谈谈我对数形结合思想的认识
谈谈我对数形结合思想的认识
通过学习我对初中数学思想的认识有了很大的提高，数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。下面我就数形结合的思想谈一点自己的认识。
“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现，他们是对立和联系的统一体。把数与形结合起来进行分析研究，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。
一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量
关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化，复杂的问题简单化。
例如：我在给学生讲有理数的加法法则的时候，首先给同学们展示了六个问题：设向东为正，向西为负。（1）若小明在东西走向的马路上活动，先向东走5千米，在向东走3千米，你可以表示小明的位置吗？（2）若小明在东西走向的马路上活动，先向西走5千米，在向西走3千米，你可以表示小明的位置吗？（3）若小明在东西走向的马路上活动，先向东走5千米，在向西走3千米，你可以表示小明的位置吗？（4）若小明在东西走向的马路上活动，先向东走3千米，在向东走5千米，你可以表示小明的位置吗？（5）若小明在东西走向的马路上活动，先向东走5千米，在向西走5千米，你可以表示小明的位置吗？（6）若小明在东西走向的马路上活动，先向东走5千米，在向东走0千米，你可以表示小明的位置吗？学生在探究的时候就可以通过建模思想利用数轴看出来每个问题最后的结果，从而总结出加法的法则。
二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；
将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如：如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，只以“形”不容易建立正确的表象。而如果结合数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。又如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等），对长方形的认识才是深刻的。再就是对几何图形性质的判断，仅通过“形”很难做出判断，有时需要结合计算才能获得正确结论。
总之数形结合的思想是一种重要的数学思想，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性和灵活性的有机结合。运用数形结合的思想解决数学题的关键是找准数与形的契合，与形巧妙的结合起来，根据不同的问题相互转化，使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化；利用数形结合的思想解决有关的问题不仅可以增强解决问题的灵活性，还可以提高分析问题和解决问题的效率，从而在解题中可以产生事半功倍的效果；同时也利于学生理解和接受。
关于数形结合思想的教学方式浅谈
关于数形结合思想的教学方式浅谈 资料来源：大学生教育资源 我有幸参加了由省教科所组织的四川省教育教学共同体举办的关于“小学生数形结合能力的研究”论坛，全省30个共同体研究单位进行了三年级和六年级数形结合能力调查与分析，共同体学校对此项工作非常重视，都给出了分析报告。论坛中来自7所学校的一线教师带来了七堂精彩的数形结合课，有以形来揭示数的《路程速度时间》、《相遇问题》、《合理安排提高效率》、《比赛场次》，有以数来表示形的《点阵中的规律》、《组合图形》、《方向与位置》等，七节课为此次论坛数形结合能力研究提供了很多研究素材，特别是经过小组讨论、专家点评、专家讲座后，给我的教学方法提供了启发。 通过本次论坛，通过与专家面对面的评课、议课结合自己的教学实际和本次对三、六年级的数形能力的调查与分析，主要对以下问题提出了质疑： ●数形结合中“数”与“形”谁先谁后? ●教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想? ●通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力? ●如何在教学中很好地通过数抽象出图形，看图提问题、解决问题? ●数学课堂中能否建立一种数一形一数或形一数一形的数
学教学模式? ●在高段教学中，数形怎样结合才能促进学生主动发展? 在这次论坛中，通过专家对课例的点评和对数形结合的理解，结合课例对一线教师提出的质疑作出了解答，使一线教师对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，达到了参与这次论坛的目的。 一、数形结合是一种数学思考方法 数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。 1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。 2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，
数形结合思想方法
八、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0 论孔子儒家思想在当代社会的现实意义 来源：中国论文下载中心 [ 09-09-14 08:07:00 ] 作者：程嘉宏编辑：studa090420 论文关键词:孔子；儒家思想；当代社会 论文摘要:随着科学技术和现代工业的发展，人们在变得更加理性的同时，也更加物欲化。迫切需要一种理论指引我们重新步入正常的发展轨道。孔子作为儒学的创始人，是人道的启蒙者。他的儒家思想至今还具有现实意义，我们应进一步发扬光大。 孔子是儒学的创始人。是人道的启蒙者。他的思想博大精深。既有崇高的价值理想，又有切实的百姓日用，是中国古代思想的结晶。孔子的思想，一言以蔽之，是以治平为本，以仁为核，以和为贵。他的思想是中华民族精神的源头活水，礼乐文化的重要根据，价值观念的是非标准。伦理道德的规范所据，构成了中华文化的基本精神价值。 早在公元一世纪，孔子儒家思想就传入东亚地区。先后在日本、朝鲜、越南等国产生广泛的影响。到十七、十八世纪后，孔子及儒家思想又影响到欧洲，在十八世纪曾掀起一股“孔子热”，当时人们就尊称法国的启蒙思想家伏尔泰为欧洲的孔夫子。 2l世纪的今天，人类在经过了三次工业革命的大变革和二次世界大战血的 洗礼以后在思想上已经进入一个迷茫时期。在人类所面临的众多挑战中。最大的挑战是来自于人类自身的道德水准，西方学者因此提出了“全球精神危论”。 随着科学技术和现代工业的发展，给人类社会带来了前所未有的经济繁荣和高度的物质文明，也改变了人们的生活方式和思维方式，使其价值取向更趋于复杂和多元。人在变得更加理性的同时，也更加物欲化，在一定程度上出现了人文精神的弱化和道德的下滑。这样就迫切需要一种理论指引我们重新步人正常的发展轨道。 儒家讲究天人合一，君子以自强不息，应该说对当今世界的和平发展、和谐社会的构建等具有重要的现实意义。诺贝尔物理学获奖者汉内斯·阿尔文博士就说过：“人类如果要在2l世纪生存下去，必须回到2540年前去吸取孔子的智慧！”那么，孔子的儒家思想在当代社会的现实意义究竟体现在哪几方面呢？下文将详细阐述。 一、孔子儒家思想在当代社会的突出价值 （一）自强不息 孔子的一生是奋斗的一生，年轻时，他好学上进，不断进德修业。他的政治思想形成后，便为实现自己的主张孜孜以求。孔子向往三代圣王之治，希望王道大行，实现仁政德治。孔子有自己的独立人格，他对社会历史与现实有清醒而深刻的认识，可他依然为实现自己的政治理想不懈奋斗。他希望教化社会人心，讲究仁爱，遵守秩序，并为之四处奔走，到处碰壁亦信念不改，甚至“知其不可而为之”(《论语·宪问》)。孔子心目中有一片圣洁的天地，这就是要实现天下为公、讲信修睦、谋逆不兴、盗贼不作的大同社会。孔子晚年喜爱《周易》， 浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透 摘要:“数”与“形”之间密不可分,它们相互转化,相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想,可把抽象的数学概念直观化,帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化,帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化,在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 关键词：数形结合；小学数学;数学思想 美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和更利于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中,最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。 数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。 本文先解读“数形结合”思想,浅谈其历史性及重要意义,后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。 一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法 数学思想:符号思想，集合思想,对应思想，化归思想。 数学方法: （1)思维方法:分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 (2) 一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想 （３)数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 (4)数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号 在小学数学教学中渗透的数学思想和方法,是以数学方法为主,一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、 二、“数形结合”，由来已久?早在数学被抽象、分离为一门学科之前,人们在生活中度量长度、面积和体积时,就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特 课题：中职常见的三种数学思想方法 教学目标：1.理解数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想； 2.学会用数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想 等三种思想解答实际数学问题。 教学重点：帮助学生树立数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。 教学难点：数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想在实际数学问题中的应用。 教学方法：讲练结合及世界大学城空间网络教学 教学设计： Ⅰ.新课讲授 （一）专题一：数形结合思想 1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数 学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合． (2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数 形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数 的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规 范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 角度一：利用数形结合讨论方程的解或图像交点 [例1]函数f(x)＝x 1 2 － ? ? ? ? ?1 2 x 的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 方法规律：讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解. 强化训练：1．方程log3(x+2)=2x解的个数为 角度二：利用数形结合解不等式或求参数问题 [例2]使log2(－x) 包头师范学院 本科毕业论文 题目：小学数学教学中学生数形结合思想的培养学生姓名：刘广鑫 学号：0807840068 学院：教育科学学院 专业：小学教育 班级：08级小教2班 指导教师：王志东教授 二〇一二年五月 摘要 通过研究数形结合思想及其形成途径，从而深刻的理解数形结合的内容及其它的形成途径，在结合个案分析来深刻体会数形结合在小学教学中的应用，在实际的数学学习过程中，培养学生的直觉思维能力、发散思维能力和学生的创造思维能力，并使学生通过数形结合思想转变自己的学习观念，并养成良好的思维意识和树立辩证的唯物主义世界观。 关键词：思想方法；数形结合；渗透 Abstract By research number shaped combination thought and formed way,to deep of understanding number shaped combination of content and the other of formed way,in combination case analysis to deep experience number shaped combination in primary school teaching in the of application,in actual of mathematics learning process in the, training students of intuition thinking ability,and divergent thinking ability and students of created thinking ability,and makes students by number shaped combination thought change themselves of learning concept,and habit good of thinking consciousness and set dialectical of materialism world. Key word：Method of thinking number shape union penetration 数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形 如果说中国历史人物中有几个完人的话，那么孔夫子绝对算是其中最重要的一个，宋代的理学大家朱熹曾经这样评价孔子：“天不生仲尼，万古长如夜。”由此可见孔子和其所创立的儒家在我国的地位。 儒家是一个包罗万象的门派，其门人有着一整套完整的道德规范和行事准则。儒家的学术成就体现在思想、教育、哲学等多个方面。 孔子创制的儒家思想的核心主要是“仁、义、礼、智、信”这五个字。这些思想在论语中都有着充分的体现。对于”仁”，儒家给出的理解是：“巧言令色，鲜矣仁。”孔子认为仁并不是挂在口头上的东西。对于“义”，儒家有着这样的诠释：“君子喻于义，小人喻于利。”由此可见儒家学派把义看作是衡量君子的首要条件。 关于“礼”，儒家有着非同一般的重视。鲁国大夫的歌舞队和周天子的规模相当，孔子于是愤而说出了这样的话：“是可忍，孰不可忍也？”在孔子看来，鲁国大夫作出这样违反礼法是，是一件无论如何不能接受的事。我们中国被称为礼仪之邦，可能也就是孔子那时候的思想。 儒家除了贡献了无数中国古代的道德规范以外，还是一个重视教育的门派，儒家把教育的重要性拔高到了一个空前的高度。面对宰予昼寝，孔子说出了“朽木不可雕也，粪土之墙不可污也”。面对什么是君子的提问，孔子借机说出了自己心目中的君子的标准：君子不器。由此可以看出儒家的教育思想，“因材施教”的概念也是这时候可以体现出来。 儒家的创始人孔子除了是一位思想家、教育家以外，还是一位哲学家，现代中国的很多哲学思想都是来自于儒家。中国古代就有“孔曰成仁，孟曰取义”的说法，可见以孔子为代表的哲学思想的核心在于一个“仁”字。除了“仁”以外，儒家哲学思想的另一个点在于“礼”。同时孔子又把这两者进行了很好地贯通：“克己复礼为仁”。 无论在什么朝代，即使是外族入主中原的元代，孔子的后人都被封为“衍圣公”。这就充分可以看出历代统治者对儒家的尊重和重视。孔子的思想精华是华夏民族的思想精粹，我们要把这些精华一代代的传承下去。 浅谈小学数学数形结合思想 发表时间：2014-08-01T08:44:54.437Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2014年7月供稿作者：陈月英[导读] 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。陈月英/广西陆川县温泉镇泗里小学 〔摘要〕数与形是数学教学研究对象的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题,就是数形结合思想。 〔关键词〕小学数学数学方法运用 一、数形结合的思想方法 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 二、集合的思想方法 把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。 如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。 三、函数的思想方法 恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。 函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。 四、极限的思想方法 极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。 现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333……是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。 五、化归的思想方法 化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。 在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。 六、归纳的思想方法 在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。 七、符号化的思想方法 数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。 总之，小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，无疑有助于学生的终身学习和发展。 浅谈小学数形结合思想方法 摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。 关键词：小学数学；数形结合 1.数形结合思想方法的概念 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2 2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用 小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。 2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时： 教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。 除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。 2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用 1王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65. 2毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16. 数学思想方法专题：数形结合思想 【教学目标】 知识目标 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。 能力目标 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 情感目标 在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。 【教学重难点】 重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。 难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。 【考情分析】 在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。 【知识归纳】 数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方法解决问题。 应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数； (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式； (5)构建立体几何模型将代数问题几何化； (6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】 题型1：数形结合思想在集合中的应用 例1．设平面点集{ } 22 1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则B A ?所表示的平 面图形的面积为（ D ） A ． 34π B ． 35π C ． 47π D ． 2 π 根据你对中国儒家文化的认识,谈谈对“君子”、“大丈夫”的认识和体会。 中国是一个崇拜理想人格的国度。无论是反观以哲学、历史学为主干的中国传统理论型文化，还是考察以为礼仪伦常、风俗习惯为要素的中国传统大众性文化，都能发现理想人格无所不在。本文认为孔子的理想人格主要有两类，即“圣人”和“君子”，两者相互补充，共同构成了孔子的理想人格学说。孟子继承了将理想人格层次化的做法，其主要理想人格为“圣人”和“大丈夫”。他降低了孔子“圣人”理想人格的规格，消除了将理想人格抽象化的倾向，在此基础上正面提出了“大丈夫”人格理论，给人生提供了具体的操作规范。孔子的“君子”较多的表现出的是谨慎、谦让、厚道、温顺等人格特点。而孟子的“大丈夫”人格则是对孔子“君子”人格一个侧面的扩而充之和发扬光大，呈现出更多的是阳刚之气。“大丈夫”理想人格的培养需要通过居仁由义、存心养性、持志养气、反求诸己、推己及人等修养方法得以实现，“大丈夫”理想人格的精神特征则表现为人格独立并自任以天下之重。孟子的“大丈夫”人格理想对后世产生了深远的影响，即使在今天，也有其现实的价值和认识的意义。 孔子从自身的时代和阶级立场出发,提出培育“君子”人格的理想目标.这种“君子”人格主要的标准必须具备内心自觉自发的“仁”的道德境界,其次要遵循外在的“礼”的道德规范,还要有基本的道德情感“忠孝”意识,具备完美的“信义智勇”的道德情操.君子人格是时代需求的产物,也是儒家人生追求的终极目标.同时,孔子构建的这种君子人格,具备了仁、礼、忠、孝、信、义、智、勇等优秀的道德品行,在某种程度也是我们当今创建和谐社会所要求人民具备的,可以说造就君子人格对当今社会有着积极的作用,可以帮助我们解决当今社会的诸如诚信危机、拜金主义、树立荣辱观念等问题,孔子培养君子人格的途径是值得我们借鉴和学习的. 如果说孔子是儒家的开创者,那么孟子则是儒学的完成者.他继承和发展了孔子的“人道”学说,主张施行“仁政”,将儒家的道德哲学上升为政治哲学.孟子从天（自然）与人（人文）,民与君,个体与群体,内圣与外王,道义与功利,德力与天命,境遇与人格等诸多方面,进一步将儒学理论化和系统化.而孟子思想最是精化之处,即是他的“理想人格”. 孔子的理想人格是圣人,君子,而孟子的理想人格则称为“大丈夫”；正是孟子自身人格的写照.孟子认为,儒者做官,“得志”的时候,应该同老百姓站在一起,同他们共进退,所谓“达则兼济天下”；“不得志”,即不在其位时,也应该坚守道义,不能为了保住禄位而丧失自我,所谓“穷则独善其身”.他又从如何应对外在的“富贵”,“贫贱”,“威武”的三种境遇,勾画出大丈夫凛然伟岸的形象：不因富贵而乱了方寸,不因贫溅而改变志向,不可在威武之前屈服变节（富贵不能淫,贫贱不能移,威武不能屈）. 孟子认为,培养大丈夫人格不是向壁虚造,而是有人性心理结构的内在依据,这就是人性向“善”.他认为人皆有恻隐之心,羞恶之心,辞让之心,是非之心,分属于仁,义,礼,智.这是孟子人性心理结构的四根支柱,而这四根支柱就是培养大丈夫人格的根基. “大丈夫人格”是孟子的首创,可是如何培养大丈夫人格呢? 首先，要坚持人格的独立和尊严。不因官位,钱财而屈志,即使与权贵交往,也应持平视的态度.孟子到齐国,齐宣王说好了到馆舍拜访他,后来伪称有病,要孟子去朝见他.孟子断然拒绝,说自己也有病,不能上朝.他认为,儒者为国君筹划治国方略,乃王者之师.他说天下可尊者有三：地位,年龄,道德.齐王凭借地位,居然轻视长者和有德行的人,这不是国君应有的态度.孟子的这种自尊和独立人格,影响了后世知识分子特立独行的品格.其次，要培养大丈夫人格应善养“浩然之气”。使自己的精神境界获得升华；内心充盈自信,外在就会有一种大无畏的气概.他在回答学生公孙丑的提问时说：“浩然之气,至大至刚,必须用正义去培养；浩然之气,必须配以仁义和道德；浩然之气是由正义累积而成,不能靠突击而偶然产生.而且,只要做一件有愧于心的事,这种浩然之气就会疲软和消失.”原孟子之意,浩然之气来自于人道之心所 浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。 关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景 纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。 数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化 繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义 伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义 数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。 数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0 儒家思想的现实意义 人文系10级政教班韩东生10010106儒家思想自孔子创立以来，经过历代学者的发扬和统治者的改造，逐渐形成完整的儒家思想体系，成为中国传统文化的主流。其博大精深的文化品格，在世界文化史上具有重要影响，对当今社会仍具有重要的现实意义。 一、"以德治国" 儒家思想与当今的"以德治国" 中国自远古三代就有"以德治世"的思想传统。孔子继周公之后，第一次明确提出了"德政"的思想，首开儒家德治主义之先河。强调道德在人类社会生活中的重要作用，把道德视为治国安邦、协调人际关系、提高个人道德素养和境界的根基和出发点。后经孟子、荀子的系统发挥，《大学》、《中庸》的理论升华，形成了一套严密完整系统的治国方略，成为中国传统政治文化中极为重要的组成部分。后世儒家，无论是董仲舒的宇宙论，还是宋明理学的本体论，都只是在理论层面上论证为政以德的重要性、必然性而已。 在当今社会，古代德治主义思想虽不能直接作为治国之道为我所用，但其思想精髓及合理内核仍具有显著的价值意义，并为当今实施以德治国方略提供必要的思想资源。 二、“以民为本” "以民为本"是儒家德治思想的基础。所谓"民本"就是认识到人民、民众在国家中的重要地位，如果统治者背离了民心，得不到民众的拥护，国家政权就不能巩固，甚至会被人民群众用武力推翻的。孟子的"仁政"理论就是以民本为基础的，他说："民为贵，社稷次之，君为轻"，在孟子看来，人民是宝贵的，不能忽视人民的利益和疾苦。荀子引用古语说："君者舟也，庶人者水也" ，水可以载舟也可以覆舟。以民本思想为核心价值的儒家的"德治"思想，表现出它极大的进步性和人民性。虽然民本还不是现代意义上的民主，但它有着很大的现实意义。 我们发展社会主义民主政治首当确立起人民当家做主的神圣观念，并以之作为社会主义民主政治最具本质意义的特征和要求。要使人民真正成为社会政治生 数形结合在小学数学中的应用 数形结合在小学数学中的应用 【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。 【关键词】数形结合思想，数学应用 【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。 数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质，论孔子儒家思想在当代社会的现实意义
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