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线性代数全书课后答案朱玉清主编

习题 2-1

1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．

解： ?????

??000010

100100110000001011

1110001110106543216

54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．

2．设矩阵???? ??-=???? ??+-=2521

,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：??

??===211

z y x 。

习题 2-2

1．设???? ??=0112A ，???

??-=4021B ，求

（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2

2B A -．

解：（1）???

??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；

（

）

???

??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；

（

）

????

??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--????

?????? ??=-152441606112254021402101

0112B A 22． 2．已知?????

??--=23041230

1321A ，????

??---=0521103

5123

4B ，求B A 23-．解：???

? ??----????? ??--=052110

35123

42230412301321323B -A

???

?----=????? ??----????? ??--=61941016151055

01101042206102468

6901236903963 3．设???

? ??----=????? ??=101012121234

,432112122121B A ，求

（1）B A -3；（2）B A 32+；（3）若X 满足B X A =-，求X ；

（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．

解：（1）???

? ??-----????? ??=-101012121234

43211212212133B A

???

??-=????? ??-----????? ??=139********

31101012121234

1296336366363；（2）???

? ??----+????? ??=+1010121212343432112122121232B A

????

?--=????? ??----+????? ??=561

2525278

131430303636369

12864224244242；（3）由B X A =-得，

???

?---=????? ??-----????? ??=-=53310404

1113101012121234

432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，

????

??=????

? ??=+=223232340

3402231031033112020335532)(32B A Y 。 4．计算下列矩阵的乘积：

（1）????

??=????? ???+?+??+?-+??+?+?=????? ??????? ??-49635102775132)2(71112374127075321134；

（2）()???

? ??12332110132231=?+?+?=；

（3）???

? ??---=????? ???-??-??-?=-????? ??63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；

（4）??

???

? ??---???? ??-20413121023

143110412

???? ??-?+?+?-+??+-?+-?-+??+?+?-+?-?+?+?+??+-?+-?+??+?+?+?=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(1324

0140112???

? ??---=55201076；（5）()???

? ??????? ??321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x

()???

? ??++++++=3213332231133

322221123

31221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a

333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=

3333232232

2223131132121122

111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。

（6）??

??---=

???????

??---???????

?90003400

4210

3000

3200

121013

3000120010100121。

5．设????

??=λλλ001001A ，求3

A ．

解：?????

?=????? ??????? ??=2λλλλλλλλλλλA 0

020

12001001001001222

????

??=????? ?

?????? ?

?==32

323222

030

330010010

020

12λλλλλλλλλλλλλλA A A 。 6．设?

??? ??=021032A ，????? ??=032001B ，?

???

? ??=542001C ，（1）求AB 及AC ；

（2）如果AC AB =，是否必有C B =？（3）求T T A B ．

解：（1）???? ??=????? ?????? ??=4162032001021032AB ，???

? ??=????

?????? ??=4162542001021032AC ；

（2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；

（3）???

? ??=???? ??==16424162T

(AB)A B T T 。 7．已知1)(2

--=x x x f ，????

??-=011213113A ，求)(A f ．

解：????? ??-????? ??--????? ??-????? ??-=--=100010001011213113011213113011213113)(E A A A 2

????

??--=????? ??-????? ??--????? ??-=211301142910001000101121311310052145313。８．举反例说明下列命题是错误的：（1）若O A =2，则O A =；

（2）若A A =2

，则O A =或E A =；（3）若AY AX =，且O A ≠，则Y X =．

解：（1）举例若01111≠?

???

??--=A ，而02

=A ；（2）举例若???? ??=0011A ，A A =2

而0≠A 且E A ≠；

（3）举例若???? ??--=1111A ，?

??=0011X ，???? ??=1100Y ，AY AX =，且O A ≠而Y X ≠。

9．证明：如果BC CB AC CA ==, ，则有（1）)()(B A C C B A +=+；（2）)()(AB C C AB =．证明：（1）)()(B A C CB CA BC AC C B A +=+=+=+；（2）)()(AB C (CA)B (AC)B A(CB)A(BC)C AB ===== 10．设B A ,均为n 阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）BA AB =；

（2）2

222)(B AB A B A ++=+；

（3）2

222)(B AB A B A +-=-；

（4）2

2))(())((B A B A B A B A B A -=+-=-+．

证

明

：（

）

?（2）因为BA AB =，所以

222222)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+；

（2）?（1）2

22222)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+，所以BA AB =；

（1）?

（3）因为BA AB =，所以2

22222)(B AB A B BA AB A B A +-=+--=- （3）?（1）2

22222)(B BA AB A B AB A B A +--=+-=-，所以BA AB =；

（1）?

（4）因为BA AB =，所以2

222))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+ （4）?（1）2

222))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+，所以BA AB =。 11．设A 与B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当BA AB -=时，AB 是反对称

矩阵．

证明：先证当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵。

因为AB BA A B (AB)T

-===，所以AB 是反对称矩阵。

反之，若AB 是反对称矩阵，即AB (AB)T

-=，则BA A B AB AB T

-=-=-=)(。

习题 2-3

1．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：（1）????

??-3411；（2）????

?-θθθθ

cos sin sin cos ；（3）?

????

??--523012101；（4）????? ??343122321；（5）?????

?98765

432

1；（6）??????

??10002

10032104321．解：（1）073

11≠=-=

A ，故1-A 存在，141322122111=-===A A A A

从而?????

??-=???? ??-==-717

47173

1413711*1

A A A （2）01cos sin sin cos ≠=-=

θθA ，故1-A 存在，

θθθθ

cos sin sin cos 22122111=-===A A A A

从而*1

1A A A

-????

?-=θθθθ

cos sin sin cos （

）

2301

≠=--=A ，故

-A 存在，

2,2,7,10,52221131211-====-=A A A A A ，

1,2,1,5233323123==-=-=A A A A

从而*1

1A A

=-??????? ?

?----=211

27115211

（

）

431223

21≠==A ，故

-A 存在，

6,6,2,3,22221131211-===-==A A A A A ， 2,5,4,233323123-==-==A A A A

从而*

A A

-?????

? ??----=11125323231

（5）09

654

==A ，故1-A 不存在。（6）011

000210032104

321≠==

A ，故1-A 存在，

2,0,0,0,12114131211-=====A A A A A ，1

,0,0,131242322====A A A A 1,2,1,0,0,1,244434241343332=-=====-=A A A A A A A

从而?????

?? ??---==-10002100121001

211*1

A A

A 。 2．设?

???

? ??=????

??=????? ??=130231,3512,343122321C B A ，求矩阵X 使满足C AXB =．解：由1题中的（4）小题知 1

-A ?????? ?

?----=11125323231，又知???? ??--=-25131B 所以

==--1

1CB A X ?????

? ??----11125323231????? ??130231???

??--2513????

? ??---=???? ?

?--????? ??-=410410122513202011。

3．设???? ??=3152A ，???? ??-=1264B ，???

??-=1242C ，解下列矩阵方程：（1）B AX =；（2）B XA =；（3）C AXB =．

解：???? ??--=-21531A ，???

? ??-=-42611611

（1）B AX ===?-B A X 1???? ??--2153????

??-=???? ?

?-802321264 （2）B XA ===?-1BA X ???

??--=???? ??--???? ??-85321821531264

(3)==?=--11CB A X C AXB ???? ??--2153 ???? ??-1242???

? ?

?-4261161?

????? ??--=478

5417815

4．利用逆矩阵解下列线性方程组：

（1）?????=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x ；（2）???

??=++=++=++3

5325221

32321

321321x x x x x x x x x ．

解：（1）取????? ??----=423243112A ，X ????? ??=321x x x ，???

?? ??=11114B ，则原方程组为B AX =

604232431

=----=A ，????? ??--=-111181111866126011A ∴?????

??==-1131

B A X ，

即?????===1133

21x x x 。（2）取????? ??=153522321A ，X ????? ??=321x x x ，???

??=321B ，则原方程组为B AX =

151535223

21==A ，????? ??---=-2141813413231511A ∴?????

??==-0011B A X ，即???

??===0013

21x x x 。

5．设O A =k （k 为正整数），证明121

)(--++++=-k A A A E A E ．

证明：因为))((1

-++++-k A A A E A E

E )A A A (A A A A E k k k =++++-++++=--1212 （由O A =k ）所以121

)

(--++++=-k A A A E A E 。

6．设方阵A 满足O E A A =--22，证明A 和E A 2+都可逆，并求1-A 和1)2(-+E A ．

证明：因为O E A A =--22可知E E)(A A =-?

21，

所以A 可逆且)(21

1E A A -=-；又有O E A A =--22得E A)E E A =-?+3(4

)2(，所以E A 2+可逆且

)3(4

)2(1A E E A -=+-。

7．设B A AB A 2,321011330+=???

? ??-=，求B ．

解：因为B A AB 2+=，所以A B E A =-)2(，而???

??---=-121011

3322E A ，22=-E A ，

????

? ??---=--11131133121

)2(1E A ，所以

????

??-=????? ??-?????

??---=-=-01132133032101133011131133121)2(1A E A B 。

8．设B A E AB A +=+????

? ??=2,101020101，求矩阵B ．

解：由于B A E AB +=+2

，有))(()(2E A E A E A B E A +-=-=-

而???

?? ??=-001010100E A 且01≠-=-E A ，可知E A -可逆，所以

???

? ??=+=201030102E A B 。

9．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：

（1）若A 可逆，则1

||*-=A A A ；（2）若0||=A ，则0|*|=A ；

（3）1

|||*|-=n A A ；

（4）若A 可逆，则A A A A |

()*(1

=--；（5）若A 可逆，则T

*)()*(A A =．

证明：（1）∵E A AA =*

，而A 可逆，∴11

||*--==A A E A A

（2）0||=A ，当0=A ，则O A =*，∴0=*A

当0≠A ，则由E A AA =*

0=，∴0=A 矛盾。∴0=*A 故当0=A 时，有0=*A 。

（3）若0=A 由（2）知0=*A 此时命题也成立，故有1

=n A

A 。

若0≠A ，则由?=*

E A AA n

A E A A A ==*

，∴1

-*=n A A

综上有1

=n A

A 。

（4）∵E A AA =*

，而A 可逆，∴A A

A 1)(1

- 又E A E A

A A 1)(1

*11=

=---，∴A A A 1)(*1=-，即A A A A |

|1*)()*(11==-- （5）∵A 可逆，∴T A 可逆

又E A E A A A T T T ==*)(， E A E A A A A A T

T T T

===)()()(** 即T

*)()*(A A A A T

=， ∴T

*)()*(A A =

10．设A 的伴随矩阵??????

? ??-=80300

10100100001*A ，且E BA ABA 31

1+=--，求矩阵B ．

解：由E BA ABA 311+=--A A B A AB A A B AB ***33+=?+=?

E B A E E A B A B A 6)2(3**=-?+=?

而????

? ?

?-=--610210010100

100001

)2(1*A E ，∴??

? ??-=-=-10300606

006000

06)2(61

*A E B 。

11．设ΛAP P =-1，其中???

? ??-=???? ??--=2001,1141ΛP ，求11A ．解：∵Λ=-AP P 1

故1

-=P P A Λ，所以1

-=P P A Λ

而3=P ， ???

? ??-=*1141P ， ???? ??--=-1141311

P ， ???? ??-=???? ??-=1111

1120012001Λ 故

????? ??--???? ??-???? ??--=313

13431

200111411111A ???

??--=???? ??----++=68468327322731242124213111111313

12．设P ΛAP =，其中???

??-=????? ??--=511,111201111ΛP ，求)65()(2

8A A E A A +-=?．

解

：

∵

120

111

-=--=P ，

? ??------=121303222*P ，∴

????????

??--=-61316

121

021313

131

1*1P

又???

? ??=????? ??-=0000000012)5()1()1()(????Λ

故????

? ??????? ??--==-000000001211120111

1)()(1

A P A ????????

? ??--

61316121021313

131?????

??=444444444。 13．设矩阵A 、B 及B A +都可逆，证明：

（1）11

--+B A

也可逆，并且()

B B A A B A 11

11)(----+=+；

（2）A B A B B B A A 1

1)()(--+=+．

证明：（1）∵B B A A B E B B A A B A 1

1111))(())()((-----++=++

E B B B B A B A B B B A A B B B ==++=++=------111111))(())((

∴11

--+B A 可逆且()

B B A A B A 11

1)(----+=+

（

）

∵

)()()()()()(11111111-------++++=++AB BB B A B AB E B A B B A A B A B -

E BB B B A B A B ==++=---111)()(

∴A B A B B A --11

11)()

(--+=+，又有（1）知()

B B A A B A 11

1)(----+=+

由逆矩阵的唯一性知，A B A B B B A A 1

1)()(--+=+。

习题 2-4

1．设矩阵???????

?--=100001004210

01A ，????

?-=10200136000

20021B ，用分块矩阵计算：（1）A k ；（2）B A +．

解：先对B A ,进行分块?

???

??-=E A E A 01，???

??=E B B B 210，其中???? ?

?=42

311A ，????

?=0221

1B ，???? ??-=20362B （1）A k ???? ??-=kE 0kA kE 1????

?--=k k k k k k k k 0

00000

420

30；（2）???? ??+=+0B A B E B A 211????

? ??-=0020003642123122。 2．设??????? ??-=1011012100100001A ，????

? ??---=02111

40110210101

B ，求AB ．解：先对B A ,进行分块???? ??=E A 0E A 1，???? ??=321B B E B B ，其中???? ??-=11211A ，

???? ??-=21011B ，???? ??--=11012B ，?

??=02143B 则???? ??++=312111B A B B A E B AB ，而???? ?

?--=+11

42211B B A ，???? ?

?=+1333

31B A ，所以??

?---=131133421021

0101

AB 。

3．设???????

??=b b a a

100100000

001A ，????

?=b b a a

00000001

000B ，求ABA ．

解：先对B A ,进行分块???? ??=21A 00A A ，???? ??=21B 00B B ，其中1A =???

??a a 01，=2A ???? ??b b 11，1B =???

??a a 10，=2B ???? ??b b 10，则???? ??=2211B A 00B A AB ，????

??=222111A B A 00A B A ABA 而=111A B A ???? ??+++a a a a a a 322312，=222A B A ???

??+++b b b b b b 231223223 ∴=ABA ??????? ??++++++322

223230012200

000012b b b b b b a a a

a a a 4．设??????? ??-=22000

20000340043A ，求8

A 及4A ．解： ?

???

?? ?

?-=22023443O O A ，令???? ??-=34431A ???? ??=22022A A 则???? ??=21

A O

O A A 是分块对角阵，故8

218

???? ?

?=A O O A A ???

??=828

1A O

O A 168

281810===A A A A A

???

??=???? ?

?=464

4424

22025005O O A O

O A A 5．已知分块方阵???? ?

?=O B

A O

D ，???

??=B O C A F ，其中B A ,均为可逆方阵，证明D 和F 均可逆，并求1-D 和1-F ．

证明：设有矩阵???? ??=43

1X X

X X D ，使E DD =1，即???

??=???? ??E 00E

BX BX AX AX 2143

则???????====E BX 0BX 0

AX E

AX 214

3，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????====--12

1413B X 0

X 0X A X ，即???? ??=--0A B 0D 111 从而D 可逆且=-1

D ???

? ??=--0A B 0D 111。

设有????

??=43

211X X X X F ，使E FF =1，即???? ??=???? ??++E 00E BX BX CX AX CX AX 434231 ??????

?===+=+E BX 0

BX 0CX AX E

CX AX 434

231，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????==-==----14

1211B X 0X CB A X A X ，即???? ?

?-=----1111

1B 0

CB A A F ，从而F 可逆且=-1

F ???

??-=----11111B 0CB A A F 。 6．求下列矩阵的逆阵：

（1）???????

?2500380000120025；（2）????

??4121031200210001．解：（1）记原方阵为???? ??21A 00A ，则???? ??--=-522111A ，???

? ??--=-853212A ∴=??????

? ?

?-1

00380000120025

121-???? ??A 00A ???? ??=--121

1A 00A ??

????

? ??----=85003200005200

21 （2）记原方阵为???? ??321A A 0A ，则可直接凑得???? ?

?-=-----13112131

1A A A A 0A A

而???? ??-=

-21210111A ，??????

??-=-4112103113A ，?

????

? ??-=--24581612111213A A A ∴=??

????? ??-14121031200210001???? ??-----131121311A A A A 0A =?

???????? ??-----411212458

103161210021210001

习题 2-5

1．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：

（1）????? ??211152223420；（2）??????? ??-------31370130313111044321；（3）??????

??---------12433023221453334311；（4）??????? ??------34732038234202173132；（5）???????

??-------37413741174316923；（6）???????

? ??----0321050713541420．解：（1）3

212313420100021112342052222111211152223420r r r r r r ???

? ??-????? ???????? ?? ????? ??100034202111（行阶梯形矩阵）????? ??-?---1000021001012

1)3(212132321r r r r r （行最简形矩阵）

（2）??????? ??-------313701303131110443213424213224840012

420031

11044

32175r r r r r r r +?????

?? ??-------+-- ???????

?-----000001242003111044321（行阶梯形矩阵）????

??? ??-----?00000621003111044321213r ??

??---+-+0000062100

3101080001232321r r r r r （行最简形矩阵）（3）14131232312

433023221453334311r r r r r r ---???????

?--------- ??

?????

??--------10105006

63008840034311)4

1(454322

3-?--r r r r r

?---00000000002210034311（行阶梯形矩阵）

13r r -??

??---00000000002210032

1（行最简形矩阵）

(4) ??

??------3473203823420217313

2 4

132

421242321711877

012988

0111104202

1232r r r r r r r r r r r r r r r ?---??

???

??-----?--- ???????

?---00000410001111042021（行阶梯形矩阵）

?---?-+0000041000

30110

202

)1(223221r r r r r （行最简形矩

阵）

（5）

??????? ??-------37413741174316923

????

? ??----+???

???? ??-----?+++00001430001431037

417000045217014310374132331322134r r r r r r r r r r （行阶梯形矩阵）???????

??-+-???????

??---?-00001000031005011459000010

001431059501)1431(4323132

1r r r r r r r （行最简形矩阵）（6）???????? ??----0321050713541420???

????

??------????????? ??------?++1050105022110210541211050105022110420541232212523r r r r r r r ????????

??---+-+0000000002105415511252423r r r r r r （行阶梯形矩阵）?????

??--???????? ??---?0000000002103014000000000210541)1(21

1r r r （行最简形矩阵）

2．把可逆矩阵???

? ??--=023111021A 分解为初等阵的乘积．

解

：

因

为

? ??--=023111021

A ????

??-??? ??-?-????? ??-?-?????

??++1003106018128003100213310130021332132321223r r r r r r r r r r r

???

??-+100010001363231r r r r

即

E A E E E E E E E E =----))3(2,3())1(1,2())3(3,2()3,2())2(2,1())8

(3())6(3,1())3(3,2(

))

3(3,2())6(3,1())8(3()2(2,1()3,2()))3(3,2())1(1,2())3(3,2(E E E E E E E E A ----=

3．设???

??=????? ??????? ??963852741101010

001010100001A ，求A ．

解：????? ??=????? ?

?????? ??963852741101010

001010100001A 可以写成????

??=963852741))1(1,3()3,2(AE E

从而))1(1,3(963852741)3,2())1(1,3(963852

741)3,2(11

-???

??=????? ?

?=--E E E E A

????

? ??---=-????? ??=856966746))1(1,3(852963741E

4．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

（1）????? ??--523012101；（2）????

?343122

321；（3）?????

??---11110

3231；（4）??

??-----121023211220

1023．

解：（1）???

?---+-????? ??--=103220012210

001

10132100523010012001101),(1312r r r r E A ??????? ?

----?+-?????

??----211

115010211

00121211272000122100011

0123323123r r r r r r r

∴??????

? ??----

=-2112711521125

（2）?

? ??---------????? ??=11110001252000132

12100343010122001321),(12213r r r r r E A

????

? ??---

--???? ??-?????? ??--------+11110025323010231001)1(21111100563020231001523232321r r r r r r r ∴?????

? ??----=-111253232311

（3）???

? ??-----+????? ??---=1013400137

900012

313100111010103001231),(1312r r r r E A ????

??-----+-?????

??----+9431002111

1063210143101340211110001231224

2132r r r r r r ?

??-?-+943100732010311001)1(2323

1r r r r r ∴????? ??=-9437323111

A （4）

??-----???

????

??-----=100012100100232100101

2200301594

0310001210010023210010122

000011

023),(31r r E A

?----??+???????

??-----+--10612100043011100

1000121020

000101

21000121021000101

2010120043011

100

224423112434241r r r r r r r r r r r r

???????

?--------+-+-10612100063110100

1010001042

110001

243432431r r r r r r r r ∴?????

? ??-------=-106126

31110104211

5．用初等变换法求矩阵X ，使B AX =，其中????? ??=343122321A ，???

??=341352B ．

解：∵????? ??=343431312252321),(B A ?

? ??----------31100915205232

1212213r r r r r

????

? ??---???? ??-??????

??------+311003201023

001)1(21311006402023001523232321r r r r r r r

∴????

? ??--==-313223

B A X

6．求解矩阵方程X A XA 2+=，其中???

??-=321011324A 。

解：A E A X X A XA )2(2-?+=，即T T

A X

E A =-)2(

而(

)

????? ??---=-303103212212114112,)2(T

T A

E A ????

??------11111121221211411223r r ????

??------??-?????

??-------96610033211011111131111110304303321102232211

23231r r r r r r r r r r

???

? ??------?-+9661001298010223

001)1(2322

1r r r r r ∴????? ??-----=9661298223T

∴???

??-----=9122692

683X

习题 2-6

1．在n m ?矩阵A 中，若存在一个r 阶子式不等于0，那么A 的秩如何？若A 的所有r 阶子式都为0，那么A 的秩又如何？

解：若A 中存在r 阶子式不等于0，则A 的秩)(A R ≥r 若A 的所有r 阶子式均为0，则A 的秩)(A R ＜r 。

2．在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1-r 阶子式？有没有等于0的r 阶子式？解：在秩为r 的矩阵中，可能有等于0的1-r 阶子式，也可能有等于0的r 阶子式。

如??

???

?=0000002100010321A ，3)(=A R ，而二阶子式02101≠，0010

1= 三阶子式00

2100

1321≠，00

000013

21=。

3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 的秩的关系怎样？解：)()(A R B R =或1)()(-=A R B R

如第二题中的例子，划去第三行得B ，则1)(2)(-==A R B R 。

4．求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：

（1）????? ??---=8241113365A ；（2）????? ??-----=221235131321A ；（3）????

? ??---=44311211201

3A ；

（4）????? ??-------=81507313

1213123A ；（5）???

? ??----=8114324114321

A ；（6）??????? ??--=1541401310211001A ；（7）???

? ??-----=4146135102163

230502

3A ．

解：（1）???

? ??-++????? ??--+????? ??---=28140261305414382411135418241113365131231r r r r r r A

B =????

? ??---+?????

??----00021054114281402105412332r r r r 由B 知，2)(=A R ，且136

5-为一个最高阶非零子式。

（2）B A =?

? ??------????? ??-----=0450000

01321222123513132123321r r r r r 由B 知，2)(=A R ，且1

1-为一个最高阶非零子式。

（3） ??

? ??---44311211201

1r r ??????

??---4431201

31211131

23r r r r --????

??----564056401211 ???

? ?

?----00

056401

211

3r r B = 由B 知，2)(=A R ，且

1-为一个最高阶非零子式。

（4）????? ??-------=815073*********A ???

? ??--------10000313

1224431221213r r r r r ????

??------1000079117024431212r r B = 由B 知，3)(=A R ，且8

07312

----为一个最高阶非零子式。

（5）????? ??----=8114324114321A ?

? ??-++-000021104321212213r r r r r B =

由B 知，2)(=A R ，且1

1--为一个最高阶非零子式。

线性代数全书课后答案 朱玉清主编

线性代数全书课后答案朱玉清主编