2019高考总复习-概率统计大题

2019年春季学期数学高三专属讲义

课题:概率统计大题专练

学生姓名:

授课教师: 胡

授课时间:2019年月日

1.【2019江西九校高三联考理数18】(本小题满分12分）某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试

反馈点数t

1

2 3

4 5 （1t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程a bt y +=，并预测若返回6个点时该商品每天销量；

（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： （）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）； （ii ）将对返点点数的心理预期值在)3,1[和]13,11[的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.

参考公式及数据：①2

1

21

?t

n t y

t n y

t b

n i i n

i i

i --=∑∑==，t b y a ??-=；②5

i i

i=1

t y =18.8∑. 解：（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.04

55t y ++++++++=

===，

5

2

222221

1234555i

i t

==++++=∑ ，

，

则y 关于t 的线性回归方程为0.320.08y t =+，当6t =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ..........................6分

（2）（i ）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值x ，及中位数的估计值分别为：

20.140.360.380.15100.1120.056x =?+?+?+?+?+?=，

中位数的估计值为10020602

525 5.7603

--+?

=+≈. ...........8分

（ii ）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为430

20

6=?，“欲望膨胀型”消费者人数为230

106=?.

51)1(362214===C C C X P ,53)2(361224===C C C X P ,5

1

)3(3

60234===C C C X P

X 26

3)(=?

=X E ........12分

2.【2019福州高三质检理数19】（12分）

最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入

1

3

的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入

1

3

的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户

进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[

)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：

乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：

（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记表示事件“甲小区租户的月收入低于6

千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率； （2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；

（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22?列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.

附：临界值表

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

解：（1）记A 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B 表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，

甲小区租户的月收入低于6千元的频率为()0.060+0.1603=0.66?，

故()P A 的估计值为0.66； ············································································· 1分

乙小区租户的月收入不低于6千元频率为

24+9+2

=0.35100

， 故()P B 的估计值为0.35； ·············································································· 2分 因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，

事件M 的概率的估计值为()()()=P M P A P B =0.660.35=0.231?． ····················· 4分 （2）设甲小区所抽取的 100户的月收入的中位数为t ，

则()0.0603+t 30.160=0.5?-?， ···································································· 6分 解得=5t ． ···································································································· 7分 （3）设0:H 幸福指数高低与租住的小区无关，

··················································································································· 9分 根据22?列联表中的数据，

得到2

K 的观测值2

200(66623834)15.70510.82810496100100

k ?-?=≈>???， ······················· 11分

所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关. ····· ················································································································· 12分

3.【2019抚顺市高考模拟理数18】（本小题满分12分）

“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．

若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．

（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；

（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800012000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；

（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22?列联表，并据此判断能否有95％的把握认为“认定类别”与“

附：2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，

解：

（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，女14人……2分，

400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000步的人数约为：

26

40026040

?

=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在800012000的人数：男8人，女4人，

再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人 ……6分

所求概率132231363636493742C C C C C C P C ++==（或464

937

142

C P C =-=） ……8分 （Ⅲ）

完成22?列联表……9分，计算2

40(124816) 1.90520202812

K ?-?=≈???，……11分

因为 1.905<3.841，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关 ……12分

4.【合肥市2019届高三第二次质检理数19】(本小题满分12分)

某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：

方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修

2次，超过2次每次收取维修费2000元；

方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.

某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为

以这502台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.

(Ⅰ)求X 的分布列；

(Ⅱ)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

解：(Ⅰ) X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.

()11101010100P X ==?=

，()1111210525P X ==??=，()11213

225551025P X ==?+??=， ()13121132210105550P X ==??+??=

，()22317

425510525P X ==?+??=， ()2365251025P X ==??=

，()339

61010100

P X ==?=， ∴X 的分布列为

分

(Ⅱ) 选择延保方案一，所需费用Y 元的分布列为：

17000900011000130001500010720100502525100EY =

?+?+?+?+?=(元). 选择延保方案二，所需费用Y 元的分布列为：

2671000011000120001042010025100

EY =

?+?+?=(元). ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算. …………………………12分

5.【昆明市2019届高三质检理数】（12分）

某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为(0.70.9)p p ≤≤.

（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及()E X ； （2）将（1）中的()E X 取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；

②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？

解：（1）依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3．则

(0)P X ==20.2(1)p -；

21

22(1)0.8(1)0.2(1)0.8(1)0.4(1)P X p C p p p p p ==?-+???-=-+-，

即2(1)0.4 1.20.8P X p p ==-+，

21222(2)0.20.8(1)0.2 1.6(1) 1.4 1.6P X p C p p p p p p p ==+???-=+-=-+，

2(3)0.8P X p ==；

X 的分布列为：

…………………………………………4分

()1E X =?2(0.4 1.20.8)p p -+22( 1.4 1.6)p p +?-+230.8p +?2p =+0.8．

………………6分

（2）当0.9p =时，()E X 取得最大值．

①一棵B 树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96+??=. …………8分 ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，()M n 为n 棵树苗的利润， 则(,0.96)Y

B n ，()0.96E Y n =，()30050()M n Y n Y =--35050Y n =-，

(())350()50286E M n E Y n n =-=，要使(())200000E M n ≥，则有699.3n ≥．

所以该农户至少种植

700棵树苗，就可获利不低于20万元． ………………12分

6.【湖南湖北八市十二校2019届高三联考理数19】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：

根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图． (1)根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+

x y c d =?与 (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付

的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；

(2)根据(1)的判断结果及表l 中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为

16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为1

2

．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用． 参考数据：

其中∑===7

1

71,lg i i i i y υυυ.

附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，),(n n y x ，其回归方程a x b y

???+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为2

1

21

?x

n x y

x n y

x b

n i i n

i i

i --=∑∑==，x b y a

??-=. 解：（1）根据散点图判断，x

y c d =?适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；………………………………………………………………2分 （2）

x y c d =?，两边同时取常用对数得：11()x gy g c d =?11gc gd x =+?；

设1,gy v =11v gc gd x ∴=+?………………………………………………………………3分

4, 1.54,

x v ==7

2

1

140i

i x

==∑，

7

17

2

21

7lg 7i i i i i x v xv

d x x

==-∴=

=

-∑∑2

50.1274 1.547

0.251407428

-??==-?，……………………………4分 把样本中心点(4,1.54)代入11v gc gd x =+?,得: lg 0.54c =，

0.540.25v x ∴=+，lg 0.540.25y x ∴=+， …………………………………………5分

y ∴关于x 的回归方程式：0.540.250.540.250.251010(10) 3.4710x x x y +==?=?；

把8x =代入上式， 2

3.4710347y =?=；

活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470； …………………………………………7分 （3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ，

则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4；………………………………………………………8分

(2)0.1P Z ==； 1

( 1.8)0.30.152

P Z ==?=；

( 1.6)P Z == 10.60.30.73+?=；1

( 1.4)0.30.056

P Z ==?= ……………………10分

分布列为：

所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：

20.1 1.80.15 1.6?+?+0.7 1.40.05 1.66?+?=（元）………………………………12分

7.【南昌市四校高三联考理数18】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”. （1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，从社会上任取3人，记 表示随机抽取3人中被系统评为“积极型”的人数，求 和 的数学期望. （2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中

男性中被系统评定为“积极型”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极型”的人数为 ；其中女性中被系统评定为“积极型”和“懈怠型”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极型”的人数为 ；求 的概率. 解：（1）被系统评为“积极性”的概率为

. 故

， 的数学期望

；

（2）“ ”包含“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，

，

，

30

1

)0,3(240

23634=

?===C C C C y x P ， 5

2)1,2(241

212361224=?===C C C C C C y x P ，

，

，

所以

.

8.【上饶市重点中学2019届高三六校联考理数19】(12分）

某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间

(]30,150内，其频率分布直方图如图．

（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；

（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？

（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设X 表示得分在(]110,130中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在(]110,130给予500元奖励，若该生分数在(]130,150给予800元奖励，用Y 表示学校发的奖金数额，求Y 的分布列和数学期望。

解：（1）由题意知[30,90]的频率为：

20(0.00250.00750.0075)0.35?++=，

[110,150]的频率为：20(0.00500.0125)0.35?+=所以分数在[90,110]的频率为：

10.350.350.3--=………………………1分

从而分数在[90,110]的

0.3

==0.01520

频率组距，………………………2分 假设该最低分数线为x 由题意得0.35(90)0.0150.5x +-?=解得100x =．故本次考试复

赛资格最低分数线应划为100分。………………………4分

（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，………………………5分

在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，

分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．……………8分

（3）X 的可能取值为2，3，4，则：

223140

525252444

777241

(2);(3);(4)777

C C C C C C P X P X P X C C C ========= ………………9分 从而Y 的分布列为

24116400

()2600230020007777

E Y ∴=?+?+?=(元)．………………………12分