文作者和题目如下：①https://www.wendangku.net/doc/5b400577.html,m:隅角环论：Peirer分解的一般化(I)；②B.L.Osofsky:拟行列式及可除环上多项式的右根；③L.S.Levy等：交换Noether环的表示型；④A.Facchini等：无穷投射生成元和；⑤P.F.Smith:与挠率理论有关的内射维数；⑥Alina Alb:拓扑模的余反射范畴；⑦I.Mori:非交换射影概型及点概型；⑧A.Rotakh:共形代数的结构和表示；⑨M.Ursul:可数紧环上的结构定理。 本书中一些论文较全面综述了有关研究的最新进展，包括若干新的研究问题，对于有关专业科研人员、研究生是一本有价值的参考文献。 朱尧辰，研究员 (中国科学院应用数学研究所) Zhu Yaochen, Professor (Institute of Applied Mathematics,the Chinese Academy of Sciences) 第三章环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 +=+=。 00 a a a （2）加群G的元素a的逆元用a-表示，叫做a的负元。即有 ()0 a a a a -+=+-=。 利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- @。 （3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? L个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c ab ac b c a ba ca +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 第十二章环与域 主要内容 1．代数系统 为了今后叙述上的方便,将环中加法的单位元记作0,乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用 x-y表示x+(-y),nx表示,即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负 元。 定理12.1设 第三章环与域 本章主要讨论两种代数系统，在高代中看到了，全体整数作一个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作一个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。 §3.1 加群、环的意义 ●课时安排约1课时 ●教学内容本书P80-84 定义：一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。 在群中有零元、负元 定义：一个集R叫做一个环，假如： 1、R是一个加群；‘ 2、R对乘法运算封闭 3、适合结合律 4、两个分配律成立 ●教学重点加群和环的定义 ●教学难点环的运算性质的证明 ●教学要求了解加群和环的关系 ●布置作业P84 2 ●精选习题P84 1 §3.2 交换律、单位元、零因子、整环 ●课时安排约1课时 ●教学内容本书P84-P89 定义：一个环R叫做一个交环环，假如ab=ba 不管a1b是R的哪两个元 定义：一个环R的一个元e叫做一个单位元。假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a 例1：书上P85 定义：一个有单位元环的一个元b叫做a的一个逆元。假如： ba=ab=1 例2：P86 定义：若是在一个环里a≠0，b≠0，但ab=0 则a是环的一个左零因子，b是一个右零因子。 例3：P88 定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立。 a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c 反之也成立 推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。 定义：一个环R叫做一个整环，假如： 1、乘法适合交换律：ab=ba； 2、R有单位元1：|a=a|=a 3、R没有零因子：ab=0=>a=0或b=0 ●教学重点交换环、整环、单位元、零因子 ●教学难点剩余类环和定理的证明 ●教学要求掌握以上内容 ●布置作业P89 1，2，5 ●精选习题P89 3，4 §3.3 除环、域 ●课时安排约1课时 ●教学内容P89-93 例1：P90 例2：P90 定义：一个环R叫做一个除环，假如： 1、R至少包含一个不等于零的元； 2、R有一个单位元； 3、R的每一个不等于零的元有一个逆元。 定义：一个交换除环叫做一个域。 例3：P92 为了上述内容的关系看得更清楚，注意如下列表 环 交换环有单位元环无零因子环 整环除环 域 ●教学重点除环和域 ●教学难点它们之间的关系 ●教学要求正确理解上述表 ●布置作业P93 1，2，4 ●精选习题P93 3，5 §3.4 无零因子环的特征 ●课时安排约1课时 ●教学内容P93-97 例1：P94近世代数第四章 环与域题解讲解
第三章 环与域
第12章信息沟通
第三章 环与域
高等代数环的定义与性质
管理学复习-第十二章沟通联络.
第十二章++沟通
整环和域
第十二章沟通
高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展第25讲模拟精选演练提升新人教版
代数,环及其表示
第三章 环与域(仅供借鉴)
离散数学结构 第12章 环与域
近世代数基础 第三章 环与域