圆的一般方程导学案
4.1.2圆的一般方程导学案
【使用说明】：1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提升。
2.认真限时完成，规范书写：课上小组合作探讨，答疑解惑。
【重难点】：重点： 圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根
据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．
难点： 对圆的一般方程的理解、掌握和使用王新敞
一．学习目标：
1. 能用配方法由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
2. 通过对方程x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际水平。渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法。
3小组成员积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，以高度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
二、问题导学：
1.圆的标准方程是_____________________________，展开
为 ，可见任何一个圆的方程都能够写成二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的形式，．那么如果给出一个二元二次方程形如
022=++++F Ey Dx y x ，它表示的曲线是否一定是圆呢？ 2．将方程02
2=++++F Ey Dx y x 配方，得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （1）当0_422F E D -+时，表示以 为圆心, 为半径
的圆；（2）当0__422F E D -+时，方程只有一个实数解2D x -
=，2E y -=，即表示点（-2D ，-2E ）；（3）当0__422F E D -+时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞 综上所述，方程02
2=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆王新敞
只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如02
2=++++F Ey Dx y x （ ）叫作圆的一般方程。
3．圆的一般方程是 元 次方程。但并不是所有的 元 次方程都可表示圆。
所以方程Ax 2+B 2y +Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的必须具备的条件： （1）①2x 和2
y 的系数 ，且不等于 ，A=B 0≠；（2）没有 这样的二次项；
（3）0_____422F E D -+；
（4）确定圆的一般方程，只要根据 个相互独立的已知条件确定系数F E D ,,就能够了。
例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，求出圆的圆心及半径。
22
+-+-=
(2)4484150
x y x y
(1)46120
x y x y
++--=；22
例2.（1）圆的方程为(x-1)(x-2)+(y-2)(y+4)=0，则圆心坐标为__________r=___ （2）若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（2，4）为圆心，4为半径的圆，则D=______，E=_____，F=______
（3）若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0过原点，则F=____，若该圆心在x轴上，则E=___，若该圆心在y轴上，则D=____。
例3、(1)求过三点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的圆的方程。
（2）求过点A（1，1），B（-3，5），且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的方程。
2的圆的方（3）求与直线y=x相切，圆心在直线y=3x上，且被y轴截得的弦长为2
程。
例4、（1）判断下列各点与圆x2+y2-2x+6y+8=0的位置关系。
(0，0) (1，-2)
（2）已知点（a+1，a-1）在圆x2+y2-x+y-4=0的外部，求a的取值范围
四．深化提升：
1．方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是（）
A 一个点
B 一个圆
C 一条直线D不存有
2.x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ=0表示一个圆，求λ的取值范围
3．求圆心在y轴上，经过点C（3，-5），且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程。
4．已知A 是Rt △ABC 的直角顶点，且 A （a,2）,B(-4,a)，C(a+1,1)，求△ABC 外接圆的方程.
5. 求圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0关于直线x －y+3=0对称的圆的方程
6．(1)求经过P(-1,3),Q(1,-1)两点的面积最小的圆的方程
（2）已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0，当该圆的面积取最大值时，求圆心坐标。
(3)若实数x,y 满足,042241022=--++y x y x 求x 2+y 2
的最小值。
*7求经过A （4，2）、B （-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程
五．小结：当由已知条件易求得______________________，常选用标准方程；
当已知条件易得____________________________，常选用一般方程。
六．当堂检测：
1、圆x 2＋y 2-2x+4y+3=0上的点到直线x-y=1的距离d 的范围是 .
2、点M、N在圆x2＋y2+kx+2y-4=0上，且点M、N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的半径为.
3、当点P在圆x2＋y2=2上运动时，它与定点A（3,1）所连线段中点Q的轨迹方程为.
4、方程x2＋y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的范围是.
５、已知圆心既在直线2x-3y+1=0上，又在直线4x+5y-9=0上，自圆外一点P（4，5）向圆引切线，切线长为3，求圆的方程。