2009年济南外国语学校实验班初中升高中保送考试数学试题济南大智学校内部资料

2009年济南外国语学校实验班初中升高中保送卷——数学

（时间：120分钟 满分：120分）

一、选择题 (共12小题，每小题4分，共48分)

1.已知M ＝｛x|y=x 2-1｝, N={y|y=x 2

-1},N M ?等于

A. N

B. M

C.R

D.Φ 2.已知3

1)

53

(-=a ，21

)3

5

(=b ，2

1)

3

4

(-

=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是

A b a c <<

B a b c <<

C c b a <<

D c a b <<

3.若,m n 表示两条直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为

①//m n n m αα??⊥?⊥?；②//m m n n αα⊥???⊥?；③//m m n n αα⊥??⊥??；④//m n m n αα??⊥?⊥?

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.若点A(－2，－3 )，B(－3，－2 )，直线ι过点P( 1，1 )且与线段AB 相交，则ι的斜率k 的取值范围是

A.34

k ≤

或43

k ≥

B.43

k ≤-

或34

k ≥-

C.344

3

k ≤≤

D. 433

4

k -

≤≤-

5.函数)1(log )(2

1-=x x f 的定义域是

A .（),1+∞ B. （),2+∞ C.()2,∞- D.(1,2) 6．点P 在直线04=-+y x 上，O 为原点，则|OP|的最小值为 A.-2

B 22 C

6 D

10

7.已知一个几何体它的主视图和左视图上都是一个长为4，宽为2的矩形，俯视图是一个半径为2的圆，则此几何体的表面积为

A 8π

B 12π

C 16π

D 32π 8.已知函数f (n )=??

?≤+>-),

10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于

A.2

B.4

C.9

D.7

9.若直线a x b y abR +-=∈240()，始终平分圆x y x y 2

2

4240

+---=的周长，则ab 的取值范围是

A. （0，1）

B. (]-∞，1

C. （-∞，1）

D. （0，1]

10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0()(1)x f x x x ≥=-时，，则当

0()x f x <=时，

A ()(1)f x x x =-

B ()(1)f x x x =--

C ()(1)f x x x =+

D ()(1)f x x x =-+ 11.已知实数y x ,满足0126422=++-+y x y x ，则22--y x 的最小值是 A. 55-

B. 54-

C. 5

D. 4

12．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(

1)2f =，则(2)f -等于 A ．2

B ．-2

C ．6

D ．9

二、填空题 (共4小题，每小题4分，共16分)

13.幂函数k x k k y ---=11

2)22(在（0，+∞）上是减函数，则k ＝_________. 14函数()0,1x

y a

a a =>≠在[]1,2上的最大值与最小值的和为6，则a 的值= .

15.已知正方体的外接球的体积是π3

32，那么正方体的棱长等于 .

16.两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的

值为 __________.

三、解答题（共6个大题，共56分，写出必要的文字说明） 17.（本小题8分）不用计算器求下列各式的值

⑴ ()()

1

22

3

02

1329.63 1.548--????

? ?

????

---+ ⑵ 74

log 2

3

27log lg 25lg 473

+++

18．（本小题8分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x－y+3=0和l2：2x+y－6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求：

（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为

55

8

的圆的方程．

19.（本小题8分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租

出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。每辆租出的车每月需要花费租赁公司维护费200元。

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

20. （本小题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，

PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．

求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ．

21．（本小题10分）对于函数()()()0,212≠-+++=a b x b ax x f ,若存在实数0x ,使

()0x f =0x 成立,则称0x 为()x f 的不动点.

⑴当2,2-==b a 时,求()x f 的不动点;

⑵若对于任意实数b ,函数()x f 恒有两个不相同的不动点,求a 的取值范围.

D

A

B

C

O

E

P

22．（本小题12分）函数f x a x b

x

()=

+

+

12

是定义在（－1，1）上的奇函数，且f()

1

2

2

5

=

（1）确定函数f x()的解析式；

（2）用定义证明f x()在（－1，1）上是增函数；（3）求满足f t f t

()()

-+<

10的t的取值范围。

数学试题答案（2009.2）

1-12 AACCD BCCB D A A 13. 3 14. 2 15.

3

34 16. 3

17.解（1）原式＝2

3

22

1)23

()

8

27(

1)

4

9

(--

+--

=2

3

232

12)23

()

2

3

(1)

2

3

(-?

-?

+--

=

22)2

3()23(123

--+-- =21 （2）原式＝2)425lg(3

3log

4

3

3

+?+ ＝210

lg 3

log

2

4

13

++-

＝4

15224

1=

++-

18．解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则

???=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ?

?

?=+=-0n m 23

n m ，解得1m -=，2n =． 即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．

（2）设圆的半径为R ，则2

2

2

)5

54(

d R

+=，其中d 为弦心距，5

3d =

，可得5R 2=，

故所求圆的方程为5y x 22=+．

19解：（1）当每辆车的月租定金为3 600元时，未租出的车辆数为1250

3000

3600=-，所

以这时租出了88辆车

(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为

f （x ）=（100-)200)(50

3000--x x ,

整理得f （x ）=

50

1(8000-x)(x-200)= -

50

12

x +164x-32000=-

50

1 (x-41002)+304200

所以，当x=4100时，f(x)最大，最大值为f(4100)=304200， 答：当每辆车的月租金定为4 100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元

20．证明（1）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点， ∴OE∥AP，

又∵OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，∴PA∥平面BDE ． （2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ， 又∵AC ⊥BD ，且AC PO=O

∴BD ⊥平面PAC ，而BD ?平面BDE ， ∴平面PAC ⊥平面BDE ．

21、解:⑴由题义()()x x x =--++-+221222 整理得04222=--x x ,解方程得2,121=-=x x

即()x f 的不动点为－１和2. ⑵由()x f =x 得022

=-++b bx ax ，方程有两解,则有

△=()0842422>+-=--a ab b b a b 把0842>+-a ab b 看作是关于b 的二次 函数,则有 ()()()0216321684422

<-=-=-a a a a a a ， 解得20<

22解：（1）由函数f x a x b x

()=

++12

在（－1，1）上是奇函数知f x f x ()()

-=-， 即

-++-=-++a x b

x a x b

x

1122

() ∴b =0 由f ()12

25

=

得：

12112

25

2

a +=(

)

解得a =1

∴f x x x

()=

+12

（2）设x x 12，是（－1，1）上的任意两个实数，且x x 12<，

则fx fx x x x

x x x x x x x ()()()()()()1211222

2

1

21212

2

2

11111-=+-+=--++

∵-<<<1112x x ∴x x x x 1212010-<->， ∴f x f x f x f x ()()()()1212

0-<<，即

∴f x()在（－1，1）上是增函数

（）由f t f t

()()

-+<

10，知f t f t

()()

-<-

1

∵f x()为奇函数∴f t f t

()()

-=-∴f t f t

()()

-<-

1

由（2）知f x()在（－1，1）上是增函数

∴

t t

t

t

-<-

-<-< -<-<

?

?

?

?

?

1

111

11

解得0

1

2 << t