8字模型与飞镖模型模型1:角的8字模型
如图所示,AC 、BD 相交于点O ,连接AD 、BC . 结论:∠A +∠D =∠B +∠C .
O
D
C B
A
模型分析 证法一:
∵∠AOB 是△AOD 的外角,∴∠A +∠D =∠AOB .∵∠AOB 是△BOC 的外角, ∴∠B +∠C =∠AOB .∴∠A +∠D =∠B +∠C . 证法二:
∵∠A +∠D +∠AOD =180°,∴∠A +∠D =180°-∠AOD .∵∠B +∠C +∠BOC =180°, ∴∠B +∠C =180°-∠BOC .又∵∠AOD =∠BOC ,∴∠A +∠D =∠B +∠C . (1)因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型. (2)8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
模型实例
观察下列图形,计算角度:
(1)如图①,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =________;
图图①
F
D C B
A
E E
B
C
D
A
图③
2
1O A
B
图④
G F 12
A
B E
解法一:利用角的8字模型.如图③,连接CD .∵∠BOC 是△BOE 的外角, ∴∠B +∠E =∠BOC .∵∠BOC 是△COD 的外角,∴∠1+∠2=∠BOC . ∴∠B +∠E =∠1+∠2.(角的8字模型),∴∠A +∠B +∠ACE +∠ADB +∠E
=∠A +∠ACE +∠ADB +∠1+∠2=∠A +∠ACD +∠ADC =180°.
解法二:如图④,利用三角形外角和定理.∵∠1是△FCE 的外角,∴∠1=∠C +∠E .
∵∠2是△GBD 的外角,∴∠2=∠B +∠D .
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠1+∠2=180°.
(2)如图②,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________.
图②
F
D
C
B
A
E
312图⑤
P O Q
A B
F
C D
图⑥
2
1
E
D
C
F
O
B
A
(2)解法一: 如图⑤,利用角的8字模型.∵∠AOP 是△AOB 的外角,∴∠A +∠B =∠AOP . ∵∠AOP 是△OPQ 的外角,∴∠1+∠3=∠AOP .∴∠A +∠B =∠1+∠3.①(角的8字模型),同理可证:∠C +∠D =∠1+∠2.② ,∠E +∠F =∠2+∠3.③
由①+②+③得:∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =2(∠1+∠2+∠3)=360°.
解法二:利用角的8字模型.如图⑥,连接DE .∵∠AOE 是△AOB 的外角, ∴∠A +∠B =∠AOE .∵∠AOE 是△OED 的外角,∴∠1+∠2=∠AOE . ∴∠A +∠B =∠1+∠2.(角的8字模型)
∴∠A +∠B +∠C +∠ADC +∠FEB +∠F =∠1+∠2+∠C +∠ADC +∠FEB +∠F
=360°.(四边形内角和为360°) 练习:
1.(1)如图①,求:∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ;
图
图①
O
O
E
E
D
D
C
C
B
B
A
A
解:如图,∵∠1=∠B+∠D ,∠2=∠C+∠CAD ,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°. 故答案为:180° 解法二:
(2)如图②,求:∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = .
图②
O
E
D
C
B
A
解:由三角形的外角性质,知∠BAC=∠E+∠ACE,∠EAD=∠B+∠D,
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E =180°
解法二:
2.如图,求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=.H
G
F
E
D
C
B
A
解:∵∠G+∠D=∠3,∠F+∠C=∠4,∠E+∠H=∠2,
∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2,
∵∠B+∠2+∠1=180°,∠3+∠5+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
解法二:
模型2:角的飞镖模型
如图所示,有结论:∠D=∠A+∠B+∠C.
C图①图②
模型分析
解法一:如图①,作射线AD.
∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠B+∠1,∵∠4是△ACD的外角,∴∠4=∠C+∠2
∴∠BDC=∠3+∠4,∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
解法二:如图②,连接BC.
∵∠2+∠4+∠D=180°,∴∠D=180°-(∠2+∠4)
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°,∴∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4)∴∠D
=∠A+∠1+∠3.
(1)因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.
模型实例
如图,在四边形ABCD中,AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB,
AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系.
解答:利用角的飞镖模型
如图所示,连接DM并延长.∵∠3是△AMD的外角,∴∠3=∠1+∠ADM,
∵∠4是△CMD 的外角,∴∠4=∠2+∠CDM ,∵∠AMC =∠3+∠4 ∴∠AMC =∠1+∠ADM +∠CDM +∠2,∴∠AMC =∠1+∠2+∠ADC .(角的飞镖模型)
∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ,∴12BAD ∠∠=
,22BCD
∠∠=, ∴22
BAD BCD
AMC ADC ∠∠∠=++∠,
∴()3602B ADC AMC ADC ?-∠+∠∠=+∠(四边形内角和360°),∴3602
B ADC
AMC ?-∠
+∠∠=,∴2∠AMC +∠B -∠ADC =360°.
练习:
1.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
D
E
【答案】230°
提示:∠C+∠E+∠D=∠EOC=115o.(飞镖模型),∠A+∠
B+∠F=∠BOF=115o.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115o+115o=230o 2.如图,求∠A+∠B+
∠C+∠D= .
A
A
【答案】220°
提示:如图所示,连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1,∠BFC=∠2+∠4+∠C ,
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220o
模型3 边的“8”字模型
如图所示,AC 、BD 相交于点O ,连接AD 、BC .结论AC+BD>AD+BC .
C
A
模型分析
∵OA+OD>AD①, OB+OC>BC②,由①+②得: OA+OD+OB+OC>BC+AD 即:AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证:(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD;
(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
B
证明:(1)∵AB+BC>AC①, CD+AD>AC②, AB+AD>BD③, BC+CD> BD④由①
+②+③+④得: 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即
AB+BC+CD+AD >AC+BD.
(2) ∵AD ,BC ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论:AB+AC> BD+CD. B 模型分析 如图,延长BD 交AC 于点E 。 ∵AB+AC=AB+AE+EC ,AB+AE>BE ,∴ AB+A C>BE+EC.① ,∵BE+EC=BD+DE+EC , DE+EC> CD ,∴BE+EC>BD+CD. ② ,由①②可得:AB+AC>BD+CD. 模型实例 如图,点O 为三角形内部一点. 求证:(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ; (2) AB+BC+AC>AO+BO+CO. B B 证明:(1)∵OA+OB>AB ①, OB+OC>BC ②, OC+OA>AC ③ 由①+②+③得: 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC (2)如图,延长BO 交AC 于点E , ∵AB+AC=AB+AE+EC , AB+AE>BE , ∴AB+AC>BE+EC. ① ∵BE+EC=BO+OE+EC , OE+EC>CO ,∴BE+EC>BO+CO ,② 由①②可得: AB+AC>BO+CO.③(边的飞镖模型) 同理可得: AB+BC>OA+OC.④ ,BC+AC>OA+OB.⑤ 由③+④+⑤得: 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+AC>AO+BO+CO. 1.如图,在△ABC 中,D 、E 在BC 边上,且BD=CE 。求证:AB+AC>AD+AE. B 【答案】 证法一:如图①,将AC 平移至BF ,AD 延长线与BF 相交于点G ,连接DF 。 由平移可得AC=BF ,∵AC ∥BF ,∴∠ACE=∠BFD ,∵BD=CE ∴△AEC ≌△FDB ,∴DF=AE 如图,延长AD 交BF 于点G ,∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG , ∴AB+BF>AG+GF ① ,∵AG+GF=AD+DG+GF , ∵DG+GF>DF , ∴AG+GF>AD+DF ② ,由①②可得:AB+BF>AD+DF.(飞镖模型) ∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE. B 证法二:如图②,将AC 平移至DF ,连接BF ,则AC=DF ,∵ AC ∥DF ,∴∠ACE=∠FDB. ∵BD=CE ,∴△AEC ≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD ①, OB+OF>BF ② 由①+②得:OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.(8字模型) ∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE. F 2.观察图形并探究下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由. (1)如图①,△ABC 中,P 为边BC 一点,请比较BP+PC 与AB+AC 的大小,并说明理由. (2)如图②,将(1)中的点P 移至△ABC 内,请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由. (3) 图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ,请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由. B B B 【答案】 (1)如图①,BP+PC 理由:三角形两边之和大于第三边。(或两点之间线段最短) (2)△BPC 的周长小于△ABC 的周长。 证明:如图②,延长BP 交AC 于M 。在△ABM 中,BP+PM 在△PMC 中,PC B (3)四边形12BPP C 的周长小于△ABC 的周长。 证法一:如图③,分别延长1BP 、2CP 交于M ,由(2)知, BM+CM 又∵12P P <1 2PM P M ,∴1BP +12P P +2P C B B 证法二:如图④,做直线12P P 分别交AB 、AC 于M 、N 。在△BM 1P 中,1BP 在△AMN 中,1MP +12P P +2P N 为大家整理的资料供大家学习参考,希望对大家能有帮助,非常感谢大家的下载,以后会为大家提供更多实用的资料。