2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优7.2.2 复数的乘除运算(解析版)
第七章 复数
7.2.2 复数的乘除运算
一、基础巩固
1．若复数z 满足
21z i i =+，则z =（ ） A ．22i +
B ．22i -
C ．22i --
D ．22i -+
【答案】C
【详解】 ()2122z i i i =+=-+
故22z i =--
2．设复数z 满足
11z i z +=-，则z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1i +
【答案】B
【详解】 11z i z
+=-得()11z i z +=- 即()()()()
111111i i i z i i i i ---===++- z i =-
3．复数511i z i +=
-的实部为（ ） A ．-3
B ．3
C ．-2
D ．2
【答案】C
【详解】 51(51)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i +++-+====-+--+，所以复数511i z i
+=-的实部为-2. 4．若复数2z i =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A ．z 的虚部为i -
B ．||5z =
C ．2z i =--
D ．234z i =-
【答案】D
【详解】
2z i =-的虚部为1-，A
错误；||z ==B 错误；2z i =+，C 错误； ()2
2244134z i i i =-=--=-，D 正确.
5．i 是虚数单位，复数z 满足()310z i i -=，则z =（ ）
A ．3i +
B ．3i -
C ．13i -+
D ．13i -- 【答案】D
【详解】
()1031013310
i i i z i i ?+===-+-， ∴13z i =--.
6．已知i 为虚数单位，则复数23i i
-+的虚部是（ ） A ．35 B ．3
5i - C ．15- D ．1
5
i - 【答案】A
【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055
i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 7．在复平面内，复数
11i -的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】 分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122
i - 对应点为1
1(,)22-，在第四象限，故选D.
8．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12
z z =（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3455i -+
D ．3455
-i 【答案】C
【详解】 因为12z i =-，1z ，2z 在复平面内对应的点关于y
轴对称，
则22z i =--， 所以()()212222443434255555i i z i i i i i z i --+--+--+=====-+-- 9．已知i 为虚数单位，则复数|3|i z -=
的共轭复数z 为( ) A ．22i +
B ．22i -
C ．1i +
D ．1i -
【答案】C
【详解】 ()()()()
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21i 21i 1i 1i 1i z +-====-++-，所以1i z =+，故选C.
10．（多选）已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =（ ）
A ．2-
B ．1-
C 2
D ．1
【答案】AC
【详解】 ∵()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，∴68m =，∴2m =±11．（多选）若复数z 满足()13z i i +=
，则（ ） A ．1z i =-+
B ．z 的实部为1
C ．1z i =+
D ．22z i = 【答案】BC
【详解】
解：由()13z i i +=，得312(1)2(1)1(1)(1)2
i i z i i i +--====-+-，
所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，
12．（多选）已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为3i
B ．5z =
C ．4z -为纯虚数
D ．z 在复平面上对应的点在第四象限
【答案】BCD
【详解】
因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，
5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，
二、拓展提升
13．设复数12z i =+.
（1）求z 及z ；
（2）求22z z -.
【答案】（1
）z =，12z i =-；（2）5-．
【详解】
（1
）由题意z ==12z i =-；
（2）222(12)2(12)144245z z i i i i -=+-+=+---=-．
14．关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数a 的取值范围.
【答案】1a =±.
【详解】
设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()0x ax a x i ++-+=，
由复数相等的定义，得20002100
x ax a x ?++=??+=??，解得1a =±. 15．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ?是纯虚数，求2||z ．
【详解】
因为1(2)(1)1z i i -+=-，所以()()()2
21111221112
i i i i z i i i i --+--====-++-，则12z i =-， 又复数2z 的虚部为2，设()22z a i a R =+∈，
则()()()22122242224z i a i a i ai a a i z i =-+=+--=++-， 因为12z z ?是纯虚数，所以22040
a a +=??-≠?，解得1a =-，即212z i =-+，
所以2||z ==