上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[7]

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上海市华师大二附中

高三年级数学综合练习[7]

一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一
律得零分。

x ?1 ?1 ? 1 ?
1．若函数 f (x) ? 的反函数是 y ? f (x) ，则 f ? ? ? __________。
x ? 2 ? 3 ?
2
2．方程 lg x ? 2lg x ? 3=0 的解集是__________。
?a ? 3?
．在等比数列 n 中， a4a7 ? ，则sin ?a3a8 ? 。
3 2 =__________

a? 3 ? i?z1
4．已知 z1 、 z2 是实系数一元二次方程的两虚根，? ? ?a ? R?，且 ? ? 2 ，则 a 的取值范围
z2
为 ______ （用区间表示）。

n n
5． lim( ) ? __________。
n?? n ? 2007
?
．在 ?ABC 中， AB ? 4，B ? ， ?ABC 的面积为 3 ，则 AC ? 。
6 3 __________
7．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 15 人选修 B 课程，其它人不选任何课
程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为__________。
1 1
．设{x} 表示离 x 最近的整数，即若 m ? ? x ? m ? ，则{x} = m .下列关于函数 f (x) ? x ?{x} 的四
8 2 2
个命题中正确的是 。
? 1?
①函数 y ? f (x) 的定义域是 R，值域是 0, ；
?? 2?? 1 3 5 7
k 15 13 11 9
②函数 y ? f (x) 的图像关于直线 x ? (k ? Z) 对称；
2 17 19 21 23
③函数 y ? f (x) 是周期函数，最小正周期是 1； 31 29 27 25
④函数 y ? f (x) 是偶函数。 … … … … …
?
9．（理）若 x ? y ? ，则 sinx·siny 的最小值为__________。
3
7
（文）sin(? ? )cos -cos(? - ? )sin? =

, ? 在第三象限，则 cos ? = 。
- ? 4 _____________
10．将正奇数按如下规律填在 5 列的数表中：则 2007 排在该表的第 行，第 列
（行是从上往下数，列是从左往右数）
11．已知函数 f (x) ? a ? x 2 ? ax ? b (a，b 为实常数)，若 f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数 a，b
应满足的条件__________。
12．对于集合 N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重
新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6＋
4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为 5。当集合 N 中的 n=2 时，集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1}，

{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和 S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对 n=3、n=4 的情况，计算它的
“交替和”的总和 S3、S4，并根据其结果猜测集合 N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”
的总和 Sn= 。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且
只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得 4 分，不选、错选或者选出
的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
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13．下列函数表示同一函数的是（ ）
1
A. f (x) ? (a 2x ) 2 与 g(x) ? a x （a>0） B. f (x) ? x 2 ? x ?1与 g(x) ? x 2 ? x ? (2x ?1) 0
C. f (x) ? x ? 2 ? x ? 2 与 g(x) ? x2 ? 4 D. f (x) ? lg x2 与 g(x) ? 2 lg x
2
14．设 p,q 均为实数，则“ q ? 0 ”是“方程 x ? px ? q ? 0 有一个正实根和一个负实根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
?
15．已知函数 f (x) ? sin(?x ? ) ?1，则下列命题正确的是（ ）
2
A． f (x) 是周期为 1 的奇函数 B． f (x) 是周期为 2 的偶函数
C． f (x) 是周期为 1 的非奇非偶函数 D． f (x) 是周期为 2 的非奇非偶函数
2
??x ? x ? 0?
16．函数 f (x) ? ?

，则集合?x f ? f ? x?? ? 0? 元素的个数有（ ）
??4sin x ?0 ? x ? ? ?
A、2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分 12 分）

uuuur 3 2
设 O 为坐标原点，已知向量 OZ 、 OZ 分别对应复数 z1 、 z2 ， z1 ? ? (10 ? a )i ，
1 2 a ? 5
2
z ? ? (2a ? 5)i(其中a ? R),若z ? z 是实数，求 z 的值。
2 1? a 1 2 2













18．（本题满分 12 分）
设函数 f (x) ? ?4x ? b ，不等式| f (x) |? 6 的解集为（－1，2）。
（1）求 b 的值；
4x ? m
（ ）解不等式 ? 0 ．
2 f (x)















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19．（本题满分 14 分）
2 2 2
设 A ? ?x x ? 4x ? 0?， B ? ?x x ? 2(a ?1)x ? a ?1 ? 0?。
（1）若 A ? B ? B ，求 a 的值；
（2）若 A ? B ? B ，求 a 的值。

















20．（本题满分 14 分）
x2 y2
已知 x、y 之间满足 ? ?1?b ? 0? 。
4 b2
x2 y2 1
? ， ?
（1）方程 ? 2 ?1?b ? 0? 表示的曲线经过一点 ? 3 ? ，求 b 的值；
4 b ? 2 ?
x 2 y 2
（2）动点(x,y)在曲线 ? ? 1(b>0)上变化，求 x2?2 y 的最大值；
4 b 2
x2 y2
（ ）由 ? ?1?b ? 0? 能否确定一个函数关系式 y ? f ?x? ，如能，求解析式；如不能，再加什么
3 4 b2
条件就可使 x、y 之间建立函数关系，并求出解析式。
























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21．（本题满分 16 分）


奎 奎
奎 奎 奎
政府决定用“对社会的有效贡

献率”对企业进行评价 奎 奎 用 an 表示某企业第 n 年投入的治理污染的环保


奎 奎
奎 奎 奎
费用，用 bn 表示该企业第 n 年的产值 奎 奎 设 a1 ? a （万元），以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加

anbn
2a （万元）；又设 b1 ? b （万元,且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10% ，用 Pn ? 表示企
100ab
业第 n 年“对社会的有效贡献率”。
（1）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；
（2）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于 20% ？
















22．（本题满分 18 分）
函数 y ? f (x), x ? R 满足 f (x ?1) ? af ?x?，a是不为的0常数 ，当 0 ? x ? 1时，f(x)=x(1-x) ，
（1）若函数 y ? f (x), x ? R 是周期函数，写出符合条件 a 的值；

（2）求 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z)时，求 y ? f (x) 的表达式 y ? fn ? x? ；
（3）若函数 y ? f (x) 在?0，? ?? 上的值域是闭区间，求 a 的取值范围。























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参考答案

? 1 ? 2007 9
1．1；2． ?100， ? ；3． ?1；4．??1,1?；5． e ；6． 13 ；7． ；
? 10? 49
?a<0
3 ?a=0
? 2
8．①②③； 9． ? ；10．第 251 行第 5 列；11． ? 或? 5a ；12．n?2n–1；
4 ?b ? 0 ?b=
? 4
13．A； 14．C； 15．B； 16．D；

3 2 3 2 2
17．解：由 z1 ? ? (10 ? a )i, ? z1 ? z2 ? ? ?[(a ?10) ? (2a ? 5)]i ,
a ? 5 a ? 5 1? a
2
?a ? 2a ?15 ? 0,解得a ? ?5,或a ? 3, 又分母不为零，?a ? 3 ?z2 ? ?1? i z2 ? 2 .

?b ? 6
? ?1
? 4
18．解：（1）∵ f (x) ? 6 的解集为（－1，2）, ∴ ? 得 b=2;
b ? 6
? ? 2
?? 4
4x ? m ? m ?? 1 ? m 1 1 m m 1
（2）由 ? 0 得 ? x ? ?? x ? ? ? 0 ,当 ? ? ，即 m ? ?2 时， ? x ? ? ,②当 ? ? ，即 m ? ?2
? 4x ? 2 ? 4 ?? 2 ? 4 2 2 4 4 2
m 1 m 1 ? 1 m ?
时，无解,③当 ? ? ，即 m ? ?2 时， ? ? x ? ,∴当 m ? ?2 时，解集为 ? ,? ?
4 2 4 2 ? 2 4 ?
? m 1 ?
当 m ? ?2 时，解集为空集, 当 m ? ?2 时，解集为 ?? , ? .
? 4 2 ?
??a 2 ?1 ? 0
A ? B ? B ? A ? B A ? 0,?4 ? a ? 1
19．解：（1） ， ? ?，∴ ? 2 。
??a ? 8a ? 7 ? 0
（2） A ? B ? B ? B ? A ，即 B ? ?或B ? A或B ? ?0?或B ? ?? 4?， B ? ? 时，
2 2
? ? 4?a ?1? ? 4?a ?1?? 0 ? a ? ?1 ； B ? A 时， a ? 1 ； B ? ?0?时， a ? ?1； B ? ?? 4?
时， a ? ? 。 综上得 a ? ?? ?,?1?? ?1?。
2
3 1
．解：（ ） ? ?1?b ? 0??b ?1
20 1 4 4b2 ,
2 2 2
2
x y 2 ? y ? ? y2 ? 4 ? b2 ? b2
（ ）根据 ? ?1?b ? 0? 得 x ? 4 1? 2
2 2 ? 2 ? ? x ? 2y ? 4?1? 2 ? ? 2y ? ? 2 ? y ? ? ? ? 4??b ? y ? b?
4 b ? b ? ? b ? b ? 4 ? 4
,
2
b 2
当时，?即b 时 b ? 4 ? x ? 2y? ? 2b ? 4 ,
4 max
b2 b2 ?2b ? 4，?b ? 4?
2 2 ?
当时，?即b 0 ?时b ? 4 ? x ? 2y? ? ? 4 , ? x ? 2y ? 2

max ? ?max ?b
4 4 ? ? 4，?0 ? b ? 4?
? 4
（3）不能,如再加条件 xy ? 0 就可使 x、y 之间建立函数关系,
? x2
?? 1? ，?x ? 0?
? b2
解析式 y ? ? （不唯一，也可其它答案）
? x2
1? ， x ? 0
? 2 ? ?
? b