第三章复变函数的积分(答案)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
系 专业 班 姓名 学号
§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分
一．选择题
1．设C 为从原点沿2y x =至1i +的弧段，则2()C
x iy dz +=?
[ ]
（A ）15
66
i - （B ）156
6
i -+ （C ）156
6
i -- （D ）156
6
i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C
zdz =?
[ ]
（A ）4
π （B ）4
i π （C ）(1)4
i π
+ （D ）1i +
3．设C 是从0到12
i π
+的直线段，则
z C
ze dz =?
[ ]
（A ）12
e π- （B ）12
e π-- （C ）12
ei π+ （D ）12
ei π
-
4．设()f z 在复平面处处解析且()2i
i f z dz i πππ-=?，则积分()i
i f z dz ππ--=? [ ]
（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题
1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则
2C
zdz =?
2 。
2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则
22
32
(4)
C
z z dz z -+=-?
10.i π 三．解答题
1．计算下列积分。 （1）
323262121
()02
i
z
i
i
z i i i e
dz
e
e e ππππππ---==-=?
（2）
22222sin 1cos2sin 222
4sin 2.244i
i
i
i
i i zdz
z z z dz i e e e e i i i i ππ
ππππππππππππ------??==- ?????
--=-=-=+
??
?
??
（3）
1
1
0sin (sin cos )sin1cos1.
z zdz
z z z =-=-?
（4）
20
222
cos sin 1sin sin().2
22
i
i
z z dz
z i ππππ=
=?=-?
2．计算积分||
C
z
dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1）
220
0||2
2,022224.
2
i i i z C z e e ie d id i θθ
ππθθπ
θθπ-==≤≤?==?
?积分曲线的方程为
则原积分I=
（2）
220
0||4
4,024448.
4
i i i z C z e e ie d id i θθππθ
θπ
θθπ-==≤≤?==?
?积分曲线的方程为
则原积分I=
3．分别沿y x =与2
y x =算出积分10()i
i z dz +-?的值。
解：(1)沿y=x 的积分曲线方程为
(1),
01z i t t =+≤≤
则原积分
1
01
1
20
[(1)](1)(12)[(1)]2
I i i t i dt
i t dt i t t i =--+=--=--=-??
（2）沿2y x =的积分曲线方程为
2,
01z t it t =+≤≤
则原积分
1
20
1
1
3224300
[()](12)3112
[32(1)][()]2.2233I i t it it dt
t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+??
4．计算下列积分
(1) 2()C x y ix dz -+?,C:从0到1i +的直线段；
C 的方程：
(1),
01z i t t =+≤≤
(),01()x t t
t y t t
=?≤≤?
=?或
则原积分
1
2012
0[](1)1
(1).
3
I t t it i dt
i i t dt =-++-=-=??
(2) 2()C z zz dz +?，C ：||1z =上沿正向从1到1-。
C 的方程：
,
0i z e θθπ=≤≤
则原积分
20
330
(1)8
().
33i i i i i i I e ie d e i e e d e π
θθπ
θ
π
θ
θθθ
θ=+??=+=+=- ?????
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广－复合闭路定理 一、选择题
1． 设()
f z 在单连通区域B 内解析，C 为B 内任一闭路，则必有
[ ]
（A ）Im[()]0C f z dz =? （B ）Re[()]0C f z dz =? （C ）|()|0C f z dz =? （D ）Re ()0C f z dz =?
2．设C
为正向圆周
1||2
z =
，则
32
1
cos
2(1)C
z z dz z -=-?
[ ]
（A ）2(3cos1sin1)i π- （B ）0 （C ）6cos1i π （D ）2sin1i π- 3．设()f z 在单连通域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲
线
，
则
积
分
()2()()
()
C
f z f z f z dz f z '''++=?
[ ]
（A ）2i π （B ） 2i π- （C ） 0 （D ）不能确定 二、填空题
1．设C 为正向圆周||3z =，则||
C
z z
dz z +=?6.i π 2．闭曲线:||1C z =取正方向，则积分12
2(2)(3)z C e
dz z z -=+-?
0 。 三、解答题
利用柯西积分公式求复积分
（1）判断被积函数具有几个奇点； （2）找出奇点中含在积分曲线内部的，
若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零； 若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式； 若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式. 1．计算下列积分 （1）22
1
,:||(0);C
dz C z a a a z a
-=>-? .()22
1
11121111
=20.22C
C C C dz dz z a
a z a z a i dz dz i a z a z a a a ππ??
=-
?--+??
??=
--= ?-+??
????解：
22
22
1
11
2.
C z a
C z a z a i
dz i z a z a
a
ππ==-=?=
-+?解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，
故由柯西积分公式可得
（2）．2,:||2;1
C
z
dz C z z =-? 211
11=+=22)2.12
1+12C C z dz dz i i i z z z πππ??+= ?--??
??解：
（ 解法二：2
11
z
C z z =±-被积函数
在内部具有两个奇点， 分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C 1、 C 2， 且C 1和 C 2含于C 内部。由复合闭路定理，
1222211
11122112C C C z z z
z z dz dz dz z z z z z
i i
z z i i i
πππππ==-=
+---=++-=+=???
（3）
2||5||531232
12226.31z z z dz
z z dz i i i z z πππ==---??=+=?+= ?-+??
??
同上题中的解法二，
122||513
31
31
31
23(3)(1)(3)(1)3131
2224631z C C z z z z z dz dz dz
z z z z z z z z i
i i i i
z z πππππ==-=---=+---+-+--=+=+=-+???
（4）2
cos 4
-?C
z dz z ，其中22
:4C x y x +=正向 2cos cos /(2)cos2
2cos2/(22).422
C C z
z z i dz dz i z z ππ+=
=+=--??
2．计算积分2
(1)
C
dz
z z +?，其中C 为下列曲线： 212111111
1
(1)222C C C C C dz
I dz dz dz dz z z z z i z i z z i z i ??
=
=
--=--
?++-+-??
?????
（1）1:||2
C z =;
2002.I i i ππ=--=
解法二：20
1
221z I i
i z ππ===+
（2）3:||2
C z i -=;
1
202.2
I i i i πππ=--?=
解法二：2011
2221()z z i
I i
i i i i z z z i πππππ===+=-=++
（3）1:||2
C z i +=;
1
020.2
I i i ππ=-?-=-
解法二：1
2()z i
I i
i z z i ππ=-==--
（4）3
:||2
C z =。
11
2220.22
I i i i πππ=-?-?=
解法二：
20111
222201()()z z i z i
I i
i i i i i z z z i z z i ππππππ==-==++=--=+-+
3．计算Ln C zdz ?，其中
（1）Ln ln ||arg ,:||1z z i z C z =+=;
C 的方程：
,
i z e θπθπ=-≤≤
Ln (1)2.i i C
zdz i ie d i e
i π
πθ
θπ
π
θθθπ--=?=-=-?
?
（2）Ln ln ||arg 2,:||z z i z i C z R π=++=.
C 的方程：
,
i z Re θπθπ=-≤≤
Ln (ln arg 2)arg 2.i C
C
C
zdz R i z i dz i zdz i Rie d R i π
θπ
πθθπ-=++==?=-?
???
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
系 专业 班 姓名
学号
§5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数 一．选择题。
1．设C 是正向圆周2220x y x +-=，则2sin()
41
C z dz z π
=-? [ ]
（A
）
2i （B i
（C ）0 （D ）2
i - 2．设
C
为正向圆周
||2
z =，则
2cos (1)C z
dz z =-?
[ ]
（A ）sin1- （B ）sin1 （C ）2sin1i π- （D ）2sin1i π 3
．
设
||4()ξ
ξξ
ξe f z d z
==-?，其中
||4
z ≠，则
()f i π'=
[ ]
（A ）2i π- （B ）1- （C ）2i π （D ）1
4．设C 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则
2(1)(1)C z
dz z z -+?为
[ ]
（A ）2
i π （B ）2
i π
- （C ）0 （D ）
以上都有可能 二．填空题：
1．闭曲线:||3C z =取正方向，积分3
(2).(1)z
C
e dz e i z z π=--?
32011111()''()'22(1)(1)12!1!z z z z z z C z e e e dz i e ie z z z z ππ==??
????-+-=-+- ? ? ? ?---??????
? 2．设||2
sin()
2()f z d z
ξπ
ξξξ==-?，其中||2z ≠，则(1)f '= 0 ，(3)f '= 0 。
()2()=0'(3)0z z f z f >=对满足的所有的，，从而
三．解答题：
1．设()f z u iv =+是解析函数且222u v x y xy -=--，求()f z 。
22222.22x x y
y u v x y xy
x y u v x y
u v y x -=---=-??
-=--?分别对方程
两边关于和求偏导，可得
()..f z u v C R -由解析知，和满足方程，从而
2222y x x
y v v x y
v v y x -=-??
--=--? 22222222()(2)x y v y v xy C u x y C
v x f z x y C i xy C z C
=???=+?=-+?=??=-+++=+
2．计算2
(1)(1)C
z
dz z z -+?，C 分别为：
(1)1|1|2z -=； (2) 1|1|2
z +=； (3)
||2z =.
解：
222123
1111()(1)(1)2211(1)11
141412(1)C C C C C z
z dz dz z z z z z z z z dz dz dz
z z z I I I ??
=--
?-+-++??
=
?-?-?-++=++?????
（1）120042
z z i
I i ππ==?
--= （2）11022()'.4222
z z z z i i
I i i i πππππ=-=-=-?
-?=-=- （3）111222()'0.44222
z z z z z z i i I i i i i ππππππ==-=-=?
-?-?=+-=
3．3
()
z
C
e dz z a -?，其中a 为||1a ≠的任何复数，:||1C z =为正向 解：1||1a <（）当时，
3
()''=2;()2z z a
C z a
e e dz i ie z a ππ==-? 2||1a >（）当时， 3=0.()z
C e dz z a -?
4．计算下列积分的值，C 为由2,2x y =±=±(1) 2
()
2
z C
e dz i z π+
? 2
2
222
.2
=22.
()
2
z
z z i
C
i C e dz ie i
z π
π
π
πππ=--<-<-
=+
?
解：由知，
含于的内部从而原积分 (2)
30
cos (cos )''2.
2!C z z dz z z i i ππ===-?
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分
系 专业 班 姓名
学号
§7 解析函数与调和函数的关系 综合练习题 一、选择题 1
．
下
列
命
题
正
确
的
是
[ ]
（A ）设12,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有12v v =。 （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。 （C ）若()f z u iv =+在区域D 内解析，则
u
x
??为D 内的调和函数。 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。
2．函数()f z 在闭路C 上及其内部解析，0z 在C 的内部，则有 [ ]
（A ）022
00()1()()()C C f z dz f z dz z z z z '=--?? （B ）200()
()
()C C
f z f z dz dz z z z z '=--?? （C ）0200()()1()2!
C
C
f z f z dz dz z z z z =
--??
（D ）02
00
()
()
()C
C
f z f z dz dz z z z z =--??
二、填空题
1．若函数32(,)u x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数a = -3 。
2．设(,)u x y 的共轭调和函数为(,)v x y ，那么(,)v x y 的共轭调和函数为 -u 。
3．设C 为负向圆周，且||4z =，则5()12
z C e i
dz z i ππ=-?
三、解答题
1．由下列各已知调和函数求解析函数().f z u iv =+
（1）22
,(2)0y
v f x y
=
=+
()()()
()
()
22
22222222222
22
2
222
22
2
2
2
22
22222
2,C.-R.2()
'()'()0()()1(2)2x y x y y x x y y xy y x y v v x y x y x y x y xy
x
u u dy v dy dy g x x y x
y x y x y u g x v x
y
x
y
x y
g x g x C f z i C x y x y f ????--==== ? ?++????++==-==-+++--=
+==
++===-
++++=-???解：，由方程知，另一方面，，
从而，。因而，
222211
0().
22
x y C C f z i x y x y +=?=?=-++++
（2）arctan ,0y v x x
=>
2222
222arctan 11
arctan ,1x x y y y
y y x v x x y y x y x x v x x y y x -
??===- ?+????
+ ???
??=== ?+????
+ ???
解：，
2222
222222C.-R.1
ln()()2'()'()0()1()ln()arctan ln 2y x x y
y u u dy v dy dy x y g x x y x x
u g x v x y x y g x g x C y
f z x y i C z C
x
==-==+++=+==++===+++=+???
由方程知，
另一方面，，从而，。因而 解法二：
2222
22222222arctan 11
arctan ,11
'()1
()'()ln x x y y y x y y y x v x x y y x y x x v x x y y x x y z f z v iv i x y x y z z f z f z dz dz z C
z
-
??===- ?+????
+ ?????=== ?+????
+ ???=+=-==
++===+??，
2．求具有下列形式的所有调和函数u ：
(1)(),u f ax by a =+与b 为常数，且不全为零。 解：
22
22222222
2212()()'()'()['()]''();''()+=()''()0''()0()().
u f ax by ax by f ax by af ax by x x x u af ax by a f ax by x x u
b f ax by y
u u u a b f ax by x y
f ax by f ax by C ax by C ??+?+==+=+?????+==+???=+???++=???+=?+=++类似可得
，从而由调和，
（2）()y u f x
=
第三章 复变函数得积分(答案)
复变函数练习题第三章复变函数得积分 系专业班姓名学号 §1 复变函数积分得概念§4原函数与不定积分 一.选择题 1.设为从原点沿至得弧段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 2、设就是,从1到2得线段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 3.设就是从到得直线段,则[ ] (A) (B)(C)(D) 4.设在复平面处处解析且,则积分[ ] (A) (B) (C) (D)不能确定 二.填空题 1．设为沿原点到点得直线段,则 2 。 2．设为正向圆周,则 三.解答题 1.计算下列积分。 (1) (2) (3) (4) 2.计算积分得值,其中为正向圆周: (1) (2) 3.分别沿与算出积分得值。 解:(1)沿y=x得积分曲线方程为 则原积分 (2)沿得积分曲线方程为 则原积分
1 20 1 1 3224300 [()](12)3112 [32(1)][()]2.2233I i t it it dt t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+?? 4.计算下列积分 (1) ,C:从到得直线段; C 得方程: 则原积分 (2) ,C:上沿正向从1到。 C 得方程: 则原积分 复变函数练习题 第三章 复变函数得积分 系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理得推广－复合闭路定理 一、选择题 1． 设在单连通区域内解析,为内任一闭路,则必有 [ ] (A) (B) (C) (D ) 2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B ) (C) (D) 3.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分 [ ] (A) (B) (C ) (D)不能确定 二、填空题 1.设为正向圆周,则 2.闭曲线取正方向,则积分 0 。 三、解答题 利用柯西积分公式求复积分 (1)判断被积函数具有几个奇点; (2)找出奇点中含在积分曲线内部得, 若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零; 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式; 若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式、 1.计算下列积分 (1) 、
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?
(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：
复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案
习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示
2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z
第三章复变函数的积分(答案)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02i z i i z i i i e dz e e e ππππππ---= =-=?
（2） 2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππ ππππ------?? ==- ????? --=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分 ||C z dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1）
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ +
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学
复变函数与积分变换试题及答案
复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz
2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ） 1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ） i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321 +- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ <<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ） )]2 sin()2 [cos(sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-
（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-4 3 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ） i --4 3
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重 要知识点归纳 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数习题答案第3章习题详解.docx
第三章习题详解 1?沿下列路线计算积分J；' z2dz o 1）自原点至3 + i的直线段； 解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）1566 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22 32 (4)C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02 i z i i z i i i e dz e e e ππ ππππ---= =-=? 2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------??==- ?????--=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分||C z dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1） 220 0||2 2,022224. 2 i i i z C z e e ie d id i θθ ππθθπ θθπ-==≤≤?==? ?积分曲线的方程为 则原积分I= 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ） ； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ 一级 ）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ） ； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ） ，则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ） 2)2()1(3--z z ； （D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ） i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v 《复变函数与积分变换》期末复习题 2009-6-22 一、判断题 1. 若{z n }收敛，则{Rez n }与{Imz n }都收敛. ( T ) 2. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在. ( F ) 3. 若f (z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C dz z f . ( F ) 4．复数484z +=i 的模|z|＝8。 ( T ) 5．设100i)(1z +=，则Imz ＝0。 ( T ) 6．设z=i 2e +，则argz ＝1。 ( T ) 7．f （z ）的可导处为0。 ( T ) 8．设C 为正向圆周|z|=1，则?+c )dz z z 1 (=4πi 。 ( T ) 9．幂极数∑ ∞ =1 n n n z n n!的收敛半径为e 。 ( T ) 10．函数f(z)=]1)(z 1 1z 1[1z 15 +++++ 在点z=0处的留数为6。 ( T ) 11.cos z 与sin z 在复平面内有界。 ( F ) 12.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。( T ) 13.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。 （ T ） 14.若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。 （ F ） 15.若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。 （ F ） 16.若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0 是函数的可去奇点。 （ F ） 17.若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。 （ T ） 18.如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。 （ F ） 19.非周期函数的频谱函数呈连续状态。 （ T ） 20.位移性质表明，一个函数乘以指数e at 后的拉氏变换等于其像函数作位移a 。（ T ）第三章复变函数的积分(答案)
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]
《复变函数与积分变换》