【人教版】八年级数学上册第15章《分式》 小专题(十六) 分式的运算

小专题(十六) 分式的运算

题组1 分式的混合运算

1．计算：

(1)a a ＋1＋a －1a 2－1

； 解：原式＝a a ＋1＋a －1（a ＋1）（a －1）

＝a a ＋1＋1a ＋1

＝a ＋1a ＋1

＝1.

(2)2x x 2－1÷x x ＋1

； 解：原式＝2x x 2－1·x ＋1x

＝2x （x ＋1）（x －1）·x ＋1x

＝2x －1

. (3)(x x －2－x x ＋2)÷4x x －2

； 解：原式＝4x （x ＋2）（x －2）·x －24x

＝1x ＋2

.

(4) 2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1

； 解：原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a －1）（a ＋1）·（a －1）2

a －2

＝2a a ＋1－2（a －1）a ＋1

＝2a ＋1

.

(5)(1＋2x －1)÷x ＋1x 2－2x ＋1

； 解：原式＝x －1＋2x －1·（x －1）2

x ＋1

＝x ＋1x －1·（x －1）2

x ＋1

＝x －1.

(6) (a ＋2－5a －2)·2a －43－a

； 解：原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a

＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a

＝－2(a ＋3)

＝－2a －6.

(7)2－x x －1÷(x ＋1－3x －1

)；

解：原式＝2－x x －1÷x 2－4x －1

＝－x －2x －1·x －1（x ＋2）（x －2）

＝－1x ＋2

.

(8)(12－x ＋1)÷x －3x 2－4·x x 2＋4x ＋4

. 解：原式＝3－x 2－x ·（x ＋2）（x －2）x －3·x （x ＋2）2

＝x x ＋2

.

题组2 分式的化简求值

2．先化简,再求值：(1＋1x －1)÷x 2

,其中x ＝2 016. 解：原式＝x x －1÷x 2＝x x －1·2x ＝2x －1

. 当x ＝2 016时,原式＝22 016－1＝22 015

.

3．先化简,再求值：(6x －1＋4x 2－1)÷3x ＋2x －1

,其中x ＝2. 解：原式＝[6（x ＋1）（x ＋1）（x －1）＋4（x ＋1）（x －1）]·x －13x ＋2

＝6x ＋10（x ＋1）（x －1）·x －13x ＋2

＝6x ＋10（x ＋1）（3x ＋2）

. 当x ＝2时,原式＝12＋1024＝1112

.

4．先化简,再求值：(a ＋1a ＋2)÷(a －2＋3a ＋2

),其中a 满足a －2＝0. 解：原式＝a （a ＋2）＋1a ＋2÷a 2－4＋3a ＋2

＝（a ＋1）2a ＋2·a ＋2（a ＋1）（a －1）

＝a ＋1a －1

. 当a －2＝0,即a ＝2时,原式＝3.

5．化简并求值：(1x －y ＋1x ＋y )÷2x －y x 2－y 2,其中x .y 满足|x －2|＋(2x －y －3)2＝0.

解：∵|x －2|＋(2x －y －3)2＝0,

∴?????x －2＝0，2x －y －3＝0， 解得?????x ＝2，y ＝1.

∴原式＝x ＋y ＋x －y （x －y ）（x ＋y ）·（x ＋y ）（x －y ）2x －y ＝2x 2x －y

. 当x ＝2,y ＝1时,原式＝43

.

6．先化简,再求值：(1－3x ＋2)÷x －1x 2＋2x －x x ＋1

,其中x 满足x 2－x －1＝0.

解：原式＝x ＋2－3x ＋2·x （x ＋2）x －1－x x ＋1

＝x －x x ＋1

＝x 2

x ＋1

. ∵x 2－x －1＝0,∴x 2＝x ＋1.∴原式＝1.

7．化简：2x x ＋1－2x ＋4x 2－1÷x ＋2x 2－2x ＋1

,然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．

解：原式＝2x x ＋1－2（x ＋2）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2

x ＋2

＝2x x ＋1－2x －2x ＋1

＝2x －2x ＋2x ＋1

＝2x ＋1

. ∵不等式x ≤2的非负整数解是0,1,2.

答案不唯一,如：

当x ＝0时,原式＝20＋1

＝2； 当x ＝1时,原式＝21＋1

＝1； 当x ＝2时,原式＝22＋1＝23

.

8．化简求值：a 2－6ab ＋9b 2a 2－2ab ÷(5b 2a －2b －a －2b )－1a ,其中a ,b 满足?

????a ＋b ＝4，a －b ＝2. 解：原式＝（a －3b ）2a 2－2ab ÷9b 2－a 2a －2b －1a

＝－（a －3b ）2a （a －2b ）·a －2b （a －3b ）（a ＋3b ）－1a

＝a －3b －a （a ＋3b ）－1a

＝－2a ＋3b

. ∵a ,b 满足?????a ＋b ＝4，a －b ＝2.∴?

????a ＝3，b ＝1. ∴原式＝－23＋3＝－13

.

9．先化简,再求值：(x x 2＋x －1)÷x 2－1x 2＋2x ＋1

,其中x 的值从不等式组?????－x ≤1，2x －1＜4

的整数解中选取． 解：原式＝x －x 2－x x （x ＋1）÷（x ＋1）（x －1）（x ＋1）2

＝－x 2x （x ＋1）·（x ＋1）2

（x ＋1）（x －1）

＝－x x －1

. 解?????－x ≤1，2x －1＜4，

得－1≤x ＜52, ∴不等式组的整数解为x ＝－1,0,1,2,要使分式有意义,x 只能取2,

∴原式＝－22－1

＝－2.

10．先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷(2x －1－1x

),再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．

解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）

＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1

＝x 2

x －1

. 取x ＝2,当x ＝2时,原式＝x 2x －1＝22

2－1＝4.(答案不唯一．注：x ≠±1,0)