2021年山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)

2021年山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01

满分100分 姓名_________ 班级_________

一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．已知集合{}|1A x x =>，则下列关系中正确的是（ ）

A ．0A ?

B ．{}0A ?

C ．A φ?

D ．{}0A ∈

【答案】C

【解析】∵{}|1A x x =>，∴0A ?，所以选项A 、B 、D 错误， 由空集是任何集合的子集，可得选项C 正确. 故选：C .

2．已知x 是实数，则使24x <成立的一个必要不充分条件是（ ）

A ．2x <±

B ．2x <

C ．2x <

D ．11x -<<

【答案】B

【解析】由24x <，可得：22x -<<，

根据题意，若要求24x <成立的一个必要不充分条件， 只要求真包含{}|22x x -<<的集合，

A 选项表达错误；

B 选项的范围包含22x -<<，正确；

C 选项的范围就是22x -<<，是充要条件，错误；

D 选项的范围是{}|22x x -<<的子集，是充分不必要条件，错误.

故选：B.

3．若a b c d ,,,

为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则||||a c b c < B ．若22ac bc <，则a b < C ．若a b <，c d <，则a c b d -<- D ．若a b <，c d <，则ac bd <

【答案】B

【解析】对于A 选项，当0c

时，不符合，故A 选项错误.

对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.

对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.

对于D 选项，由于a b c d ,,,

的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B

4．当02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(],1-∞ B ．(],2-∞ C ．(),0-∞ D ．()0,∞+

【答案】C

【解析】因为02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立， 令()2

2()211f x x x x =-+=--+，

因为02x ≤≤时，min ()0f x =， 所以0a <， 故选：C

5．下列各图中，可表示函数()y f x =图象的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】根据函数的定义，对于定义域内的每一个x 值对应唯一的y 值，则只有D 满足条件； 故选：D

6．若函数(

)

2

1

()22m f x m m x

-=--是幂函数，则m =（ ）

A ．3

B ．1-

C ．3或1-

D ．1±【答案】C

【解析】因为函数(

)

2

1

()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,

解得1m =-或3m =. 故选:C

7．计算2

10232983

()( 2.5)()()4272

----+的结果为（ ）

A ．

52

B ．

12

C ．

2518

D ．

32

【答案】B

【解析】2

10232983344

()( 2.5)()()14272299

----+=--+

12

=

；

故选：B.

8．已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(－1，5) B ．(－1，4)

C ．(0，4)

D ．(4，0)

【答案】A

【解析】当10x +=，即1x =-时，011x a a +==，为常数， 此时()415f x =+=，即点P 的坐标为(－1，5).

故选：A.

9．设a ＝

1

32

，b ＝

2

31()4

，c ＝21log 2，则（ ）

A ．a ＞b ＞c

B ．a ＞c ＞b

C ．b ＞a ＞c

D ．b ＞c ＞a

【答案】A

【解析】2

41

3

332214b -

??= ??=

，

0b a ∴<<，

又2

1

log 12

c ==-， a b c ∴>>.

故选：A.

10．已知tan 4α=，则cos2=α（ ） A ．

725

B ．725

-

C ．

1517

D ．1517

-

【答案】D

【解析】因为tan 4α=，

所以222222

cos sin 1tan 11615

cos 2cos sin 1tan 11617

a a a a a a α---====-+++ 故选：D.

11．化简cos16cos44cos74sin 44??-??的值为（ ）

A

B

． C ．

12

D ．12

-

【答案】C

【解析】（方法一）cos16cos44cos74sin 44??-??cos16cos44sin16sin 44=??-??

()1

cos 1644cos602

=?+?=?=

， （方法二）cos16cos44cos74sin 44??-??sin74cos44cos74sin 44=??-??()

sin 7444=?-?1sin 302

=?=

， 故选：C ．

12．函数1

2sin 2

4y x π??=+

???的周期，振幅，初相分别是（ ）

A ．

,2,

4

4

π

π

B ．4,2,4

π

π--

C ．4,2,

4

π

π

D ．2,2,4

π

π-

【答案】C

【解析】因为1

2sin 2

4y x π??=+ ???，所以2412

T π

π==，

当0x =，初相为

4

π

；由解析式可知振幅为2， 故选：C.

13．已知,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→

-⊥，则2a b →→

-=（ ）

A ．1 B

C ．2

D 【答案】B

【解析】因为,a b →→

为单位向量，且(2)a b b →

→

→

-⊥，所以20a b b →→→

??-?= ???

，

所以2

21a b b →→

→?==，

所以2a b →→-=

==

故选：B .

14．在ABC 中，1BC =，AB =

3

C π

=

，则A =（ ）.

A ．6π或

56

π

B ．6

π

C ．

23

π D ．

3

π 【答案】B

【解析】由正弦定理可得：

sin sin BC AB

A C =，

代入可得：1

sin A

=

， 解得1sin 2

A =

， 因为在ABC 中，所以0A π<<， 所以6

A π

=

或56

A π=

，

AB BC >，所以C A >，

所以6

A π

=

，

故选：B.

15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2,cos 10

a c B ===

则b =（ ）

A B

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】因为2,cos 10

a c B ===

∴

由余弦定理可得2222cos 35422a c ac b B =+-=+-=，

所以b =故选：B ．

16．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）

A B ．

3

C ．

83

D ．8

【答案】C

【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333

V Sh ==??=. 故选：C .

17．下列命题中正确的是（ ）

A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α

B ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】D

【解析】选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;

选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;

选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误;

选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确,

故选:D

18．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）

A ．

23

B ．

13

C ．

35

D ．

14

【答案】B

【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，

()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；

第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，

()4,1,23，有6种分法；

第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，

()

2,34,1，有6种分法；共有18种分法，

则2，3连号的概率为

61

183 P==.

故选：B.

19．下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入?城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知，该地区2006年~2018年（）

A．财政预算内收入?城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势

B．财政预算内收入?城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同

C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量

D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大

【答案】D

【解析】由图知，财政预算内收入2006、2007、2008年没有明显变化，故AB错；

由图可知，财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，故C错；

由图可知，城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增，即D正确.

故选：D．

20．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）

A ．EF 与1B

B 垂直

B ．EF 与BD 垂直

C ．EF 与C

D 异面 D ．EF 与11A C 异面

【答案】D

【解析】如图所示，连结1A B ，由几何关系可得点E 为1A B 的中点，且1BF FC =，

由三角形中位线的性质可得：11EF AC ，即EF 与11A C 不是异面直线，

很明显，EF 与CD 异面，

由几何关系可得：11111,AC BB AC BD ⊥⊥，则1,EF BB EF BD ⊥⊥， 综上可得，选项D 中的结论不成立. 本题选择D 选项.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分

21．已知0,0x y >>，则12(2)x y x y ??

++

??

?的最小值为__________. 【答案】8

【解析】由0,0x y >>，

可得：124(2)2248x y x y x y y x ??++=+++≥+=

???

. 当且仅当4x y

y x

=，即2y x =时取得最小值8. 故答案为：8.

22．已知函数2,[0,2]

(),(2,4]x x f x x x -∈?=?∈?

，则()()13f f +=__.

【答案】4.

【解析】

函数2,[0,2]

(),(2,4]

x x f x x x -∈?=?

∈?，

所以()1211f =-=，()33f =，

()()134f f ∴+=.

故答案为：4.

23．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________. 【答案】

35

【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，

所以

3cos 5

x r α=

==， 故答案：

35 24．若1sin 63πα??+

= ??

?

，则cos 3

πα??

-= ??

?

________. 【答案】

13

【解析】因为632ππ

παα????+

+-= ? ??

???，所以1cos cos sin 32663ππππααα???????

?-=-+=+= ? ? ??????????

?. 故答案为：

1

3

. 25．复数

21i

i

+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】一

【解析】复数

()()()22122211112

i i i i i i i i i --===+++- 复数对应的点(1,1)．在第一象限．

故答案为：一

三、解答题：本大题共3小题，共25分. 26．（本小题8分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别为棱11,AC A B 的中点，且AB BC =

（1）求证：平面BMN ⊥平面11ACC A ；

（2）求证：MN ∥平面11BCC B .

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【解析】(1)证明：因为M 为棱AC 的中点，且AB BC =， 所以BM AC ⊥，

因为111ABC A B C -是直三棱柱，

所以1AA ABC ⊥平面， 因为BM ABC ?平面， 所以1AA BM ⊥，

又因为111,AC A A ACC A ?平面，且1AC A A A ?=，

所以11BM ACC A ⊥平面， 因为BM BMN ?平面， 所以平面11BMN ACC A ⊥平面.

(2)取BC 的中点P ，连接1B P 和MP ，

因为M P 、为棱AC BC 、的中点， 所以MP AB ，且1

2

MP AB =

， 因为111ABC A B C -是棱柱，

所以1111,A B AB A B AB =，

因为N 为棱11A B 的中点，

所以1B N BA ，且11

2

B N BA =

， 所以1B N PM ，且1B N PM =，

所以1MNB P 是平行四边形，

所以1MN

PB ，

又因为11111,MN BCC B PB BCC B ??平面平面，

所以11MN

BCC B 平面.

27．（本小题8分）

2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【答案】（1）25小时；（2）0.3.

【解析】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，

∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为

2030

252

+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，

∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =?=. 28．（本小题9分） 在①

sin sin sin sin A C A B

b a c

--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问

题中的横线上，并解答.

在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ；

（2）若c =

，a b +=ABC 的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）3

C π

=

；（2）

2

. 【解析】（1）若选①：

由正弦定理得

a c a b

b a c

--=+， 所以222a c ab b -=-，

由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2

C =

， 因为()0,C π∈，所以3

C π

=.

若选②：

由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，

即sin()2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =，

因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2

C =

， 所以3

C π

=

.

（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 得225a b ab =+-，

即2

5()3a b ab =+-，解得2ab =，

则ABC 的面积11sin 22222

ABC

S

ab C =

=??=

，

故ABC 的面积为

2

.