四川省成都市石室中学2017届高三数学二诊试卷理科 含解析 精品

2017年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1．已知复数z=，则z的共轭复数是（）

A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i

2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）

A．﹣2 B．0 C．3 D．6

3．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）

A．B．C．D．

5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）

A．B．C．20 D．40

6．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（）

A．﹣16 B．﹣6 C．D．6

7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则

的值为（）

A．B．C．4 D．6

8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P 在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EP⊥AC；

②EP∥BD；

③EP∥面SBD；

④EP⊥面SAC，

其中恒成立的为（）

A．①③B．③④C．①②D．②③④

9．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）

A．﹣2 B．C．1 D．2

10．已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M

为△ABC的边上的动点，则的最大值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2

（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．

12．若对?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的

最大值与最小值之和是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是．

14．已知角的始边是x轴非负半轴．其终边经过点，则sinα的值为．

15．在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是．

16．数列{a n}满足，，且，则4a2018﹣a1的最大值

为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

（Ⅱ）若从年龄在[45，55）

，[55，

65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，

记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 参考数据：

K 2=

．

18．已知函数f （x ）=sinωx （ω＞0）在区间上单调递增，在区间

上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足

．

（Ⅰ）证明：b +c=2a ；

（Ⅱ）若b=c ，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB 面积的最大值．

19．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AC1⊥平面ABC，，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA1的中点．

（1）求证：CD⊥平面AB1；

（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1﹣A的大小为．

20．已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN 是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．

22．直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足|BM|=2|AM|，求直线l的方程．

2017年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1．已知复数z=，则z的共轭复数是（）

A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．

【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．

【解答】解：复数z==

所以它的共轭复数为：1﹣i

故选A

2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）

A．﹣2 B．0 C．3 D．6

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案．

【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，

∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2．

则a3=a1+2d=2+2×（﹣2）=﹣2．

故选：A．

3．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】由?﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出．

【解答】解：=（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．

由?﹣1×（2+m）﹣2×2=0，?m=﹣6．

因此“m=﹣6”是“”的充要条件．

故选：A．

4．设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【分析】解不等式f（x）＜2的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵log2x，x∈（0，5）．

∴由f（x）＜2，

得log2x＜2

解得0＜x＜4，

∴根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数x，

f（x）＜2的概率为：=，

故选D．

5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）

A．B．C．20 D．40

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：

该几何体是四棱锥，如图：

其中SA⊥平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=4，BC=1．

∴几何体的体积V=××（1+4）×4×4=．

故选：B

6．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（）

A．﹣16 B．﹣6 C．D．6

【考点】简单线性规划．

【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件（k 为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，

然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．

【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如下图：

由于目标函数z=x+3y的最大值为8，

可得直线y=x与直线8=x+3y的交点A（2，2），

使目标函数z=x+3y取得最大值，

将x=2，y=2代入2x+y+k=0得：k=﹣6．

故选B．

7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则

的值为（）

A．B．C．4 D．6

【考点】程序框图．

【分析】由已知的程序框图可知程序的功能是：计算并输出分段函数的值，比较a，

b的值，即可计算得解．

【解答】解：由已知的程序框图可知本程序的功能是：

计算并输出分段函数S=的值，

∵a=，∴log100a=lg，

∴=lg，∴lga=lg，

∴a=，

∵b=log98?log4=??=??=，

可得：a＞b，

∴S=×（﹣）=．

故选：B．

8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P 在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EP⊥AC；

②EP∥BD；

③EP∥面SBD；

④EP⊥面SAC，

其中恒成立的为（）

A．①③B．③④C．①②D．②③④

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可

得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．

（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；

（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；

（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．

【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．故选：A．

9．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）

A．﹣2 B．C．1 D．2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．

【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．

曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．

曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，

可得，并且t=，t=alns，

即，解得lns=，解得s2=e．

可得a=1．

故选：C．

10．已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M

为△ABC的边上的动点，则的最大值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值．

【解答】解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，

以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，

∵该正三角形ABC的边长为2，

∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），

E（0，﹣1），F（0，3），

当点M在边AB上时，设点M（x0，0），

则﹣≤x0≤，

∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），

∴?=﹣x02+3，

∵﹣≤x0≤，

∴?的最大值为3，

当点M在边BC上时，

∵直线BC的斜率为﹣，

∴直线BC的方程为：x+y﹣3=0，

设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，

∵=（﹣x0，x0﹣4），=（x0，x0），

∴?=2x02﹣4x0，

∵0≤x0≤，

∴?的最大值为0，

当点M在边AC上时，

∵直线AC的斜率为，

∴直线AC的方程为：x﹣y+3=0，

设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，

∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0，x0），

∴?=﹣4x02﹣4x0，

∵﹣≤x0≤0，

∴?的最大值为3，

综上，最大值为3，

故选：A．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2

（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：连接BF1，AF2，

由双曲线的定义，可得|AF2|﹣|AF1|=2a，

|BF1|﹣|BF2|=2a，

由|BF1|=|AF1|=2c，

可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，

在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2==，

在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1==，

由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，

可得+=0，

化为2c2﹣3ac﹣a2=0，

得2e2﹣3e﹣1=0，解得e=（负的舍去），

故选：C．

12．若对?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的最大值与最小值之和是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】构造h（x）=g（x）﹣3，根据函数奇偶性的定义可判定函数h（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．

【解答】解：∵?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，

∴令m=n=0时，g（0）=g（0）+g（0）﹣3，

∴g（0）=3，

令m=﹣n时，g（0）=g（﹣n）+g（n）﹣3，

∴g（x）+g（﹣x）=6，

令h（x）=g（x）﹣3，则h（x）+h（﹣x）=0即h（x）为奇函数，

奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，∴g（x）max+g（﹣x）min=6，

设F（x）=，则F（﹣x）=﹣F（x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为0，

∴．的最大值与最小值之和是6．

故选B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是ln2．

【考点】定积分在求面积中的应用．

【分析】先确定积分上限为2，积分下限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

【解答】解：曲线，直线x=1和x=2及x轴围成的封闭图形的面积=lnx|12=ln2，

故答案为：ln2．

14．已知角的始边是x轴非负半轴．其终边经过点，则sinα的

值为．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】由题意，sin（）=﹣，cos（）=﹣，利用sinα=sin（

﹣）=sin（）cos﹣cos（）sin，可得结论．

【解答】解：由题意，sin（）=﹣，cos（）=﹣

∴sinα=sin（﹣）=sin（）cos﹣cos（）sin=．

故答案为．

15．在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，

圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标

是．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．

【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，

化简得：x2+（y+1）2=4，

∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，

∴圆C与圆D相切，

∴|CD|=1或CD=3，

∵|CD|=，∴解得a=0或a=．

∴圆心C的非零横坐标是．

故答案为：．

16．数列{a n}满足，，且，则4a2018﹣a1的最大值

为﹣．

【考点】数列递推式．

【分析】先由数列的递推公式得到=﹣，再用累加法求出得

++…+=﹣，根据，得到a2018=﹣，

再根据基本不等式即可求出最值．

【解答】解：∵，

﹣1=a n（a n﹣1），

∴a n

+1

∴==﹣，

∴=﹣，

∴=﹣，

=﹣，

…，

累加可得++…+=﹣，

∵，

∴﹣=2，

∴﹣2=，

即a2018=+1==﹣，

∵a1＞，

∴2a1﹣3＞0，

∴4a2018﹣a1=2﹣﹣a1=2﹣（+）≤2﹣2﹣

=2﹣2﹣=﹣，当且仅当a1=取等号，

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

（Ⅱ）若从年龄在[45，55

），[55，

65]

的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 参考数据： K 2=

．

【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．

【分析】

（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K 2的值，即可得到结论；

（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表：

K2=≈3.429＞2.706，

所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，

P（ξ=0）==，

P（ξ=1）=+=，

P（ξ=2）=+=，

P（ξ=3）==，

所以ξ的分布列是

所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．

18．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间

上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，

且满足．

（Ⅰ）证明：b+c=2a；

（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．