演绎推理经典14种方法20例题详解

演绎推理经典14种方法20例题详解

一、矛盾关系的推理

矛盾关系是指两个语句或命题之间不能同真（必有一假），也不能同假（必有一真）。

不能同真，就是说当其中一个命题真时，另一个命题必假；不能同假，就是说当其中一个命题假时，另一个命题必真。例如，“我们单位所有职工都买了保险”与“我们单位有些职工没有买保险”之间是矛盾关系，“我们单位所有职工都没有买保险”与“我们单位有些职工买了保险”之间也是矛盾关系，“张云是总经理”与“张云不是总经理”之间也具有矛盾关系。

根据直言命题之间的矛盾关系必有一真，必有一假，我们可以求解一些问题。

例题1

莎士比亚在《威尼斯商人》中，写富家少女鲍细娅品貌双全，贵族子弟、公子王孙纷纷向她求婚。鲍细娅按照其父遗嘱，由求婚者猜盒定婚。鲍细娅有金、银、铅三个盒子，分别刻有三句话，其中只有一个盒子，放有鲍细娅肖像。求婚者通过这三句话，猜中鲍细娅的肖像放在哪只盒子里，就嫁给谁。三个盒子上刻的三句话分别是：

（1）金盒子：“肖像不在此盒中。”

（2）银盒子：“肖像在铅盒中。”

（3）铅盒子：“肖像不在此盒中。”

鲍细娅告诉求婚者，上述三句话中，最多只有一句是真的。如果你是一位求婚者，如何尽快猜中鲍细娅的肖像究竟放在哪一个盒子里？

A．金盒子。B．银盒子。C．铅盒子。D．要么金盒子要么银盒子。E．不能确定。

例题2

某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审。四人的口供如下：

甲：案犯是丙。

乙：丁是罪犯。

丙：如果我作案，那么丁是主犯。

丁：作案的不是我。

四个口供中只有一个是假的。

如果上述断定为真，那么以下哪项是真的？

A．说假话的是甲，作案的是乙。B．说假话的是丁，作案的是丙和丁。

C．说假话的是乙，作案的是丙。D．说假话的是丙，作案的是丙。

E．说假话的是甲，作案的是甲。

二、三段论

三段论就是指由三个命题构成的推理。具体说来，三段论是由包含着一个共同因素（逻辑中介）的两个命题推出一个新的命题的推理。例如：

所有阔叶植物都是落叶的，

所有葡萄树都是阔叶植物，

所以，所有葡萄树都是落叶的。

上述推理中的共同因素就是“阔叶植物”。进行三段论推理，关键就是要看这个共同因素能否把两个前提连接起来推出结论。如果连接不起来，则三段论就是错误的。例如，英雄难过美人关，

我难过美人关，

所以，我是英雄。

上述推理的错误就是“难过美人关”这个共同因素没有能够把两个前提必然地连接起来。因为很可能英雄是难过美人关的一种人，但我却是难过美人关的另一种人。

例题1

在某住宅小区的居民中，大多数中老年教员都办了人寿保险，所有买了四居室以上住房的居民都办了财产保险。而所有办了人寿保险的都没办理财产保险。

如果上述断定是真的，以下哪项关于该小区居民的断定必定是真的？

Ⅰ有中老年教员买了四居室以上的住房。

Ⅱ有中老年教员没办理财产保险。

Ⅲ买了四居室以上住房的居民都没办理人寿保险。

A．Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。B．仅Ⅰ和Ⅱ。C．仅Ⅱ和Ⅲ。D．仅Ⅰ和Ⅲ。E．仅Ⅱ。

三、条件关系推理

条件关系主要有三种，即充分条件关系、必要条件关系和充要条件关系。三种条件关系可以分别表达为：

充分条件：有之必然，无之未必不然必要条件：无之必不然，有之未必然与上述条件关系相对应，就有相应的条件关系命题，即充分条件命题、必要条件命题和充要条件命题。例如：

a.如果天下雨，那么地湿。

b.只有年满18岁，才有选举权。

在条件命题中，表示事物情况存在的条件的部分称为前件，表示依赖条件而存在的部分称为后件。

（1）充分条件命题只要在前件为真，并且后件为假时才是假的，其他情况下都是真的。

在日常语言中，“如果…就…”、“有…就有…”、“倘若…就…”、“哪里有…哪里就有…”、“一旦…就”、“假若…则…”、“只要…就…”等联结词都能表达充分条件命题。

（2）必要条件命题只有在前件为假并且后件为真时才是假的，其他情况下都是真的。

在日常语言中，“没有…就没有…”、“不…不…”、“除非…不…”、“除非…才…”、“除非…否则不…”、“如果不…那么不…”等联结词都能表达必要条件命题。

充分条件和必要条件之间存在着密切的联系，这就是：

如果p是q的充分条件，那么q就是p的必要条件；如果p是q的必要条件，那么q就是p的充分条件。

充分条件推理有两个有效的推理形式：

（1）肯定前件式：如果p，那么q，即p→q；（2）否定后件式：如果p，那么q，即非q→非p。

必要条件推理有两个有效的推理形式：

（1）否定前件式：只有p，才q，即非p→非q。（2）肯定后件式：只有p，才q，即q→p。

例题1

“只有认识错误，才能改正错误。”以下诸项都准确表达了上述断定的含义，除了：A．除非认识错误，否则不能改正错误。B．如果不认识错误，那么不能改正错误。

C．如果改正错误，说明已经认识了错误。D．认识错误，是改正错误的必不可少的条件。

E．只要认识错误，就一定改正错误。例题2

世界级的马拉松选手每天跑步都不超过6小时。一名选手每天跑步超过6小时，因此他不是一名世界级马拉松选手。以下哪项与上文推理形式相同？

A．跳远运动员每天早晨跑步。如果某人早晨跑步，那么他是跳远运动员。

B．如果每日只睡4小时，对身体不利。研究表明，最有价值的睡眠都发生在入睡后的第5个小时。

C．家长和小孩做游戏时，小孩更高兴。因此，家长应该多作游戏。

D．如果某汽车早晨能起动，那么晚上也能起动。我们的车早晨通常能起动，同样，它晚上通常也能起动。

E．油漆三小时内都不会干。某涂料在三小时内干了，所以它不是油漆。

四、归纳推理

归纳推理是以个别性知识为前提而推出一般性知识为结论的推理。根据前提中是否考察了一类事物的全部对象，可以将归纳推理分成完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理是根据某类事物中每一对象都具有某种属性，推出该类事物对象都具有某种属性的推理。

不完全归纳推理是根据一类事物中的部分对象具有某种属性，推出该类事物对象都具有某种属性的推理。

根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。简单枚举归纳推理是以经验认识为主要依据，根据一类事物中部分对象具有某种属性，并且没有遇到反例，从而推出该类所有对象都具有某种属性的推理。科学归纳推理是以科学分析为主要依据，根据某类事物中部分对象与其属性之间的内在联系，推出该类事物的全部对象都具有某种属性的推理。

简单枚举归纳推理的根据是经验性的认识。在考察中没有遇到反例并不等于反例不存在。一旦出现反例，则原来的结论就会被推翻。所以，简单枚举归纳推理的结论不是很可靠的。科学归纳推理的特点是，由于前提中考察了事物对象与其属性之间的内在联系，所以，结论的可靠性比较大。对于科学归纳推理而言，前提数量的多少不起主要作用，只要是真正揭示了事物对象与其属性之间的因果必然联系，尽管前提的数量不多，甚至只考察了一两个典型事例也能得到非常可靠的结论。关于这一点，恩格斯说得好：十万部蒸汽机并不比一

部蒸汽机能更多地证明热能转化为机械运动。这一论断，无疑说明了科学归纳推理的科学性质。

研究事物现象间的因果联系，是进行科学归纳推理的必要条件。因为科学归纳推理是根据事物现象间的因果联系的分析而作出结论的。那么，我们首先应该弄清楚的是：什么是因果联系？如果某个现象的存在必然引起另一个现象发生，那么这两个现象之间就具有因果联系。

其中，引起某一现象产生的现象叫做原因，而被某一现象引起的现象叫做结果。

因果联系有以下特点：

（1）原因和结果在时间上是前后相继的

原因在前，结果在后。前后相继是因果联系的一个特征，但不能只是根据两个现象在时间上前后相继，就作出它们具有因果联系的结论，如果这样，就要犯“以先后为因果”的逻辑错误。例如，不能以冬天发生在春天的前面，就说冬天是春天的原因。

（2）因果联系是确定的

因果联系在一定范围内是确定的。原因就是原因，结果就是结果，不能倒因为果，也不能倒果为因。否则就会出现“因果倒置”的逻辑错误。例如：“发达国家都拥有大量的私人轿车，为了缩短与发达国家的差距，我国也应该大量发展私人轿车”这一论述就犯了“因果倒置”的逻辑错误。

在弄清楚什么是因果联系之后，接下来我们需要着重弄清楚的是：如何探求事物现象间的因果联系呢？逻辑上提出了探求事物现象间因果联系的五种方法，简称求因果五法，即求同法、求异法、求同求异并用法、共变法和剩余法。这里只介绍求同法和求异法。

求同法是指在被研究现象发生变化的若干场合中，如果只有一个情况是在这些场合中共同具有的，那么这个惟一的共同情况就是被研究现象的原因。

例如，从井里向上提水，当水桶还在水中时不觉得重，水桶一离开水面就重得多；在水里搬运木头，要比在岸上搬轻得多；游泳时容易托起一个在水里的人。以上现象虽然各自的情况不尽相同，但都有一个共同的情况，即水对于在它里面的物体能产生浮力，而这正是使得人们感到物体在水中变轻现象发生的原因。

求同法可用下列图式表示：

场合相关情况被研究现象

（1）A，B，Ca

（2）A，D，Ea

（3）A，F，Ga

………

A是a的原因

运用求同法时需要注意，各个场合是否还有其他共同情况。如果还有其他共同情况，那么很可能其他的共同才是被研究现象发生的原因。

求异法是指在被研究现象出现和不出现的两个场合中，如果只有一个情况不同，其他情况完全相同，而且这个惟一不同的情况在被研究现象出现的场合中存在，在被研究现象不出现的场合中不存在，那么这个惟一不同的情况就是被研究现象的原因。

例如，有两块土质、品种、耕作技术都相同的油菜田，其中一块用蜜蜂帮助授粉，结果有蜜蜂帮助授粉的田比没有蜜蜂帮助授粉的田油菜籽的单位面积产量增加37.5%。因此，用蜜蜂为油菜授粉可以增产。由于两块田除有无蜜蜂帮助授粉外，其他情况完全相同。有蜜蜂帮助授粉则产量高，无蜜蜂帮助授粉则产量低，因此，可以通过求异法断定，蜜蜂授粉是油菜增产的原因。

求异法可用下列图式表示：

场合相关情况被研究现象

（1）A，B，Ca

（2）—，B，C—

A是a的原因

运用求异法时需要注意，正反两个场合中是否还有其他差异情况，否则，很可能其他的差异情况才是被研究现象发生的原因。

例题1

母亲：这学期冬冬的体重明显下降，我看这是因为他的学习负担太重了。

父亲：冬冬体重下降和学习负担没有关系。医生说冬冬营养不良，我看这是冬冬体重下降的原因。

以下哪项如果为真，最能对父亲的意见提出质疑？

A．学习负担过重，会引起消化紊乱，妨碍对营养的正常吸收。

B．隔壁松松和冬冬一个班，但松松是个小胖墩，正在减肥。

C．由于学校的重视和努力，这学期冬冬和同学们的学习负担比上学期有所减轻。

D．现在学生的普遍问题是过于肥胖，而不是体重过轻。

E．冬冬所在的学校承认学生的负担偏重，并正在采取措施解决。

例题2

华侨大学的30名学生近日答应参加一项旨在提高约会技巧的计划。在参加这项计划前一个月，他们平均已经有过一次约会。30名学生被分成两组：第一组与6名不同的志愿者进行6次“实习性”约会，并从约会对象得到对其外表和行为的看法的反馈；第二组仅为对照组。

在进行实习性约会前，每一组都要分别填写社交忧惧调查表，并对其社交的技巧评定分数。

进行实习性约会后，第一组需要再次填写调查表。结果表明：第一组较之对照组表现出更少社交忧惧，在社交场合更多自信，以及更易进行约会。显然，实际进行约会，能够提高我们社会交际的水平。

以下哪项如果为真，最可能质疑上述推断？

A．这种训练计划能否普遍开展，专家们对此有不同的看法。

B．参加这项训练计划的学生并非随机抽取的，但是所有报名的学生并不知道实验计划将要包括的内容。

C．对照组在事后一直抱怨他们并不知道计划已经开始，因此，他们所填写的调查表因对未来有期待而填得比较忧惧。

D．填写社交忧惧调查表时，学生需要对约会的情况进行一定的回忆，男学生普遍对约会对象评价较为客观，而女学生则显得比较感性。

E．约会对象是志愿者，他们在事先并不了解计划的全过程，也不认识约会的实验对象。

五、削弱一个论证

此类题型的特点是题干中给出一个完整的论证或者表达某种观点，要求从备选项中寻找到最能反驳或削弱题干的选项。此类试题的提问方式一般是：

“以下哪项如果为真，最能削弱上述论证？”

“以下哪项如果为真，能够最有力地削弱上述论证的结论？”

“以下哪项如果为真，最可能削弱上述推断？”

解答该种试题时，考生可以直接去寻找最能削弱题干的选项。所谓削弱题干，也就是要与题干唱反调。一般来说，削弱题干有两种方式。一是截断题干中的论据与论题的逻辑联系，又称为截断关系法。二是弱化题干中的论据，又称为弱化论据法或釜底抽薪法。

所谓截断关系法就是指，当题干中所表达的是“如果p那么q”这样的充分条件关系时，我就要找到“p但并不q”这样的选项来削弱它；当题干中所表达的是

“只有p才q”这样的必要条件关系时，我就要找到“非p也q”这样的选项来削弱它；当题干中不一定是某种确定的条件关系时，我要寻找的也是与题干意思唱反调的选项。

所谓弱化论据法就是指，所要寻找的选项能够起到将题干的论据抽掉，或者使题干中的论据的支持作用减弱，从而使题干中的论题不成立或者使题干中的论题得不到充分的论证。

例题1

在评价一个企业管理者的素质时，有人说：“只要企业能获得利润，其管理者的素质就是好的。”

以下各项都是对上述看法的质疑，除了：

A．有时管理层会用牺牲企业长远利益的办法获得近期利润。

B．有的管理者采取不正当竞争的办法，损害其他企业，获得本企业的利润。

C．某地的卷烟厂连年利润可观，但领导层中挖出了一个贪污集团。

D．某电视机厂的领导任人唯亲，工厂越办越糟，群众意见很大。

E．某计算机销售公司近几年获利在同行中名列前茅，但有逃避关税的问题。

例题2

光线的照射，有助于缓解冬季忧郁症。研究人员曾对九名患者进行研究，他们均因冬季白天变短而患上了冬季忧郁症。研究人员让患者在清早和傍晚各接受三小时伴有花香的强光照射。一周之内，七名患者完全摆脱了抑郁，另外两人也表现出了显著的好转。由于光照会诱使身体误以为夏季已经来临，这样便治好了冬季忧郁症。以下哪项如果为真，最能削弱上述论证的结论？

A．研究人员在强光照射时有意使用花香伴随，对于改善患上冬季忧郁症的患者的适应症有不小的作用。

B．九名患者中最先痊愈的三位均为女性，而对男性患者治疗效果较为迟缓。

C．该实验均在北半球的温带气候中，无法区分南北半球的实验差异，但也无法预先排除。

D．强光照射对于皮肤的损害已经得到专门研究的证实，其中夏季比起冬季的危害性更大。

E．每天六个小时的非工作状态，改变了患者原来的生活环境，改善了他们的心态，这是对抑郁患者的一种主要的影响。

例题3

最近的一项研究指出：“适量饮酒对妇女的心脏有益。”研究人员对1000名女护士进行调查，发现那些每星期饮酒3～15次的人，其患心脏病的可能性较每星期饮酒少于3次的人低。因此，研究人员发现了饮酒量与妇女心脏病之间的联系。

以下哪项如果为真，最不可能削弱上述论证？

A．许多妇女因为感觉自己的身体状况良好，从而使得她们的饮酒量增加。

B．调查显示：性格独立的妇女更愿意适量饮酒并同时加强自己的身体锻炼。

C．护士因为职业习惯的原因，饮酒次数比普通妇女要多一些。再者，她们的年龄也偏年轻。

D．对男性饮酒的研究发现，每星期饮酒3～15次的人中，有一半人患心脏病的可能性比少于3次的人还要高。

E．这项研究得到了某家酒精饮料企业的经费资助，有人检举研究人员在调查对象的选择上有不公正的行为。

六、寻找题干成立的大前提

前提型试题是在题干中给出结论和部分前提，要求从备选项中找到另一部分前提来将推理补充完整的试题。此类试题的题干中往往给出小前提（即推理的条件）和结论，要求寻找到一个大前提将题干中的小前提和结论联结起来，这也就是人们通常说的“搭桥”。此类试题的提问方式一般是：

“上述推论基于以下哪项假设？”

“以下哪项都可能是上述论证所假设的，除了”

“上述陈述隐含着下列哪项前提？”

“上述论断是建立在以下哪项假设的基础上？”

例题1

当前的大学教育在传授基本技能上是失败的。有人对若干大公司人事部门负责人进行了一次调查，发现很大一部分新上岗的工作人员中都没有很好掌握基本的写作、数量和逻辑技能。

上述论证是以下列哪项为前提的？

A．现在的大学里没有基本技能方面的课程。

B．新上岗人员中极少有大学生。

C．写作、数量、逻辑方面的基本技能对胜任工作很重要。

D．大公司的新上岗人员基本代表了当前大学毕业生的水平。

过去的大学生比现在的大学生接受了更多的基本技能教育

七、解释

解释型试题是题干中给出一个似乎矛盾实际上并不矛盾的现象，要求从备选项中寻找到能够解释的选项。此类试题的提问方式一般是：

“以下哪项如果为真，能最好地解释上面的矛盾？”

能够解释题干的选项显然是能够将题干中的矛盾解释清楚，即其实并不矛盾，那么题干中为也可以是一般的抽象和概括。此类试题的提问方式一般是：

“从上文可推出以下哪个结论？”

“如果上述断定是真的，以下哪项也一定是真的？”

“如果上述断定是真的，那么除了以下哪项，其余的断定也必定是真的？”

“以下哪项，作为结论从上述题干中推出最为恰当？”

“下述哪项最能概括上文的主要观点？”

例题：

先天的遗传因素和后天的环境影响对人的发展所起作用到底哪一个重要？双胞胎的研究对于回答这一问题有重要的作用。惟环境影响决定论预言，如果把一对双胞胎儿完全分开抚养，同时把一对不相关的婴儿放在一起抚养，那么，待他们长大成人后，在性格等内在特征上，前两者之间决不会比后两者之间有更多的类似。实际的统计数据并不支持这种极端的观点，但也不支持另一种极端观点，即惟遗传因素决定论。

从以上论述最能推出以下哪个结论？

A．为了确定上述两种极端观点哪一个正确，还需要进一步的研究工作。

B．虽然不能说环境影响对于人的发展起惟一决定作用，但实际上起最重要的作用。

C．环境影响和遗传因素对人的发展都起着重要的作用。

D．试图通过改变一个人的环境来改变一个人是徒劳无益的。

E．双胞胎研究是不能令人满意的，因为它得出了自相矛盾的结论。

十、评价一个论证

该种题型是说，题干中进行了一个完整的论证，要求对其论证的可靠性、正确性、恰当性等进行评价，或者对题干中的论证方法和方式、论证意图和目的等进行说明。该题型的提问方式一般是：

“以下哪项如果为真，最能对题干论证的有效性进行评价？”

“以下哪项是对上述论证方法的最为恰当的概括？”

例题1

在经历了全球范围的股市暴跌的冲击以后，T国政府宣称，它所经历的这场股市暴跌的冲击，是由于最近国内一些企业过快的非国有化造成的。

以下哪项，如果事实上是可操作的，最有利于评价T国政府的上述宣称？

A．在宏观和微观两个层面上，对T国一些企业最近的非国有化进程的正面影响和负面影响进行对比。

B．把T国受这场股市暴跌的冲击程度，和那些经济情况和T国类似，但最近没有实行企业非国有化的国家所受到的冲击程度进行对比。

C．把T国受这场股市暴跌的冲击程度，和那些经济情况和T国有很大差异，但最近同样实行了企业非国有化的国家所受到的冲击程度进行对比。

D．计算出在这场股市风波中T国的个体企业的平均亏损值。

E．运用经济计量方法预测T国的下一次股市风波的时间。

十一、排除法

排除法是通过排除与题干一致的选项从而找到不一致的选项，或者排除不一致的选项从而找到与题干一致的选项，进而求解答案的方法。能够直接运用该方法的一般提问方式是：“以下除哪项外，基本上表述了上述题干的观点？”

“以下哪项最可能是题干断定的一个反例？”

“以下哪项最接近于题干断定的含义？”

排除法在本质上就是要通过排除题干中已经涉及的选项进而找到题干中未涉及的选项作为答案，或者通过排除题干中没有涉及的选项进而找到与题干一致的选项作为答案，实际上在解答每一道逻辑试题时都可以试着运用排除法。

例题1

美国政府决策者面临的一个头痛的问题就是所谓的“别在我家门口”综合症，例如，尽管民意测验一次又一次地显示公众大多数都赞成建新的监狱，但是，当决策者正式宣布计划要在某地新建一所监狱时，总遭到附近居民的抗议，并且抗议者总有办法使计划搁浅。

以下哪项也属于上面所说的“别在我家门口”综合症？

A．某家长主张，感染了爱滋病毒素的孩子不能被允许入公共学校，当知道一个感染了爱滋病毒素的孩子进入了他孩子的学校时，他立即办理了自己孩子的退学手续。

B．某政客主张所有政府官员必须履行个人财产公开登记，他自己递交了一份虚假的财产登记表。

C．某教授主张宗教团体有义务从事慈善事业，但他自己拒绝捐款资助索马里饥民。

D．某汽车商主张和外国进行汽车自由贸易，以有利于本国经济，但要求本国政府限制外国制造的汽车进口。

E．某军事战略家认为核战争会毁灭人类，但主张本国保持足够的核能力以抵御外部可能的核袭击。

十二、代入法

代入法是指当错误选项不容易排除，而正确选项又难于选择时，就应该运用代入法试一试。

这种方法是说，先假设某一个备选项是成立的，然后代入题干，看是否导致矛盾，如果出现矛盾就说明假设该选项成立不对，该选项是不成立的。但

是，需要注意的是，如果通过假设某一选项成立代入题干，并没有导致矛盾，是不是就说明该选项一定能成立呢？这很难说。

因为有时可能出现不只一个选项如果成立而不会导致矛盾的情况。这里，代入法需要结合排除法来使用，如果通过使用排除法，其他选项均导致矛盾，则剩余的不导致矛盾的选项就是正确的。

例题：

甲（男）、乙（男）、丙（女）、丁（女）、戊（女）五个人有亲戚关系，其中凡有一个以上兄弟姐妹并且有一个以上儿女的人总说真话；凡只有一个以上兄弟姐妹或只有一个以上儿女的人，所说的话真假交替；凡没有兄弟姐妹，也没有儿女的人总说假话。他们各说了以下的话：甲：丙是我的妻子，乙是我的儿子，戊是我的姑姑。

乙：丁是我的姐妹，戊是我的母亲，戊是甲的姐妹。

丙：我没有兄弟姐妹，甲是我的儿子，甲有一个儿子。

丁：我没有儿女，丙是我的姐妹，甲是我的兄弟。

戊：甲是我的侄子，丁是我的侄女，丙是我的女儿。

根据题干给定的条件，能够推出下面哪一个选项是真的？

A．甲说的都是真话，丙是他的妻子。

B．乙说的真假交替，他的母亲是戊。

C．丁说的都是假话，她是甲的姐妹。

D．戊说的都是真话，丙是她的姐妹。

E．丙说的真假交替，她是甲的母亲。

解析：解答此题需要运用代入法。将A代入题干，则甲说真话，甲是男性，乙是男性，丙和戊都是女性，丙是甲的妻子，乙是甲的儿子，戊是甲的姑姑，没有出现矛盾。将D代入题干，则戊说真话，丙是戊的女儿但又是戊的姐

妹，出现了矛盾。同理可知，将B、C、E代入题干都会导致矛盾。所以，正确答案是A。

十三、列表法

有时题干中所涉及或所列出的事物情况比较多，而且又具有一定的表列特征，这时候就可以采用列表的方法迅速寻找到答案。做此类题时，如果不列表而是单凭想像，往往容易混乱，难于理清头绪。

例题1

方宁、王宜和余涌，一个是江西人，一个是安徽人，一个是上海人，余涌的年龄比上海人大，方宁和安徽人不同岁，安徽人比王宜年龄小。

根据上述断定，以下结论都不可能推出，除了：

A．方宁是江西人，王宜是安徽人，余涌是上海人。

B．方宁是安徽人，王宜是江西人，余涌是上海人。

C．方宁是安徽人，王宜是上海人，余涌是江西人。

D．方宁是上海人，王宜是江西人，余涌是安徽人。

E．方宁是江西人，王宜是上海人，余涌是安徽人。

解析：首先制作图表如下（“+”表示“是”，“—”表示“不是”）：

江西人安徽人上海人

方宁—

王宜—

余勇+—

根据上表，既然方宁和王宜都不是安徽人，所以，余勇是安徽人。于是，选项A、B、C均可排除。再考虑到余勇大于上海人，王宜大于安徽人即王宜大

于余勇，所以，王宜大于上海人，王宜不是上海人。所以，方宁是上海人。正确答案是D。

十四、计算法

有些逻辑试题，需要考生首先进行必要的数字计算，尤其是当题干或备选项中出现了数据或者与数据有关的文字的时候。做这些题时，考生一定不要怕麻烦，如果考生动手计算计算，答案自然就出来了。

例题1

最近南方某保健医院进行为期10周的减肥试验，参加者平均减肥9公斤。男性参加者平均减肥13公斤，女性参加者平均减肥7公斤。医生将男女减肥差异归结为男性参加者减肥前体重比女性参加者重。

从上文可推出以下哪个结论？

A．女性参加者减肥前体重都比男性参加者轻。

B．所有参加者体重均下降。

C．女性参加者比男性参加者多。

D．男性参加者比女性参加者多。

E．男性参加者减肥后体重都比女性参加者轻。

解析：设男性参加减肥人数为x，女性参加减肥人数为y。则有

9（x +y）=13 x+7 y

所以，y=2 x

显然，女性参加减肥人数多于男性。正确答案是C。

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？ 例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几 个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有 （ ） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上， 可 先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素， 如 此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（ ） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法： 例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A 的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种D、120种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

光的反射练习题集锦

光的反射练习题集锦 判断题（1）树在河里形成的倒影，树在地面形成的影子本质上没有区别、（）（2）发生漫反射时，反射光线，入射光线和法线也在同一平面内、（）（3）雨后晴朗的夜晚，人迎着或背着月光走时，看到地上发亮处都应是水、（）答案：（1）（2）√ （3）填空题（1）入射光线与镜面夹角是60，入射光线与反射光线的夹角是_______、若入射角增大10，则入射光线与反射光线的夹角改变了_______、（2）太阳光线与水平面成45角，现用一平面镜把太阳光线反射到竖直向下的水井中，则平面镜镜面与水平面的夹角为_______、（3）光的反射有___________和___________两种、我们能从不同方向看到本身不发光的物体，是因为光在物体表面上发生_____反射的缘故；在教室里，因“反光”从某个角度看不清黑板上的字，这是光的__________现象（4）以相等的入射角射到镜面上某点的光线可以有______条，以某一角度入射到镜面上某点的一条光线，有______条反射光线、（5）一束光线垂直射向平面镜，反射角是______、答案： （1）60，20（2） 67、5 （3）镜面反射，漫反射，漫，镜面反射（4）无数，一（5）0（6）75，130 选择题（1）关于光的反射，下列说法错误的是（）

A、反射光线跟入射光线和法线在同一平面内 B、反射光线和入射光线分居在法线的两侧 C、入射角增大，反射角也同样增大 D、入射角大于反射角（2）入射光线与反射光线间的夹角为60，则反射光线与镜面间的夹角为（） A、60 B、30 C、120 D、150 （3）一束光垂直射到平面镜上，然后将平面镜转动θ角，入射光线保持不变，那么反射光线的方向将改变（） A、θ/2 B、θ C、2θ D、0 （4）关于光的反射定律的适用范围，正确的说法是（） A、光的反射定律只适用于镜面反射 B、漫反射不遵守光的反射定律 C、光的反射定律不适用于垂直照射 D、光的反射定律适用于所有光的反射现象（5）教室的墙壁对光产生的现象是（） A、镜面反射 B、漫反射

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

(完整版)光的反射练习题附答案

一、选择题 1、阳光灿烂的日子，在茂密的树林下，常能在地上见到许多圆形的光斑，这些光斑是（） A．太阳的虚像 B．太阳的实像 C．树叶的影子 D．树叶的实像 2、光从空气中进入水中，光的传播速度（） A．会减小 B．不变 C．会增大 D．都有可能 3、打雷时，总是先见到闪电后听到雷声, 这是因为（） A.闪电比雷声先发出一步 B.闪电和雷声同时发出, 但是光速要比声速大的多 C.闪电和雷声分别同时传到人眼跟人耳中, 但人耳反应慢 D.以上所述均不正确 4、一根旗杆在阳光照射下，在地面上投下一个旗杆的影子．自早晨到黄昏这段时间内，旗杆影子长度变化是（）A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 5、如图是研究光反射规律的实验装置，为了研究“光在反射时可逆”，实验时应进行的操作是（） A．改变光线OB与法线ON的夹角 B．改变光线AO与法线ON的夹角 C．沿法线ON前后转动F板 D．让另一束光从BO入射 6、关于光的反射，下列说法错误的是（） A．当入射光线与反射面的夹角为20°时，反射角也是20° B．入射光线靠近法线时，反射光线也靠近法线 C．入射角增大5°时，反射光线与入射光线的夹角增大10° D．镜面反射遵守光的反射定律，漫反射不遵守光的反射定律 7、（2013湘西4题3分）如果你在一平面镜中看到了另一个同学的眼睛，那么无论这个平面镜多么小，该同学也一定会通过这平面镜看到你的眼睛，这是因为（） A. 光的漫反射 B. 光的镜面反射 C. 反射现象中光路可逆 D. 彼此处在眼睛的明视距离位置 8、小刚从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻是（） A．21：10 B．10：51 C．10：21 D．12：01 9、下列有关光现象的说法中正确的是（） A．当人靠近平面镜时，镜中人会变得越来越大 B．城市中的光污染是由于光发生漫反射的缘故 C．影子的形成和小孔成像都是由于光的直线传播形成的 D．我们看到水中的鱼比实际深度要浅是由于光的反射形成的 10、小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”现有一蜻蜓立于距水面0.6m处的荷尖上．池中水深2m，则蜻蜓在水中的像距水面（） A．2m B．1.4m C．0.6m D．2.6m 11、小明身高为1.5m．站立在平面镜前2m处，他以0.1m/s的速度远离平面镜，2秒后，他 的像到他的距离和像的大小变化描述正确的是（） A．1.5m，像变大 B．2m，像变小 C．3.6m，像不变 D．4.4m，像不变 12、小明同学身高1.80m，家里装修时要在墙上安装一个竖直的平面镜，为了能从平面镜中 看到自己的全身像，平面镜的最小长度应为（） A．30cmB．60cmC．90cmD．120cm 二、填空题 13、光在同种均匀介质中沿传播。光在中传播的最快。 14、下列物体①太阳、②月亮、③蜡烛的火焰、④恒星、⑤镜子、⑥正在放电影的银幕、 ⑦碎玻璃、⑧发光的水母、⑨萤火虫、⑩钻石，其中一定是光源的有____________(填序 号)． 15、如图所示，在“探究光的反射规律”实验中，入射角是________；改变入射光的方 向，使入射角变大，则反射角变________；以ON为轴将硬纸板的右半面向后旋转，在硬

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得：)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个．

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

初二物理__光的反射__练习题精选含答案

光的反射练习 【同步达纲练习】 一、选择题（每题5分，共45分） 1.关于光的反射定律，某同学的叙述如下，其中错误的是（） A.反射光线跟入射光线和法线在同一平面上 B.反射光线跟入射光线分居在法线的两侧 C.入射角等于反射角 D.入射角为θ，反射角也为θ 2.下列说法中正确的是（） A.反射光线和入射光线不可能在同一直线上 B.发生漫反射时就不遵守反射定律了 C.发生反射时光路是可逆的 D.反射光的速度小于入射光的速度 3.下列说法中错误的是（） A.在光的反射现象中，若入射光线靠近法线，反射光线也靠近法线 B.光线垂直镜面入射时，反射角是90° C.通过平面镜，甲同学能看到乙同学，那么乙也能通过平面镜看到甲 D.镜面反射遵守反射定律，漫反射也遵守反射定律 4.若一束平行光垂直射到一平面镜上，这时反射光和入射光的夹角是（） A.0° B.90° C.45° D.180° 5.若反射光线与入射光线的夹角是80°，则入射光线和镜面的夹角是（） A.40° B.50° C.80° D.130° 6.入射光线与平面镜的夹角是55°，保持入射光线不动，绕入射点转动面镜，使入射角增大10°，则反射光线跟入射光线的夹角是（） A.50° B.70° C.90° D.130° 7.如左下图所示，入射光线与平面镜MN的夹角是30°，如果保持入射光线不动，使平面镜绕入射点逆时针转动10°，则反射光线跟入射光线的夹角（） A.增大20° B.增大10° C.减小20° D.减小10° 8.如中上图所示，两平面镜A和B相交成角a，若入射光线跟B镜面平行，经镜面反射后，射出的光线与A平行，则角a为（） A.30° B.60° C.45° D.90° 9.如右上图所示，两块平面镜相交成60°，一束光线AO射到平面镜M上，要使最后反射回去的光线与AO重合，但方向与AO相反，那么光线AO与平面镜M的夹角应是（） A.15° B.30° C.45° D.60° 二、作图题（每1题6分，第2题5分，共11分） 10.在下图中，根据题中给出的条件，画出入射光线、反射光线或平面镜的位置.

排列组合典型例题

排列组合典型例题

典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式： n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒： 规定0!=1 1 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

排列组合基础知识及习题分析

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！ C53＝（5×4×3）/（3×2×1） C62＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出 n C m n公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作 为分母 p53＝5×4×3 p66＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 p m n＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法。. ***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习

光的反射练习题附答案

一、选择题 1、 阳光灿烂的日子，在茂密的树林下，常能在地上见到许多圆形的光斑，这些光斑是（ ） A. 太阳的虚像 B .太阳的实像 C .树叶的影子 D .树叶的实像 2、 光从空气中进入水中，光的传播速度（ ） A. 会减小 B ?不变 C ?会增大 D ?都有可能 3、 打雷时，总是先见到闪电后听到雷声 ， 这是因为 （ ） A. 闪电比雷声先发岀一步 B. 闪电和雷声同时发岀，但是光速要比声速大的多 C. 闪电和雷声分别同时传到人眼跟人耳中 ，但人耳反应慢 D. 以上所述均不正确 4、一根旗杆在阳光照射下，在地面上投下一个旗杆的影子?自早晨到黄昏这段时间内，旗杆影子长度变化是（ ） A. 逐渐变短B ?逐渐变长 C ?先变长后变短 D ?先变短后变长 5、 如图是研究光反射规律的实验装置，为了研究“光在反射时可逆”，实验时应进行的操作是（ A .改变光线 0B 与法线ON 的夹角 B ?改变光线 AO 与法线ON 的夹角 C .沿法线ON 前后转动F 板 D ?让另一束光从 BO 入射 6、 关于光的反射，下列说法错误的是（ ） A. 当入射光线与反射面的夹角为 20 °时，反射角也是 20° B. 入射光线靠近法线时，反射光线也靠近法线 C. 入射角增大5°时，反射光线与入射光线的夹角增大 10° D. 镜面反射遵守光的反射定律，漫反射不遵守光的反射定律 7、（ 2013湘西4题3分）如果你在一平面镜中看到了另一个同学的眼睛，那么无论这个平面镜多么小，该同学也一 定会通过这平面镜看到你的眼睛，这是因为 （ A. 光的漫反射 B. 光的镜面反射 C. 反射现象中光路可逆 D. 彼此处在眼睛的明视距离位置 8、 小刚从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻是（ A. 21 : 10 B . 10: 51 C . 10: 21 D . 12: 01 9、 下列有关光现象的说法中正确的是（ ） A. 当人靠近平面镜时，镜中人会变得越来越大 B. 城市中的光污染是由于光发生漫反射的缘故 C. 影子的形成和小孔成像都是由于光的直线传播形成的 D. 我们看到水中的鱼比实际深度要浅是由于光的反射形成的 距水面（ ） A . 2m B . 1.4m C . 0.6m D . 2.6m 11、 小明身高为1.5m .站立在平面镜前 2m 处，他以0.1m/s 的速度远离平面镜， 2秒后，他 的像到他的距离和像的大小变化描述正确的是（ ） A . 1.5m ，像变大 B . 2m,像变小 C . 3.6m ，像不变 D . 4.4m ，像不变 12、 小明同学身高 1.80m ，家里装修时要在墙上安装一个竖直的平面镜，为了能从平面镜中 看到自己的全身像，平面镜的最小长度应为（ ） A . 30cmB. 60cmC. 90cmD 120cm 二、填空题 13、 光在同种均匀介质中沿 ________________ 传播。光在 _________________ 中传播的最快。 记;口| 10、小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”现有一蜻蜓立于距水面 0.6m 处的荷尖上.池中水深 2m,则蜻蜓在水中的像 )