【6套合集】浙江省杭州高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分24分，每小题3分）

1．下列说法正确的是（）

A．0是无理数B．π是有理数C．4是有理数D．是分数2．12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（）

A．0.26×103B．2.6×103C．0.26×104D．2.6×104

3．下列计算错误的是（）

A．4x3?2x2＝8x5B．a4﹣a3＝a

C．（﹣x2）5＝﹣x10D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

4．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（）

A．B．C．D．

5．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）

A．∠1+∠3＝180°B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6

6．解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（）

A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）

C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）

7．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：

（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；

（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；

（3）作射线OC交AB边于点P．

那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）

A．一条中线B．一条高

C．一条角平分线D．不确定

8．如图，平面内一个⊙O半径为4，圆上有两个动点A、B，以AB为边在圆内作一个正方形ABCD，则OD的最小值是（）

A．2 B．C．2﹣2 D．4﹣4

二．填空题（满分30分，每小题3分）

9．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则a b的值为．

10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是．

11．因式分解：9a3b﹣ab＝．

12．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是．

13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．

14．如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是．

15．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．

16．反比例函数y＝﹣图象上三点的坐标分别为A（﹣1，y

1），B（1，y

2

），C（3，y

3

），

则y

1，y

2

，y

3

的大小关系是（用“＞”连接）

17．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA 的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）

18．如图1，在等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC 于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为．

三．解答题

19．（8分）（1）计算：2cos60°﹣（﹣π）0+﹣（）﹣2

（2）解不等式组：，并求不等式组的整数解．

20．（8分）先化简，再求值：（）?（x2﹣1），其中x是方程x2﹣4x+3＝0的一个根．

21．（8分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了名学生；

（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为度；

（3）请将频数分布直方图补充完整；

（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？

22．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．

（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；

（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．

23．（10分）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同

（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？

（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此求的比例购买这4000件物品，而筹集资金多少元？

24．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF （1）求证：四边形AEDF为菱形；

（2）试探究：当AB：BC＝，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

25．（10分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F．求证：BE＝CF．

26．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面

的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

27．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC 上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；

（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；

（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N 是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；

（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

参考答案

一．选择题

1．解：A、0是有理数，所以A选项错误；

B、π不是有理数，是无理数，所以B选项错误；

C、4是有理数中的正整数，所以C选项正确；

D、是一个无理数，所以选项D错误．

故选：C．

2．解：2.6万用科学记数法表示为：2.6×104，

故选：D．

3．解：A、4x3?2x2＝8x5，故原题计算正确；

B、a4和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；

C、（﹣x2）5＝﹣x10，故原题计算正确；

D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原题计算正确；

故选：B．

4．解：由主视图定义知，该几何体的主视图为：

故选：A．

5．解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b；

B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b；

C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b；

D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b；

故选：C．

6．解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

故选：D．

7．解：利用作法可判断OC平分∠AOB，

所以OP为△AOB的角平分线．

故选：C．

8．解：如图，连接OA，OB，将△OAB绕点A逆时针旋转90°得到△PAD，则OA＝PD＝4，∠OAP＝90°，

∴OP＝＝4，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝99°，

∴∠DBP＝∠BAO，

∴△DBP≌△ABO（SAS），

∴PD＝OA＝4，

∵OD+PD≥OP，

∴OD≥OP﹣PD＝4﹣4．

故选：D．

二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

9．解：∵b＝+﹣2，

∴1﹣2a＝0，

解得：a＝，

则b＝﹣2，

故a b＝（）﹣2＝4．

故答案为：4．

10．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，

则cos∠B AC＝＝，

故答案为：．

11．解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．

故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）

12．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，∴，

解得：k＝．

故答案为：．

13．解：向左转的次数45÷5＝9（次），

则左转的角度是360°÷9＝40°．

故答案是：40°．

14．解：由一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，根据图象可知：x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2，

故答案为：x＜2．

15．解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．

16．解：反比例函数y＝﹣图象在二、四象限，

点A在第二象限，y

1

＞0，

点B、C都在第四象限，在第四象限，y随x的增大而增大，且纵坐标为负数，所以y

2

＜

y

3

＜0，

因此，y

2＜y

3

＜0＜y

1

，即：y

1

＞0＞y

3

＞y

2

．

故答案为：y

1＞y

3

＞y

2

．

17．解：延长DC，CB交⊙O于M，N，

则图中阴影部分的面积＝×（S

圆O ﹣S

正方形ABCD

）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，

故答案为：π﹣1．

18．解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CPD，